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index c7c965e..702a1c8 100644
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@@ -246,7 +246,11 @@ Die Polarform f\"ur die allgemeine Gleichung der Kurver 2. Ordnung ist
\begin{equation} \label{eqn:conics-polar}
r = \frac{p}{1 + \varepsilon \cos\varphi}
\end{equation}
-Der parameter \(\varepsilon\) \"andert die Gestalt folgendermaßen
+Im kartesiche Form
+\begin{equation} \label{eqn:conics-cartesian}
+ \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 0
+\end{equation}
+Die Parameter \(a,b\) bzw, \(\varepsilon\) \"andern die Gestalt folgendermaßen
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item \(\varepsilon = 0\) Kreis
@@ -289,7 +293,7 @@ Der parameter \(\varepsilon\) \"andert die Gestalt folgendermaßen
\subsection{Kurven 4. Ordnung \brpage{98}}
\paragraph{Kardioide / Herzkurve \brpage{99,100}}
\[
- r = a(1 + cos\varphi)
+ r = a(1 + \cos\varphi)
\]
\paragraph{Lemniskate \brpage{101}}
@@ -478,28 +482,45 @@ die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen}
\(y_1 = y'(x_0)\),
\dots,
\(y_{n-1} = y^{(n-1)}(x_0) \in \mathbb{R}\).
-Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{spezifische} L\"osung ergibt.
+Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{partikul\"are} L\"osung ergibt.
\subsection{DGL 1. Ordnung}
+\subsubsection{Lineare DGL 1. Ordnung}
Die funktionen \(f\) und \(g\) seien auf demselben Intervall \(I\) stetig. Die Differentialgleichung
\[
y' + f(x)y = g(x)
\]
hei{\ss}t \emph{homogen}, wenn \(g\) die Nullfunktion (\(=0\)) auf \(I\) ist, sonst \emph{inhomogen}. \(g\) hei{\ss}t St\"orglied.
+Die Allgemeine L\"osung ist
+% \[
+% y = \exp\left[-\int f(x)\di{x}\right] \left[
+% k + \int g(x)\exp\left(
+% \int f(x)\di{x}
+% \right)\di{x} \right] \\
+% \]
+\[
+ Y = \left\{ y : y = y_\text{H} + y_\text{P} \text{ mit } y_\text{H} \in Y_\text{H}\right\}
+\]
+\[
+ y = e^{-F}\left[k + \int ge^F\di{x}\right]
+ \quad k \in \mathbb{R}
+\]
-\paragraph{Separation} Wenn die DGL die Form \(y' = g(y) f(x)\) hat, dann l\"asst sie sich mit der Umformung
-\begin{gather*}
- \frac{y'}{g(y)} = f(x) \implies \int \frac{\dd{y}}{g(y)} = \int f(x) \di{x} \\
-\end{gather*}
-Ein Speziallfall \(g(y) = y\) hat die allgemeine L\"osung
+\subsubsection{Tricks}
+
+\paragraph{Separation} Wenn die DGL die Form \(y' + f(x) p(y) = 0\) hat, dann l\"asst sie sich mit der Umformung
+\[
+ \frac{y'}{p(y)} = -f(x) \implies \int \frac{\dd{y}}{p(y)} = - \int f(x) \di{x}
+\]
+Ein Speziallfall \(p(y) = y\) (homogen lineare DGL) hat die allgemeine L\"osung
\[
- y = k\exp\left(\int f(x) \di{x} \right) = k \mathit{e}^{F}
+ y = k\exp\left[-\int f(x) \di{x} \right] = k{ e}^{-F}
\]
\paragraph{Substitution Linearterm} Hat die DGL die Form \(y' = f(ax + by + c)\), dann benutzt man die Substitution
\begin{align*}
z &= ax + by + c \iff y(z) = b(z-c)/ax \\
- z' &= a + by' \implies z' = a + b y'(z) \text{ separiert!}
+ z' &= a + by' \implies z' = a + b y'(z) \quad\text{separiert!}
\end{align*}
Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen.
@@ -509,9 +530,11 @@ Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen.
&\implies z' = \frac{1}{x}\left(y'(x) - z\right) \quad\text{separiert!}
\end{align*}
+
+
\subsection{DGL 2. Ordnung}
-\subsubsection{Lineare DGL 2. Ordnung}
+\subsubsection{Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten}
\[
y'' + a_1 y' + a_0 y = f(x)
\]