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diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index 3045cd0..9f78ac3 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -311,18 +311,19 @@ Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\), dann aus de A_n &= a_1 + \sum_{k=1}^n (k-1)d = a_1 + d + 2d + \cdots + (n-1)d\\ &= \frac{n}{2}\big( 2a_1 + (n-1)d\big) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \end{align*} - + \paragraph{Geometrische Reihe} Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(q \in \mathbb{R} \setminus \{0;1\}\). Aus der geometrischen Folge \(\langle g_k \rangle\) mit \(g_k = a_1 q^k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle G_n \rangle\) mit: \[ G_n = a_1 \sum_{k=1}^n q^{k-1} = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} \] - + \paragraph{Harmonische Reihe} Aus der folge \(\langle h_k \rangle\) mit \(h_k = 1/k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle H_n \rangle\) mit: \[ H_n = \sum_{k=1}^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \] +Achtung: \(H = \lim_{n\to\infty} H_n\) konvergiert nicht! \paragraph{Potenzreihe} Siehe \S\ref{sec:powerseries} @@ -413,6 +414,8 @@ Somit folgt: \implies \text{konvergiert } s \] +\paragraph{Majorantenkriterium} + \subsection{Potenzreihen \brpage{482}} \label{sec:powerseries} \begin{align*} P &= \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n \\ @@ -438,7 +441,11 @@ Sei \(\langle \sqrt{|a_n|}\rangle\) nicht beschr\"ankt (\(a = \infty\)), so ist Innerhalb des \emph{Konvergenzbereiches} \(\{ x : |x - x_0| < r\} = (x_0-r; x_0+r)\) ist die Reihe absolut konvergent, ausserhalb dessen ist sie divergent. Wenn \(r = \infty\) dann ist die Reihe abs. konvergent. -\subsubsection{Funktion darstellen} +\subsubsection{Funktion darstellen \brpage{763}} +Weil innerhalb des Konvergezbereiches die Reihe absolut konvergent ist, muss im Bereich \((x_0 - r; x_0 + r)\) eine stetige Funktion \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\) existieren, die gleichm\"assig zu einer anderen Funktion konvergieren (und somit sie darstellen) kann. + +Wenn eine Funktion \(g: E \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) in \((x_0 - r; x_0 + r) = B \subseteq E\) mit einer Potenzreihe dargestellt werden kann, dann sagt man \(g\) ist \emph{im Gebiet \(B\) reell analytisch}. + \subsubsection{Ableitung und Integration} Sei \(P\) eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius \(r > 0\), die eine Funktion \(f\) darstellt. Innerhalb des Konvergenzradius gilt: @@ -454,7 +461,7 @@ H\"ohere Ableitungen: = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n x^{n-k} \] -\subsubsection{Taylor Polynom und Reihe \brpage{484}} +\subsubsection{Taylor Polynom und Reihe \brpage{484,765}} Der Taylor-Polynom approximiert eine Funktion um einen Entwicklungspunkt \(a\). \begin{align*} T_n(x, a) &= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n\\ @@ -473,7 +480,7 @@ Wenn \(\lim_{n\to\infty}R_n = 0\) dann \(f(x) = T(x,a)\), d.h. die Taylor Rehie %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Differentialgleichungen} +\section{Differentialgleichungen \brpage{553}} \subsection{Definition} Eine Funktion \(y = \varphi(x)\) hei{\ss}t \emph{allgemeine} L\"osung der \(n\)-te Ordnung Differentialgleichung \[ @@ -485,8 +492,7 @@ auf dem Intervall \(I\), wenn \item \(\forall x \in I: F(x, \varphi, \varphi', \varphi'', \dots, \varphi^{(n)}) = 0\) \end{itemize} -Gegeben seien auch der \emph{Anfangspunkt} -\(x_0\), und +Gegeben seien auch der \emph{Anfangspunkt} \(x_0\), und die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen} \(y_0 = y(x_0)\), \(y_1 = y'(x_0)\), @@ -494,8 +500,10 @@ die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen} \(y_{n-1} = y^{(n-1)}(x_0) \in \mathbb{R}\). Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{partikul\"are} L\"osung ergibt. -\subsection{DGL 1. Ordnung} -\subsubsection{Lineare DGL 1. Ordnung} +\subsection{Existenz und Eindeutigkeitssatz} + +\subsection{DGL 1. Ordnung \brpage{554}} +\subsubsection{Lineare DGL 1. Ordnung \brpage{556}} Die funktionen \(f\) und \(g\) seien auf demselben Intervall \(I\) stetig. Die Differentialgleichung \[ y' + f(x)y = g(x) @@ -571,6 +579,8 @@ Die Faltung Integral ergibt die partikul\"are Loesung einer 2. Ordunung Differen \subsection{Lineare DGL \(n\)-te Ordnung} +\subsection{Orthogonale Trajektorien} + \begin{thebibliography}{3} \bibitem{hsr} @@ -587,7 +597,13 @@ Die Faltung Integral ergibt die partikul\"are Loesung einer 2. Ordunung Differen \textit{Albert Fetzer, Heiner Fränkel}, \texttt{ISBN-10 364224114X}, \texttt{ISBN-13 9783642241147} - + \bibitem{terrytao} + Analysis II, + Third Edition 2017 (Jan. 2006), + Hindustan Book Agency, + \textit{Terence Tao}, + \texttt{ISBN-10 818593195X}, + \texttt{ISBN-13 978-8185931951} \end{thebibliography} \section*{Notation} diff --git a/build/an2e_zf.pdf b/build/an2e_zf.pdf Binary files differindex 9e8d34a..2fd9024 100644 --- a/build/an2e_zf.pdf +++ b/build/an2e_zf.pdf |