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diff --git a/an2e_zf.tex b/an2e_zf.tex index 234dbe0..aef3f8b 100644 --- a/an2e_zf.tex +++ b/an2e_zf.tex @@ -113,7 +113,7 @@ Wenn \(f\) im Punkt \(u \in (a,b)\) nicht definiert ist. \end{equation} \subsection{Cauchy Hauptwert \brpage{523}} -Der C.H. (oder PV f\"ur \emph{Principal Value} auf Englisch) eines uneigentlichen Integrals ist der Wert, wenn in einem Integral wie \eqref{eqn:int-with-pole} beide Grenzwerte mit der gleiche Geschwindigkeit gegen 0 sterben. +Der C.H. (oder PV f\"ur \emph{Principal Value} auf Englisch) eines uneigentlichen Integrals ist der Wert, wenn in einem Integral wie \eqref{eqn:int-with-pole} beide Grenzwerte mit der gleiche Geschwindigkeit gegen 0 streben. \[ \text{C.H.} \int\limits_a^b f \dd{x} = \lim_{\epsilon\to +0} \left( \int\limits_a^{u-\epsilon} f \dd{x} @@ -166,7 +166,7 @@ Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\) \end{figure} Sei \(\Lambda: x = \phi(t),\, y = \psi(t), t\in I\) eine glatte Jordankurve. -Beispiel im Abb. \ref{fig:plane-curve}. +Beispiel in Abb. \ref{fig:plane-curve}. \paragraph{Polar zu Kartesian} \[ @@ -268,12 +268,12 @@ Der parameter \(\varepsilon\) \"andert die Gestalt folgendermaßen \begin{multicols}{2} \begin{itemize} \item \(\varepsilon = 0\) Kreis - \item \(\varepsilon \in (0;1)\) Ellipse + \item \(|\varepsilon| \in (0;1)\) Ellipse \end{itemize} \columnbreak \begin{itemize} - \item \(\varepsilon = 1\) Parabel - \item \(\varepsilon > 1\) Hyperbel + \item \(|\varepsilon| = 1\) Parabel + \item \(|\varepsilon| > 1\) Hyperbel \end{itemize} \end{multicols} @@ -317,49 +317,97 @@ Der parameter \(\varepsilon\) \"andert die Gestalt folgendermaßen \section{Reihen} \subsection{Bemerkenswerte Rehien \brpage{19,477}} -\paragraph{Arithmetische Reihe} Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\), dann aus der arithmetischen Folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = a_1 + (k-1)d\) erh\"alt man die Reihe \(\langle A_n \rangle\) mit: +\paragraph{Arithmetische Reihe} +Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\), dann aus der arithmetischen Folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = a_1 + (k-1)d\) erh\"alt man die Reihe \(\langle A_n \rangle\) mit: \begin{align*} A_n &= a_1 + \sum_{k=1}^n (k-1)d = a_1 + d + 2d + \cdots + (n-1)d\\ &= \frac{n}{2}\big( 2a_1 + (n-1)d\big) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \end{align*} -\paragraph{Geometrische Reihe} Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(q \in \mathbb{R} \setminus \{0;1\}\). Aus der geometrischen Folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = a_1 q^k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle G_n \rangle\) mit: -\begin{align*} +\paragraph{Geometrische Reihe} +Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(q \in \mathbb{R} \setminus \{0;1\}\). Aus der geometrischen Folge \(\langle g_k \rangle\) mit \(g_k = a_1 q^k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle G_n \rangle\) mit: +\[ G_n = a_1 \sum_{k=1}^n q^{k-1} = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} -\end{align*} +\] -\paragraph{Harmonische Reihe} Aus der folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = 1/k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle H_n \rangle\) mit: -\begin{align*} +\paragraph{Harmonische Reihe} +Aus der folge \(\langle h_k \rangle\) mit \(h_k = 1/k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle H_n \rangle\) mit: +\[ H_n = \sum_{k=1}^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} -\end{align*} +\] + +\paragraph{Potenzreihe} Siehe \S\ref{sec:powerseries} \subsection{Unendlichen \brpage{470,477}} +Sei \(\langle a_n \rangle\) eine Folge die Reihe \(\langle S_n \rangle\), +\[ + S_n = \sum_{k=1}^n a_k \qquad S = \lim_{n\to\infty} S_n +\]. + +\subsubsection{Konvergenz \brpage{472,475}} + +\paragraph{Absolute \brpage{475}} +Die Reihe \(S_n\) hei{\ss}t \emph{absoulut konvergent} wenn +\[ + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left| a_k \right| \text{ konvergiert} +\] +Wenn eine Reihe absolut konvergent ist, dann +\begin{enumerate} + \item sie ist auch konvergent. + \item die Glieder k\"onnen nach Belieben miteinander vertauscht weden. + \item sei \(\displaystyle + c_n = \sum_{k=1}^n a_k b_{n-k+1} = a_n b_1 + a_{n-1} b_2 + \cdots + a_1 b_n + \) (\(a_n\) und \(b_n\) abs. konvergent gegen \(a\) bzw. \(b\)), dann + \[ + \sum_{n=1}^\infty c_n = + \left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right) + \left(\sum_{n=1}^\infty b_n\right) + \] +\end{enumerate} + +\paragraph{Bedingte} Wenn die Reihe \(S_n\) nicht abs. konvergiert, aber es eine Umordnung gibt, soda{\ss} die umgeordnete Reihe entweder divergent ist oder gegen eine von verschiedene Summe konvergiert. Dann hei{\ss}t die Reihe \emph{bedingt konvergent}. + \subsubsection{Konvergenzkriterien \brpage{472}} -Sei \(\langle a_n \rangle\) eine Folge die Reihe -\( \displaystyle - s = \sum_{n=1}^\infty a_n -\). \paragraph{Cauchy'sches \brpage{475}} +\[ + \forall \varepsilon > 0 : \forall m,n \in \mathbb{N}, m > n: + \left| \sum_{k=n+1}^m a_k \right| < \varepsilon +\] \paragraph{Wurzelkriterium von Cauchy \brpage{474}} \[ \alpha = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} - \qquad - \alpha < 1 \implies \text{ konvergent} + \implies\begin{cases} + \alpha < 1 \quad \text{(abs.) konvergent} \\ + \alpha > 1 \quad \text{divergent} + \end{cases} \] +Wenn \(\alpha = 1\) man kann nicht direkt eine Konvergenz / Divergenz schliessen. \paragraph{Quotientenkriterium von d'Alambert \brpage{474}} +\[ + \alpha = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| + \implies\begin{cases} + \alpha < 1 \quad \text{(abs.) konvergent} \\ + \alpha > 1 \quad \text{divergent} + \end{cases} +\] -\paragraph{Leibniz'sches \brpage{476}} +\paragraph{Leibniz'sches (f\"ur alternierenden Reihen) \brpage{476}} +Wenn \(\langle a_n \rangle\) eine alterniende Folge ist, dann gilt +\begin{gather*} + \langle |a_n| \rangle \text{ ist eine monoton fallende Nullfolge} \\ + \implies \langle s_n \rangle \text{ konvergiert} +\end{gather*} \paragraph{Integralkriterium \brpage{475}} Sei \(f(x) \geq 0\), \(x \in [1;\infty)\) und \(f\downarrow\). Merkt man dass: \[ - S = \int\limits_1^n f(x) \dd{x} + \overbrace{\int\limits_1^n f(x) \dd{x}}^{S} \leq \sum_{k=1}^n a_k - \leq \int\limits_2^n f(x-1) \dd{x} = S + \leq \overbrace{\int\limits_2^n f(x-1) \dd{x}}^{\text{Auch } S} \] Somit folgt: \[ @@ -367,6 +415,23 @@ Somit folgt: \implies \text{konvergiert } s \] +\subsection{Potenzreihen} \label{sec:powerseries} +\[ + P = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots +\] +Sei \(\lim_{n\to\infty} \sqrt{|a_n|} = a \) (Wurzelkriterium) +\begin{align*} + a = 0 &\implies \text{ abs. konvergent} \\ + a > 0 &\implies + \forall x \in \mathbb{R}: + \begin{cases} + |x| < 1/a: \text{ abs. konvergent} \\ + |x| > 1/a: \text{ divergent} + \end{cases} +\end{align*} +\subsubsection{Konvergenzradius/bereich} +Sei \(\langle \sqrt{|a_n|}\rangle\) nicht beschr\"ankt, so ist \(P\) nur f\"ur \(x=0\) konvergent. + \begin{thebibliography}{3} \bibitem{hsr} \texttt{An2E} Vorlesungen an der Hochschule f\"ur Technik Rapperswil und der dazugeh\"orige Skript, |