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diff --git a/an2e_zf.pdf b/an2e_zf.pdf Binary files differindex 75441a5..62f3b7b 100644 --- a/an2e_zf.pdf +++ b/an2e_zf.pdf diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index f0c28e7..702a1c8 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -482,7 +482,7 @@ die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen} \(y_1 = y'(x_0)\), \dots, \(y_{n-1} = y^{(n-1)}(x_0) \in \mathbb{R}\). -Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{spezifische} L\"osung ergibt. +Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{partikul\"are} L\"osung ergibt. \subsection{DGL 1. Ordnung} \subsubsection{Lineare DGL 1. Ordnung} @@ -491,6 +491,20 @@ Die funktionen \(f\) und \(g\) seien auf demselben Intervall \(I\) stetig. Die D y' + f(x)y = g(x) \] hei{\ss}t \emph{homogen}, wenn \(g\) die Nullfunktion (\(=0\)) auf \(I\) ist, sonst \emph{inhomogen}. \(g\) hei{\ss}t St\"orglied. +Die Allgemeine L\"osung ist +% \[ +% y = \exp\left[-\int f(x)\di{x}\right] \left[ +% k + \int g(x)\exp\left( +% \int f(x)\di{x} +% \right)\di{x} \right] \\ +% \] +\[ + Y = \left\{ y : y = y_\text{H} + y_\text{P} \text{ mit } y_\text{H} \in Y_\text{H}\right\} +\] +\[ + y = e^{-F}\left[k + \int ge^F\di{x}\right] + \quad k \in \mathbb{R} +\] \subsubsection{Tricks} @@ -510,7 +524,7 @@ Ein Speziallfall \(p(y) = y\) (homogen lineare DGL) hat die allgemeine L\"osung \end{align*} Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen. -\paragraph{Glaichgradigkeit} Hat die DGL die Form \(y' = f(y/x) \quad x \neq 0\), dann benutzt die Substitution +\paragraph{Gleichgradigkeit} Hat die DGL die Form \(y' = f(y/x) \quad x \neq 0\), dann benutzt die Substitution \begin{align*} z = y/x &\implies y' = z'x + z \\ &\implies z' = \frac{1}{x}\left(y'(x) - z\right) \quad\text{separiert!} @@ -520,6 +534,26 @@ Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen. \subsection{DGL 2. Ordnung} +\subsubsection{Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten} +\[ + y'' + a_1 y' + a_0 y = f(x) +\] +Versuch mit \(y = Ae^{\lambda x}\) +\begin{align*} + 0 &= A\lambda^2 e^{\lambda x} + a_1 A \lambda e^{\lambda x} + a_0 A e^{\lambda x} \\ + 0 &= \lambda^2 + a_1\lambda + a_0 +\end{align*} +Der \emph{charakteristische Polynom} hat die L\"osungen +\[ + \lambda_{12} = \frac{1}{2}\left(-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_0}\right) +\] +Falls \(\lambda \in \mathbb{R}\), dann hei{\ss}t er \emph{D\"ampfung}. Sonst ist \(\mathbb{C} \ni \lambda = k \pm\jmath\alpha\), \(\alpha\) nennt man \emph{Frequenz}. Daher hat die L\"osung die Form: +\[ + Ce^{k\pm\jmath\alpha} + = A\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\cos(\alpha x) + + B\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\sin(\alpha x) +\] + \begin{thebibliography}{3} \bibitem{hsr} |