blob: a51e9f60e9869133ea78926f6ee26a09e4a20ea4 (
plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
|
%
% skalarprodukt.tex -- slide template
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
%
\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Skalarprodukt}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Orthogonale Zerlegung}
Orthogonale $H_k$ normalisieren:
\[
\tilde{H}_k(x) = \frac{1}{\|H_k\|_w} H_k(x)
\]
mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$
\end{block}
\uncover<2->{%
\begin{block}{``Hermite''-Analyse}
\begin{align*}
P(x)
&=
\sum_{k=1}^\infty a_k H_k(x)
=
\sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x)
\\
\uncover<3->{
\tilde{a}_k
&=
\| H_k\|_w\, a_k
}
\\
\uncover<4->{
a_k
&=
\frac{1}{\|H_k\|}
\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w
}\uncover<5->{=
\frac{1}{\|H_k\|^2}
\langle H_k, P\rangle_w
}
\end{align*}
\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<6->{%
\begin{block}{Integrationsproblem}
Bedingung:
\begin{align*}
a_0=0
\uncover<7->{%
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\langle H_0,P\rangle_w
&=
0}
\\
\uncover<8->{%
\int_{-\infty}^\infty
P(t) w(t) \,dt
}\uncover<9->{%
=
\int_{-\infty}^\infty
P(t) e^{-t^2} \,dt
&=
0}
\end{align*}
\end{block}}
\uncover<10->{%
\begin{theorem}
Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar
genau dann, wenn
\[
\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0
\]
\end{theorem}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup
|
