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index 75441a5..62f3b7b 100644
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Binary files differ
diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex
index f0c28e7..702a1c8 100644
--- a/an2e_zf.tex
+++ b/an2e_zf.tex
@@ -482,7 +482,7 @@ die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen}
\(y_1 = y'(x_0)\),
\dots,
\(y_{n-1} = y^{(n-1)}(x_0) \in \mathbb{R}\).
-Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{spezifische} L\"osung ergibt.
+Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{partikul\"are} L\"osung ergibt.
\subsection{DGL 1. Ordnung}
\subsubsection{Lineare DGL 1. Ordnung}
@@ -491,6 +491,20 @@ Die funktionen \(f\) und \(g\) seien auf demselben Intervall \(I\) stetig. Die D
y' + f(x)y = g(x)
\]
hei{\ss}t \emph{homogen}, wenn \(g\) die Nullfunktion (\(=0\)) auf \(I\) ist, sonst \emph{inhomogen}. \(g\) hei{\ss}t St\"orglied.
+Die Allgemeine L\"osung ist
+% \[
+% y = \exp\left[-\int f(x)\di{x}\right] \left[
+% k + \int g(x)\exp\left(
+% \int f(x)\di{x}
+% \right)\di{x} \right] \\
+% \]
+\[
+ Y = \left\{ y : y = y_\text{H} + y_\text{P} \text{ mit } y_\text{H} \in Y_\text{H}\right\}
+\]
+\[
+ y = e^{-F}\left[k + \int ge^F\di{x}\right]
+ \quad k \in \mathbb{R}
+\]
\subsubsection{Tricks}
@@ -510,7 +524,7 @@ Ein Speziallfall \(p(y) = y\) (homogen lineare DGL) hat die allgemeine L\"osung
\end{align*}
Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen.
-\paragraph{Glaichgradigkeit} Hat die DGL die Form \(y' = f(y/x) \quad x \neq 0\), dann benutzt die Substitution
+\paragraph{Gleichgradigkeit} Hat die DGL die Form \(y' = f(y/x) \quad x \neq 0\), dann benutzt die Substitution
\begin{align*}
z = y/x &\implies y' = z'x + z \\
&\implies z' = \frac{1}{x}\left(y'(x) - z\right) \quad\text{separiert!}
@@ -520,6 +534,26 @@ Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen.
\subsection{DGL 2. Ordnung}
+\subsubsection{Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten}
+\[
+ y'' + a_1 y' + a_0 y = f(x)
+\]
+Versuch mit \(y = Ae^{\lambda x}\)
+\begin{align*}
+ 0 &= A\lambda^2 e^{\lambda x} + a_1 A \lambda e^{\lambda x} + a_0 A e^{\lambda x} \\
+ 0 &= \lambda^2 + a_1\lambda + a_0
+\end{align*}
+Der \emph{charakteristische Polynom} hat die L\"osungen
+\[
+ \lambda_{12} = \frac{1}{2}\left(-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_0}\right)
+\]
+Falls \(\lambda \in \mathbb{R}\), dann hei{\ss}t er \emph{D\"ampfung}. Sonst ist \(\mathbb{C} \ni \lambda = k \pm\jmath\alpha\), \(\alpha\) nennt man \emph{Frequenz}. Daher hat die L\"osung die Form:
+\[
+ Ce^{k\pm\jmath\alpha}
+ = A\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\cos(\alpha x)
+ + B\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\sin(\alpha x)
+\]
+
\begin{thebibliography}{3}
\bibitem{hsr}