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diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index 50b9aff..cd5aec7 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -461,7 +461,7 @@ Wenn \(\lim_{n\to\infty}R_n = 0\) dann \(f(x) = T(x,a)\), d.h. die Taylor Rehie \section{Differentialgleichungen} \subsection{Definition} -Eine Funktion \(y = \varphi(x)\) hei{\ss}t L\"osung der \(n\)-te Ordnung Differentialgleichung +Eine Funktion \(y = \varphi(x)\) hei{\ss}t \emph{allgemeine} L\"osung der \(n\)-te Ordnung Differentialgleichung \[ F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0 \] @@ -481,14 +481,33 @@ die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen} Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{spezifische} L\"osung ergibt. \subsection{DGL 1. Ordnung} -Sei \(y' = f(x, y)\) +Die funktionen \(f\) und \(g\) seien auf demselben Intervall \(I\) stetig. Die Differentialgleichung +\[ + y' + f(x)y = g(x) +\] +hei{\ss}t \emph{homogen}, wenn \(g\) die Nullfunktion (\(=0\)) auf \(I\) ist, sonst \emph{inhomogen}. \(g\) hei{\ss}t St\"orglied. \paragraph{Separation} Wenn die DGL die Form \(y' = g(y) f(x)\) hat, dann l\"asst sie sich mit der Umformung \begin{gather*} \frac{y'}{g(y)} = f(x) \implies \int \frac{\dd{y}}{g(y)} = \int f(x) \di{x} \\ - y = k \end{gather*} +Ein Speziallfall \(g(y) = y\) hat die allgemeine L\"osung +\[ + y = k\exp\left(\int f(x) \di{x} \right) = k \nemathit{e}^{F} +\] +\paragraph{Substitution Linearterm} Hat die DGL die Form \(y' = f(ax + by + c)\), dann benutzt man die Substitution +\begin{align*} + z &= ax + by + c \iff y(z) = b(z-c)/ax \\ + z' &= a + by' \implies z' = a + b y'(z) \text{ separiert!} +\end{align*} +Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen. + +\paragraph{Glaichgradigkeit} Hat die DGL die Form \(y' = f(y/x) \quad x \neq 0\), dann benutzt die Substitution +\begin{align*} + z = y/x &\implies y' = z'x + z \\ + &\implies z' = \frac{1}{x}\left(y'(x) - z\right) \quad\text{separiert!} +\end{align*} \subsection{DGL 2. Ordnung} |