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\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion}
Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her.
%TODO ref Gamma
Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion
\begin{align}
\Gamma(s)
&=
\int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt
\\
&=
\int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du
&&
\text{Division durch }n^s
\\
\frac{\Gamma(s)}{n^s}
&=
\int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du
&&
\text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
\\
\Gamma(s) \zeta(s)
&=
\int_0^{\infty} u^{s-1}
\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
du.
\label{zeta:equation:zeta_gamma1}
\end{align}
Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n}
&=
\sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n}
-
1
\\
&=
\frac{1}{1 - e^{-u}} - 1
\\
&=
\frac{1}{e^u - 1}.
\end{align}
Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir
\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
\zeta(s)
=
\frac{1}{\Gamma(s)}
\int_0^{\infty}
\frac{u^{s-1}}{e^u -1}
du.
\end{equation}
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