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% hermiteentwicklung.tex -- slide template
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Beliebige Polynome}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Polynom}
\[
P(x)
=
p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n
\]
als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben:
\begin{align*}
P(x)
&=
a_0H_0(x)% + a_1H_1(x)
+ \dots + a_nH_n(x)
\\
&=
a_0\cdot 1
\\
&\quad + a_1\cdot 2x
\\
&\quad + a_2\cdot(4x^2-2)
\\
&\quad + a_3\cdot(8x^3-12x)
\\
&\quad + a_4\cdot(16x^4-48x^2+12)
\\
&\quad\;\;\vdots
\\
&\quad + a_n(2^nx^n + \dots)
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Koeffizientenvergleich}
führt auf ein Gleichungssystem
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\
\hline
1& 0& 0& 0& 0&\dots&p_0\\
0& 2& 0& 0& 0&\dots&p_1\\
-2& 0& 4& 0& 0&\dots&p_2\\
0&-12& 0& 8& 0&\dots&p_3\\
12& 0&-48& 0& 16&\dots&p_4\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Dreiecksmatrix, Diagonalelement
$\ne 0$
$\Rightarrow$
$\exists$ eindeutige Lösung
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup
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