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diff --git a/an2e_zf.pdf b/an2e_zf.pdf Binary files differindex 97801b0..295cb19 100644 --- a/an2e_zf.pdf +++ b/an2e_zf.pdf diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index 9cb871c..c0baefc 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -129,14 +129,19 @@ Die selbe gilt umgekehrt f\"ur Divergenz. Wenn \(0 < h(x) \leq f(x)\) \(g\) und \(h\) hei{\ss}en Majorant und Minorant bzw. \section{Implizite Ableitung \brpage{448}} -Alle normale differenziazionsregeln gelten. +\begin{alignat*}{3} + (af)' &= af' &\quad&& (u(v(x)))' &= u'(v)v' \\ + (uv)' &= u'v + uv' &\quad&& \left(\frac{u}{v}\right)' &= \frac{u'v-uv'}{v^2} \\ + \left(\sum u_i\right)' &= \sum u'_i &\quad&& (\ln u)' &= \frac{u'}{u} \\ + (f^{-1})' &= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} +\end{alignat*} +Alle normale differenziazionsregeln f\"ur \(f(x)\) gelten. +Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\) \[ - \dd{y} = y'\dd{x} + \dd{y} = y'\dd{x} + \qquad + \pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0 \] -%Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\) -%\[ -% \pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0 -%\] \section{Differentialgeometrie} @@ -192,7 +197,7 @@ Man kann auch die Tangentengleichung und die Normalengleichung zur Zeitpunkt \(\ \end{align*} \subsubsection{Kr\"ummung und Kr\"ummungsradius \brpage{254}} -Siehe Tab. \ref{tab:plane-curves-big} f\"ur die Rechnungsformeln. +Siehe Tab. \ref{tab:plane-curves-big} f\"ur die Rechnungsformeln und Abb. \ref{fig:plane-curvature} f\"ur eine graphische Deutung. \[ \kappa = \lim_{\Delta s\to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s} @@ -200,6 +205,28 @@ Siehe Tab. \ref{tab:plane-curves-big} f\"ur die Rechnungsformeln. \qquad R = 1/\kappa \] +Eine gerade hat \(\kappa = 0\) und \(R = \infty\). +Entsprechend der Orientierung der \(x\)-Achse, entspricht einer \(\kappa > 0\) eine Linkskr\"ummung und \(\kappa < 0\) eine Rechtskr\"ummung. + +Der Kr\"ummungskreis hat Ma{\ss}zahl \(\rho = 1/|\kappa|\) und Mittelpunkt \(P_c\) gem\"a\ss +\[ + P_c = \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \end{pmatrix} + = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{\kappa} \vec{\hat{n}} +\] +Wobei \(\vec{\hat{n}} = \vec{\ddot{\Lambda}}^0\) ist der Normalenvektor. + +\subsubsection{Konvexit\"at} +Sei die Kurve \(\Lambda\) durch \(f \in C^2\) auf \([a,b]\) gegeben. +\begin{itemize} + \item \(f\) ist auf \((a,b)\) konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa \geq 0\) (bzw. \(\kappa \leq 0\)) \(\forall x \in (a,b)\). + \item \(f\) ist auf \((a,b)\) streng konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa > 0\) (bzw. \(\kappa < 0\)) \(\forall x \in (a,b)\). + \item Hat in \(\Lambda\) in \(P\) einen Wendepunkt, dann \(\kappa(P) = 0\). +\end{itemize} + + + +\subsubsection{Evoluten und Evolventen \brpage{262}} + \begin{figure}[h] \centering @@ -252,38 +279,42 @@ You should have received a copy of the license along with this work. If not, see \renewcommand{\arraystretch}{3} \begin{tabular}{l *{3}{>{\(\displaystyle}l<{\)}} } \toprule -\textbf{Ebene Kurven} & \textbf{Explizit } y = f(x) & \textbf{Polar } \vec{r}(\varphi) & \textbf{Parameter } \vec{c}(t) = \left(x(t), y(y)\right) \\ +\textbf{Ebene Kurven} & \textbf{Kartesich } y = f(x) & \textbf{Polar } \vec{r}(\varphi) & \textbf{Parameter } \vec{c}(t) = \left(x(t), y(y)\right) \\ \midrule -Bogenl\"ange \brpage{251} - & \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x} - & \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi} - & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{c}| \dd{t} +Anstieg \brpage{448} + & f' + & \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi} + & \dot{x}/\dot{y} \\ -Fl\"ache +Fl\"ache \brpage{493} & \int\limits_a^b |f(x)| \dd{x} & \frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta r(\varphi)^2 \dd{\varphi} & \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1} x\dot{y} - \dot{x}y \dd{t} = \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1}\det(\vec{c},\dot{\vec{c}}) \dd{t} \\ +Bogenl\"ange \brpage{251,514} + & \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x} + & \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi} + & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{c}| \dd{t} +\\ +Kr\"ummung \(\kappa\) \brpage{254} + & \frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}^3} + & \frac{2(r')^2 - r r'' + r^2}{\sqrt{r^2 + (r')^2}^3} + & \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}^3} + = \frac{\det(\vec{\dot{c}},\vec{\ddot{c}})}{|\vec{\dot{c}}|^3} +\\[1em] \midrule -Rotationsvolumen um \(x\) +Rotationsvolumen um \(x\) \brpage{516} & \pi \left|\int\limits_a^b y^2 \dd{x} \right| & \pi \left|\int\limits_{t_0}^{t_1} y \dot{x} \dd{t} \right| & \pi \left|\int\limits_\alpha^\beta r^2 \sin^2 \varphi (r'\cos\varphi - r\sin\varphi) \dd{\varphi} \right| \\ -Rotationsoberfl\"ache um \(x\) +Rotationsoberfl\"ache um \(x\) \brpage{515} & 2\pi \int\limits_a^b |y| \sqrt{1 + (y')^2} \dd{x} & 2\pi \int\limits_\alpha^\beta |r\sin(\varphi)| \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi} & 2\pi \int\limits_{t_0}^{t_1} |y| \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} \\ % Rotationsvolumen um \(y\) \\ % Rotationsoberfl\"ache um \(y\) \\ -\midrule -Kr\"ummung \(\kappa\) - & \frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}^3} - & - & \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}^3} - = \frac{\det(\vec{\dot{c}},\vec{\ddot{c}})}{|\vec{\dot{c}}|^3} -\\ \bottomrule \end{tabular} \end{sidewaystable} diff --git a/fig/plane-curvature.eps b/fig/plane-curvature.eps index 64e39da..2096dc0 100644 --- a/fig/plane-curvature.eps +++ b/fig/plane-curvature.eps @@ -1,6 +1,6 @@ %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0 %%Creator: cairo 1.15.10 (http://cairographics.org) -%%CreationDate: Sun Apr 12 16:21:18 2020 +%%CreationDate: Sun Apr 12 16:25:25 2020 %%Pages: 1 %%DocumentData: Clean7Bit %%LanguageLevel: 2 @@ -1175,19 +1175,10 @@ ET 120.551 25.953 120.551 49.176 c 120.551 72.398 139.379 91.223 162.602 91.223 c 185.82 91.223 204.648 72.398 204.648 49.176 c h 204.648 49.176 m S -[ 4 2 1 2] 0 d -109.285 133.176 m 109.285 118.438 97.336 106.492 82.602 106.492 c 67.863 - 106.492 55.918 118.438 55.918 133.176 c 55.918 147.914 67.863 159.859 82.602 - 159.859 c 97.336 159.859 109.285 147.914 109.285 133.176 c h -109.285 133.176 m S -83.801 133.176 m 83.801 131.574 81.398 131.574 81.398 133.176 c 81.398 -134.777 83.801 134.777 83.801 133.176 c h -83.801 133.176 m f* 163.801 49.176 m 163.801 47.574 161.398 47.574 161.398 49.176 c 161.398 50.777 163.801 50.777 163.801 49.176 c h 163.801 49.176 m f* [] 0.0 d -82.602 133.176 m 88.602 159.176 l S 162.602 49.176 m 200.602 67.176 l S [ 4 4] 0 d 88.602 159.176 m 88.602 215.176 l S diff --git a/fig/plane-curvature.ipe b/fig/plane-curvature.ipe index 7159dec..816f1aa 100644 --- a/fig/plane-curvature.ipe +++ b/fig/plane-curvature.ipe @@ -1,7 +1,7 @@ <?xml version="1.0"?> <!DOCTYPE ipe SYSTEM "ipe.dtd"> <ipe version="70206" creator="Ipe 7.2.7"> -<info created="D:20200409115248" modified="D:20200412162138"/> +<info created="D:20200409115248" modified="D:20200412162518"/> <ipestyle name="basic"> <symbol name="arrow/arc(spx)"> <path stroke="sym-stroke" fill="sym-stroke" pen="sym-pen"> @@ -324,16 +324,8 @@ h <path stroke="black" dash="dash dotted"> 42.0476 0 0 42.0476 274 670 e </path> -<path stroke="black" dash="dash dotted"> -26.6833 0 0 26.6833 194 586 e -</path> -<use name="mark/disk(sx)" pos="194 586" size="small" stroke="black"/> <use name="mark/disk(sx)" pos="274 670" size="small" stroke="black"/> <path stroke="black"> -194 586 m -200 560 l -</path> -<path stroke="black"> 274 670 m 312 652 l </path> |