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diff --git a/an2e_zf.pdf b/an2e_zf.pdf Binary files differindex 8ce459e..62f3b7b 100644 --- a/an2e_zf.pdf +++ b/an2e_zf.pdf diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index c7c965e..702a1c8 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -246,7 +246,11 @@ Die Polarform f\"ur die allgemeine Gleichung der Kurver 2. Ordnung ist \begin{equation} \label{eqn:conics-polar} r = \frac{p}{1 + \varepsilon \cos\varphi} \end{equation} -Der parameter \(\varepsilon\) \"andert die Gestalt folgendermaßen +Im kartesiche Form +\begin{equation} \label{eqn:conics-cartesian} + \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 0 +\end{equation} +Die Parameter \(a,b\) bzw, \(\varepsilon\) \"andern die Gestalt folgendermaßen \begin{multicols}{2} \begin{itemize} \item \(\varepsilon = 0\) Kreis @@ -289,7 +293,7 @@ Der parameter \(\varepsilon\) \"andert die Gestalt folgendermaßen \subsection{Kurven 4. Ordnung \brpage{98}} \paragraph{Kardioide / Herzkurve \brpage{99,100}} \[ - r = a(1 + cos\varphi) + r = a(1 + \cos\varphi) \] \paragraph{Lemniskate \brpage{101}} @@ -478,28 +482,45 @@ die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen} \(y_1 = y'(x_0)\), \dots, \(y_{n-1} = y^{(n-1)}(x_0) \in \mathbb{R}\). -Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{spezifische} L\"osung ergibt. +Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{partikul\"are} L\"osung ergibt. \subsection{DGL 1. Ordnung} +\subsubsection{Lineare DGL 1. Ordnung} Die funktionen \(f\) und \(g\) seien auf demselben Intervall \(I\) stetig. Die Differentialgleichung \[ y' + f(x)y = g(x) \] hei{\ss}t \emph{homogen}, wenn \(g\) die Nullfunktion (\(=0\)) auf \(I\) ist, sonst \emph{inhomogen}. \(g\) hei{\ss}t St\"orglied. +Die Allgemeine L\"osung ist +% \[ +% y = \exp\left[-\int f(x)\di{x}\right] \left[ +% k + \int g(x)\exp\left( +% \int f(x)\di{x} +% \right)\di{x} \right] \\ +% \] +\[ + Y = \left\{ y : y = y_\text{H} + y_\text{P} \text{ mit } y_\text{H} \in Y_\text{H}\right\} +\] +\[ + y = e^{-F}\left[k + \int ge^F\di{x}\right] + \quad k \in \mathbb{R} +\] -\paragraph{Separation} Wenn die DGL die Form \(y' = g(y) f(x)\) hat, dann l\"asst sie sich mit der Umformung -\begin{gather*} - \frac{y'}{g(y)} = f(x) \implies \int \frac{\dd{y}}{g(y)} = \int f(x) \di{x} \\ -\end{gather*} -Ein Speziallfall \(g(y) = y\) hat die allgemeine L\"osung +\subsubsection{Tricks} + +\paragraph{Separation} Wenn die DGL die Form \(y' + f(x) p(y) = 0\) hat, dann l\"asst sie sich mit der Umformung +\[ + \frac{y'}{p(y)} = -f(x) \implies \int \frac{\dd{y}}{p(y)} = - \int f(x) \di{x} +\] +Ein Speziallfall \(p(y) = y\) (homogen lineare DGL) hat die allgemeine L\"osung \[ - y = k\exp\left(\int f(x) \di{x} \right) = k \mathit{e}^{F} + y = k\exp\left[-\int f(x) \di{x} \right] = k{ e}^{-F} \] \paragraph{Substitution Linearterm} Hat die DGL die Form \(y' = f(ax + by + c)\), dann benutzt man die Substitution \begin{align*} z &= ax + by + c \iff y(z) = b(z-c)/ax \\ - z' &= a + by' \implies z' = a + b y'(z) \text{ separiert!} + z' &= a + by' \implies z' = a + b y'(z) \quad\text{separiert!} \end{align*} Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen. @@ -509,9 +530,11 @@ Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen. &\implies z' = \frac{1}{x}\left(y'(x) - z\right) \quad\text{separiert!} \end{align*} + + \subsection{DGL 2. Ordnung} -\subsubsection{Lineare DGL 2. Ordnung} +\subsubsection{Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten} \[ y'' + a_1 y' + a_0 y = f(x) \] |