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-rw-r--r--an2e_zf.tex75
-rw-r--r--fig/plane-curvature.eps11
-rw-r--r--fig/plane-curvature.ipe10
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diff --git a/an2e_zf.pdf b/an2e_zf.pdf
index 97801b0..295cb19 100644
--- a/an2e_zf.pdf
+++ b/an2e_zf.pdf
Binary files differ
diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex
index 9cb871c..c0baefc 100644
--- a/an2e_zf.tex
+++ b/an2e_zf.tex
@@ -129,14 +129,19 @@ Die selbe gilt umgekehrt f\"ur Divergenz. Wenn \(0 < h(x) \leq f(x)\)
\(g\) und \(h\) hei{\ss}en Majorant und Minorant bzw.
\section{Implizite Ableitung \brpage{448}}
-Alle normale differenziazionsregeln gelten.
+\begin{alignat*}{3}
+ (af)' &= af' &\quad&& (u(v(x)))' &= u'(v)v' \\
+ (uv)' &= u'v + uv' &\quad&& \left(\frac{u}{v}\right)' &= \frac{u'v-uv'}{v^2} \\
+ \left(\sum u_i\right)' &= \sum u'_i &\quad&& (\ln u)' &= \frac{u'}{u} \\
+ (f^{-1})' &= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
+\end{alignat*}
+Alle normale differenziazionsregeln f\"ur \(f(x)\) gelten.
+Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\)
\[
- \dd{y} = y'\dd{x}
+ \dd{y} = y'\dd{x}
+ \qquad
+ \pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0
\]
-%Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\)
-%\[
-% \pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0
-%\]
\section{Differentialgeometrie}
@@ -192,7 +197,7 @@ Man kann auch die Tangentengleichung und die Normalengleichung zur Zeitpunkt \(\
\end{align*}
\subsubsection{Kr\"ummung und Kr\"ummungsradius \brpage{254}}
-Siehe Tab. \ref{tab:plane-curves-big} f\"ur die Rechnungsformeln.
+Siehe Tab. \ref{tab:plane-curves-big} f\"ur die Rechnungsformeln und Abb. \ref{fig:plane-curvature} f\"ur eine graphische Deutung.
\[
\kappa
= \lim_{\Delta s\to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s}
@@ -200,6 +205,28 @@ Siehe Tab. \ref{tab:plane-curves-big} f\"ur die Rechnungsformeln.
\qquad
R = 1/\kappa
\]
+Eine gerade hat \(\kappa = 0\) und \(R = \infty\).
+Entsprechend der Orientierung der \(x\)-Achse, entspricht einer \(\kappa > 0\) eine Linkskr\"ummung und \(\kappa < 0\) eine Rechtskr\"ummung.
+
+Der Kr\"ummungskreis hat Ma{\ss}zahl \(\rho = 1/|\kappa|\) und Mittelpunkt \(P_c\) gem\"a\ss
+\[
+ P_c = \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \end{pmatrix}
+ = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{\kappa} \vec{\hat{n}}
+\]
+Wobei \(\vec{\hat{n}} = \vec{\ddot{\Lambda}}^0\) ist der Normalenvektor.
+
+\subsubsection{Konvexit\"at}
+Sei die Kurve \(\Lambda\) durch \(f \in C^2\) auf \([a,b]\) gegeben.
+\begin{itemize}
+ \item \(f\) ist auf \((a,b)\) konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa \geq 0\) (bzw. \(\kappa \leq 0\)) \(\forall x \in (a,b)\).
+ \item \(f\) ist auf \((a,b)\) streng konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa > 0\) (bzw. \(\kappa < 0\)) \(\forall x \in (a,b)\).
+ \item Hat in \(\Lambda\) in \(P\) einen Wendepunkt, dann \(\kappa(P) = 0\).
+\end{itemize}
+
+
+
+\subsubsection{Evoluten und Evolventen \brpage{262}}
+
\begin{figure}[h]
\centering
@@ -252,38 +279,42 @@ You should have received a copy of the license along with this work. If not, see
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{tabular}{l *{3}{>{\(\displaystyle}l<{\)}} }
\toprule
-\textbf{Ebene Kurven} & \textbf{Explizit } y = f(x) & \textbf{Polar } \vec{r}(\varphi) & \textbf{Parameter } \vec{c}(t) = \left(x(t), y(y)\right) \\
+\textbf{Ebene Kurven} & \textbf{Kartesich } y = f(x) & \textbf{Polar } \vec{r}(\varphi) & \textbf{Parameter } \vec{c}(t) = \left(x(t), y(y)\right) \\
\midrule
-Bogenl\"ange \brpage{251}
- & \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x}
- & \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi}
- & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{c}| \dd{t}
+Anstieg \brpage{448}
+ & f'
+ & \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi}
+ & \dot{x}/\dot{y}
\\
-Fl\"ache
+Fl\"ache \brpage{493}
& \int\limits_a^b |f(x)| \dd{x}
& \frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta r(\varphi)^2 \dd{\varphi}
& \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1} x\dot{y} - \dot{x}y \dd{t} = \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1}\det(\vec{c},\dot{\vec{c}}) \dd{t}
\\
+Bogenl\"ange \brpage{251,514}
+ & \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x}
+ & \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi}
+ & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{c}| \dd{t}
+\\
+Kr\"ummung \(\kappa\) \brpage{254}
+ & \frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}^3}
+ & \frac{2(r')^2 - r r'' + r^2}{\sqrt{r^2 + (r')^2}^3}
+ & \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}^3}
+ = \frac{\det(\vec{\dot{c}},\vec{\ddot{c}})}{|\vec{\dot{c}}|^3}
+\\[1em]
\midrule
-Rotationsvolumen um \(x\)
+Rotationsvolumen um \(x\) \brpage{516}
& \pi \left|\int\limits_a^b y^2 \dd{x} \right|
& \pi \left|\int\limits_{t_0}^{t_1} y \dot{x} \dd{t} \right|
& \pi \left|\int\limits_\alpha^\beta r^2 \sin^2 \varphi (r'\cos\varphi - r\sin\varphi) \dd{\varphi} \right|
\\
-Rotationsoberfl\"ache um \(x\)
+Rotationsoberfl\"ache um \(x\) \brpage{515}
& 2\pi \int\limits_a^b |y| \sqrt{1 + (y')^2} \dd{x}
& 2\pi \int\limits_\alpha^\beta |r\sin(\varphi)| \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi}
& 2\pi \int\limits_{t_0}^{t_1} |y| \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t}
\\
% Rotationsvolumen um \(y\) \\
% Rotationsoberfl\"ache um \(y\) \\
-\midrule
-Kr\"ummung \(\kappa\)
- & \frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}^3}
- &
- & \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}^3}
- = \frac{\det(\vec{\dot{c}},\vec{\ddot{c}})}{|\vec{\dot{c}}|^3}
-\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{sidewaystable}
diff --git a/fig/plane-curvature.eps b/fig/plane-curvature.eps
index 64e39da..2096dc0 100644
--- a/fig/plane-curvature.eps
+++ b/fig/plane-curvature.eps
@@ -1,6 +1,6 @@
%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0
%%Creator: cairo 1.15.10 (http://cairographics.org)
-%%CreationDate: Sun Apr 12 16:21:18 2020
+%%CreationDate: Sun Apr 12 16:25:25 2020
%%Pages: 1
%%DocumentData: Clean7Bit
%%LanguageLevel: 2
@@ -1175,19 +1175,10 @@ ET
120.551 25.953 120.551 49.176 c 120.551 72.398 139.379 91.223 162.602 91.223
c 185.82 91.223 204.648 72.398 204.648 49.176 c h
204.648 49.176 m S
-[ 4 2 1 2] 0 d
-109.285 133.176 m 109.285 118.438 97.336 106.492 82.602 106.492 c 67.863
- 106.492 55.918 118.438 55.918 133.176 c 55.918 147.914 67.863 159.859 82.602
- 159.859 c 97.336 159.859 109.285 147.914 109.285 133.176 c h
-109.285 133.176 m S
-83.801 133.176 m 83.801 131.574 81.398 131.574 81.398 133.176 c 81.398
-134.777 83.801 134.777 83.801 133.176 c h
-83.801 133.176 m f*
163.801 49.176 m 163.801 47.574 161.398 47.574 161.398 49.176 c 161.398
50.777 163.801 50.777 163.801 49.176 c h
163.801 49.176 m f*
[] 0.0 d
-82.602 133.176 m 88.602 159.176 l S
162.602 49.176 m 200.602 67.176 l S
[ 4 4] 0 d
88.602 159.176 m 88.602 215.176 l S
diff --git a/fig/plane-curvature.ipe b/fig/plane-curvature.ipe
index 7159dec..816f1aa 100644
--- a/fig/plane-curvature.ipe
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@@ -1,7 +1,7 @@
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@@ -324,16 +324,8 @@ h
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