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diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index cd5aec7..c7c965e 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -493,7 +493,7 @@ hei{\ss}t \emph{homogen}, wenn \(g\) die Nullfunktion (\(=0\)) auf \(I\) ist, so \end{gather*} Ein Speziallfall \(g(y) = y\) hat die allgemeine L\"osung \[ - y = k\exp\left(\int f(x) \di{x} \right) = k \nemathit{e}^{F} + y = k\exp\left(\int f(x) \di{x} \right) = k \mathit{e}^{F} \] \paragraph{Substitution Linearterm} Hat die DGL die Form \(y' = f(ax + by + c)\), dann benutzt man die Substitution @@ -503,7 +503,7 @@ Ein Speziallfall \(g(y) = y\) hat die allgemeine L\"osung \end{align*} Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen. -\paragraph{Glaichgradigkeit} Hat die DGL die Form \(y' = f(y/x) \quad x \neq 0\), dann benutzt die Substitution +\paragraph{Gleichgradigkeit} Hat die DGL die Form \(y' = f(y/x) \quad x \neq 0\), dann benutzt die Substitution \begin{align*} z = y/x &\implies y' = z'x + z \\ &\implies z' = \frac{1}{x}\left(y'(x) - z\right) \quad\text{separiert!} @@ -511,6 +511,26 @@ Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen. \subsection{DGL 2. Ordnung} +\subsubsection{Lineare DGL 2. Ordnung} +\[ + y'' + a_1 y' + a_0 y = f(x) +\] +Versuch mit \(y = Ae^{\lambda x}\) +\begin{align*} + 0 &= A\lambda^2 e^{\lambda x} + a_1 A \lambda e^{\lambda x} + a_0 A e^{\lambda x} \\ + 0 &= \lambda^2 + a_1\lambda + a_0 +\end{align*} +Der \emph{charakteristische Polynom} hat die L\"osungen +\[ + \lambda_{12} = \frac{1}{2}\left(-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_0}\right) +\] +Falls \(\lambda \in \mathbb{R}\), dann hei{\ss}t er \emph{D\"ampfung}. Sonst ist \(\mathbb{C} \ni \lambda = k \pm\jmath\alpha\), \(\alpha\) nennt man \emph{Frequenz}. Daher hat die L\"osung die Form: +\[ + Ce^{k\pm\jmath\alpha} + = A\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\cos(\alpha x) + + B\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\sin(\alpha x) +\] + \begin{thebibliography}{3} \bibitem{hsr} |