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\section{Fazit} \label{zeta:section:fazit}
\rhead{Fazit}
Ganz zu Beginn dieses Papers wurde die Behauptung erwähnt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen $-\frac{1}{12}$ sei.
Diese Summe ist nichts anderes als die Zetafunktion am Wert $s=-1$.
Da wir die analytische Fortsetzung mit der Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} gefunden haben, können wir diese Behauptung prüfen.
Zunächst berechnen wir $\zeta(1-s) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, welches im konvergenten Bereich der Reihe liegt und auch bekannt ist als das Basler Problem.
Somit haben wir
\begin{align*}
\zeta(s) = \zeta(-1)
&=
\frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
\zeta(1-s)
\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}
\\
&=
\frac{\Gamma(1)}{\pi}
\frac{\pi^2}{6}
\frac{\pi^{\frac{-1}{2}}}{\Gamma \left( \frac{-1}{2} \right)}
\\
&=
\frac{1}{\pi}
\frac{\pi^2}{6}
\frac{1}{\sqrt{\pi} (-2\sqrt{\pi})}
&=
-\frac{1}{12},
\end{align*}
wobei die Werte der Gammafunktion TODO berechnet werden.
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