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% Packages
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version={4.0},
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% Metadata
\course{Elektrotechnik}
\module{KomFour}
\semester{Fr\"uhlingssemester 2020}
\authoremail{npross@hsr.ch}
\author{Naoki Pross -- \texttt{\theauthoremail}}
\title{\texttt{\themodule} Zusammenfassung}
\date{\thesemester}
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% Macros and settings
%% Equal by definition
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%% number sets
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%% Complex operators
\DeclareMathOperator\cjs{cjs}
\newcommand\cjsl[1]{\cos #1 + j\sin #1}
\newcommand\ej[1]{e^{j#1}}
\newcommand\conj[1]{\overline{#1}}
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\renewcommand\Re{\operatorname{Re}}
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%% Theorems
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\theoremstyle{komfourzf}
\newtheorem{theorem}{Satz}
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% Document
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\section{Komplexe Zahlen}
\begin{theorem}[Komplexe Einheit]
\(
j \defeq +\sqrt{-1} \iff j^2 = -1
\)
\end{theorem}
\begin{theorem}[Summe] Seien \(a, b \in \Cset\),
\(a = a_1 + ja_2, a_1,a_2 \in \Rset\) und \"ahnlich f\"ur \(b\)
\[
a \oplus b = (a_1 + b_1) + j (a_2 + b_2)
\]
\end{theorem}
\begin{theorem}[Multiplikation] Seien \(a, b \in \Cset\)
\(\arg a = \phi, \arg b = \theta\)
\begin{description}
\item[Kartesich] \(a \odot b = (a_1 b_1 - a_2 b_2) + j (a_1 b_2 + a_2 b_1)\)
\item[Polar] \(a\odot b = |a|\cdot|b|\exp{j(\phi + \theta)}\)
\end{description}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Division] Seien \(a, b \in \Cset\)
mit \(\arg a = \phi, \arg b = \theta\),
dann \(a / b = |a|/|b|\exp{j(\phi - \theta)}\)
\end{theorem}
\begin{theorem}[Potenzen]~
\begin{itemize}
\item F\"ur \(n \in \Nset\) gilt
\(\cjs(x)^n = \cjs(nx) \iff \left(\ej{x}\right)^n = \ej{nx}\)
\item
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Wurzeln] Sei \(\Cset \ni z = r\ej{\phi}\).
\(z\) hat genau \(n\) verschiedene \(n\)-te Wurzeln
(\(n \in \Nset\))
\[
w_{k+1} = \sqrt[n]{r}\exp \frac{j(\phi + 2k\pi)}{n}
\qquad k = 0,1,\ldots,n-1
\]
Beachtung! Allgemein \(a,b \in \Cset: \sqrt[n]{ab} \neq \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)
\end{theorem}
\begin{theorem}[Polynome in \(\Cset\)]~ %
\begin{itemize}
\item Jedes komplexe Polynom vom Grad \(\geq 1\) hat mindestens eine Nullstelle.
\item Ein komplexes Polynom \(p(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0\) vom
Grad \(n\) zerf\"allt in \(\Cset\) in lauter lineare Faktoren, wobei \(z_k
\in \Cset\) als Nullstellen von \(p(z)\) nicht unbedingt verschieden sein
m\"ussen.
\item Ein komplexes Polynom \(p(z)\) vom Grad \(n\) hat in \(\Cset\) genau
\(n\) (verschiedene) Nullstellen, wenn diese mit ihrer Vielfachheit
gez\"ahlt werden.
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Polynome mit reellen Koeffizienten]~ %
\begin{itemize}
\item F\"ur Polynome mit reellen Koeffizienten \(p(z)\) treten nicht-reelle
Nullstellen nur als \emph{konjugiert-komplexe} Paare \(w, \conj{w}\).
In der komplexen Linearfaktor-Zerlegung von \(p(z)\) k\"onnen dan wei
Faktoren \((z-z_0)\) und \((z-\conj{z_0})\) jeweils zu einem
quadratischen Faktor \[
z^2 - 2 \Re(z_0) z + \len{z}^2
\] mit \emph{reellen} Koeffizienten zusammengefasst werden.
\item Ein Polynom mit reellen Koeffizienten von \emph{ungeraden} Grad hat
mindestens eine \emph{reelle} Nullstelle.
\item Alle Nullstellen des Polynoms \(p(z) = a_n z^n + \cdot + a_1 z + a_0\)
liegen in der Gauss'schen Zahlenebene in einer Kreisscheibe um der
Ursprung mit Radius \[
R = \sum_{k=0}^n \left\lvert\frac{a_k}{a_n}\right\rvert
\]
%% TODO: kubische Gleichung
\item F\"ur allgemeine Gleichungen vom Grad 5 und gr\"osser existieren
prinzipiell \emph{keine} nur aus den 4 Grundoperationen und Wurzeln
zusammengesetzten L\"osungsformeln.
\end{itemize}
\end{theorem}
\section{Komplexwertige Funktionen}
\section{Fourierreihen}
\section{Spektren}
\section{Diskrete Fouriertransformation}
\section{Lizenz}
\doclicenseThis
\end{document}
% vim: set et ts=2 sw=2 spelllang=de spell linebreak :
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