1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
|
\section{Der Wert $\zeta(-1)$} \label{zeta:section:fazit}
\rhead{Der Wert $\zeta(-1)$}
Ganz zu Beginn dieses Papers wurde die Behauptung erwähnt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen $-\frac{1}{12}$ sei.
Diese Summe ist nichts anderes als die Zetafunktion am Wert $s=-1$.
Da wir die analytische Fortsetzung mit der Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} gefunden haben, können wir den Wert $s=-1$ einsetzen und erhalten
\begin{align*}
\zeta(s)
&=
\frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
\zeta(1-s)
\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}
\\
\zeta(-1)
&=
\frac{\Gamma(1)}{\pi}
\zeta(2)
\frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{\Gamma \left( -\frac{1}{2} \right)}.
\end{align*}
Also fehlen uns drei Werte, $\zeta(2)$, $\Gamma(1)$ und $\Gamma(-\frac{1}{2})$.
Zunächst konzentrieren wir uns auf $\zeta(2)$, welches im konvergenten Bereich der Reihe liegt und auch bekannt ist als das Basler Problem.
Wir lösen das Basler Problem \cite{zeta:online:basel} mithilfe der parsevalschen Gleichung \cite{zeta:online:pars}
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx
&=
2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 \\
c_n
&=
\frac{1}{2\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx} dx,
\end{align}
welche besagt dass die Summe der quadrierten Fourierkoeffizienten einer Funktion identisch ist mit dem Integral der quadrierten Funktion.
Wenn wir dies für $f(x) = x$ auswerten erhalten wir
\begin{align}
c_n
&=
\begin{cases}
\frac{(-1)^n}{n} i, & \text{for } n\neq0, \\
0, & \text{for } n=0
\end{cases}
\\
\int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx
&=
2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2
=
4\pi \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}_{\displaystyle{\zeta(2)}}.
\end{align}
Durch einfaches Umstellen erhalten wir somit die Lösung des Basler Problems als
\begin{equation}
\zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4\pi}
\int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx
= \frac{\pi^2}{6}.
\end{equation}
Als nächstes berechnen wir $\Gamma(1)$ und $\Gamma(-\frac{1}{2})$ mithilfe der Integraldefinition der Gammafunktion (Definition \ref{buch:rekursion:def:gamma}).
Da das Integral für $\Gamma(-\frac{1}{2})$ nicht konvergiert, wird die Reflektionsformel aus \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} verwendet, welche das konvergierende Integral von $\Gamma(\frac{3}{2})$ verwendet.
Es ergeben sich die Werte
\begin{align*}
\Gamma(1)
&= 1\\
\Gamma\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)
&= \frac{\pi}{\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)
\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}
= -\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
\end{align*}
Wenn wir diese Werte in die Funktionalgleichung einsetzen, erhalten wir das gewünschte Ergebnis
\begin{align*}
\zeta(-1)
&=
\frac{\Gamma(1)}{\pi}
\zeta(2)
\frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{\Gamma \left( -\frac{1}{2} \right)}
\\
&=
\frac{1}{\pi}
\frac{\pi^2}{6}
\frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{
-\frac{\sqrt{\pi}}{2}}
\\
&=
-\frac{1}{12}.
\end{align*}
Weiter wurde zu Beginn dieses Papers auf die Riemannsche Vermutung hingewiesen, wonach alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion auf der $\Re(s)=\frac{1}{2}$ Geraden liegen.
Abbildung \ref{zeta:fig:einzweitel} zeigt die Funktionswerte dieser Geraden.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/zeta/images/zetaplot.tex}
\caption{Die komplexen Werte der Zetafunktion für die kritische Gerade $\Re(s)=\frac{1}{2}$ im Bereich $\Im(s) = 0\dots40$.
Klar sichtbar sind die immer wiederkehrenden Nullstellen, wie sie Gegenstand der Riemannschen Vermutung sind.}
\label{zeta:fig:einzweitel}
\end{figure}
|
