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% Naoki Pross 2017
%
% Estratto dai corsi presso la Scuola delle Arti e Mestieri di
% Bellinzona.
\section{L'amplificatore Operazionale (\texttt{op-amp})}
%% TODO: schema opamp
\begin{center}
\begin{tabular}{ l r r l}
& Ideale & Reale \\
\hline \\
Amplificazione di tensione & $\infty$ & $10^4 \div 10^8$ \\
Resistenza d'ingresso\footnotemark[1] & $\infty$ & $10^5 \div 10^{15}$ & $\Omega$ \\
Resistenza d'uscita\footnotemark[2] & $0$ & $20 \div 500$ & $\Omega$ \\
Banda passante & $0\div\infty$ & $0\div 50$ & MHz \\
\end{tabular}
\end{center}
\footnotetext[1]{Resistenza tra l'ingresso e la massa}
\footnotetext[2]{Resistenza interna del generatore}
$$ A_{db} = 20\cdot\log (G) $$
$$ A_{db} = 20\cdot\log \Big (\frac{U_u}{U_i}\Big)$$
$$ G = 10^\frac{A_{db}}{20} $$
\section{\texttt{op-amp} funzionamento ad anello chiuso}
L'op-amp utilizzato ad anello aperto (open loop) non presenta un
comportamento lineare a causa dell'elevato guadagno ($A_{ol}$). Inoltre
($A_{ol}$) \`e dipendente dalla temperatura, quindi pu\`o presentare una
considerevole variazione. Pertanto la configurazione ad anello aperto
non pu\`o essere usata per circuiti amplificatori o attenuatori.
Occore in questi casi inserire l'op-amp in una rete di \emph{retroazione
negativa} (o controreazione) che consenta di limitare il guadagno
complessivo e rendere la risposta del circuito \emph{lineare} per
escursioni relativamente ampie di $V_{in}$, definito dal progettista e
indipendente da $A_{ol}$
In zona di funzionamento lineare si considera $U_d = 0$ V per $-V_{sat}
< V_o < V_{sat}$, quindi $A_{ol} = \infty$.
\begin{figure}[!h] \centering
\begin{pspicture}(5,2)
\pnodes(0,0){A}(0,2){B}(5,1){C}(5,0){G}
\tension(B)(A){$V_d$}
\OA(B)(A)(C)
\tension(C)(G){$V_o$}
\ground(G)
\end{pspicture}
\vspace{1em}
\caption{{\tt op-amp} ideale}
\end{figure}
\subsection{Amplificatore Invertente}
Considerando il circuito seguente.
Se $V_d = 0$ l'ingresso inverente \`e a massa virtuale. Pertanto
$$i = \frac{V_i}{R_A} \qquad e \qquad i_F = \frac{V_o}{R_F}$$
Se nell'ingresso invertente non scorre corrente ($i_- = 0$) possiamo
asserire che $i = i_F$, quindi
$$ - \frac{V_o}{R_F} = \frac{V_i}{R_A} \implies V_o = V_i \cdot\frac{R_F}{R_A}$$
$$ A_V = \frac{V_o}{V_i} \implies A_V = -\frac{R_F}{R_A} $$
% opamp invertente
\begin{figure}[h] \centering
\begin{pspicture}(8,4)
\pnodes(0,3){A}(3,3){B}(6,3){C}(8,3){D}
\pnodes(3,3){OM}(3,0){OP}(6,1.5){OO}
\pnodes(0,0){G1}(6,0){G2}(8,0){G3}
\psdots(A)(OO)(OM)
\OA[OAiminuslabel=$i_-$,OAioutlabel=$i_o$](OM)(OP)(OO)
\ground(OP)
\resistor[intensitylabel=$i$](A)(OM){$R_A$}
\psline(OM)(B)
\resistor[intensitylabel=$i_F$,directconvention=false](B)(C){$R_F$}
\psline(C)(OO)
\psline[linestyle=dashed]{-}(C)(D)
\resistor[intensitylabel=$i_L$](D)(G3){$R_L$}
\ground(G3)
\tension(A)(G1){$V_i$}
\ground(G2)
\tension(OO)(G2){$V_o$}
\ground(G1)
\end{pspicture}
\vspace{1em}
\caption{Configurazione invertente}
\end{figure}
La resistenza d'ingresso ($R_{in}$) del circuito risulter\`a pari ad
$R_A$. \`E importante notare, che collegando un carico $R_L$ la corrente
d'uscita dell'op-amp risulter\`a $i_o = i_F + i_L$. Bisogna quindi
scegliere $R_A, R_F$ e $R_L$ tali da non superare la corrente massima in
uscita dell'op-amp.
\subsection{Sommatore invertente}
Aggiungendo un ingresso al circuito invertente con un rispettivo
resistore, si ottiene un dispositivo in grado di effettuare la somma,
cambiata di segno dei segnali in entrata.
% opamp sommatore
\begin{figure}[h] \centering
\begin{pspicture}(7,5)
\pnodes(0,4){A}(0,2.5){A'}(4,2.5){OM'}(4,4){B}(7,4){C}
\pnodes(4,4){OM}(4,0){OP}(7,2){OO}
\pnodes(0,0){G1}(7,0){G2}
\psdots(A)(A')(OO)(OM)(OM')
\OA[OAiminuslabel=$i_-$,OAioutlabel=$i_o$](OM)(OP)(OO)
\ground(OP)
\resistor[intensitylabel=$i_1$](A)(OM){$R_1$}
\resistor[intensitylabel=$i_2$](A')(OM'){$R_2$}
\uput{.4}[180]{0}(A){$V_1$}
\uput{.4}[180]{0}(A'){$V_2$}
\psline(OM)(B)
\resistor[intensitylabel=$i_F$](B)(C){$R_F$}
\psline(C)(OO)
% \tension(A)(G1){$V_i$}
\ground(G2)
\tension(OO)(G2){$V_o$}
% \ground(G1)
\end{pspicture}
\vspace{1em}
\caption{Configurazione come sommatore invertente}
\end{figure}
La relazione di $V_1$ e $V_2$ con l'uscita $V_o$ pu\`o essere calcolata
in modo analogo a quanto fatto per l'amplificatore invertente.
Considerando nulla $i_-$ possiamo quindi dire che $i_f = i_1 + i_2$, con
$i_1 = \frac{V_1}{R_1}$ e $i_2 = \frac{V_2}{R_2}$. Pertanto
$$ V_o = R_F\cdot i_F = -R_F\cdot\Big (\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}\Big )$$
Nel caso paricolare in cui $R_F = R_1 = R_2$ si ottiene
$V_o = - (V_1 + V_2)$. Senza carico $i_o = i_F = i_1 + i_2$.
\subsection{Amplificatore non invertente}
La configurazione invertente presenta una $R_{in}$ relativamente ridotta;
inoltre, in certi casi, l'inversione di fase pu\`o costituire un
problema. La configurazione seguente (non invertente) ovvia agli
inconvenienti menzionati.
% opamp non invertente
\begin{figure}[h] \centering
\begin{pspicture}(8,4)
\pnodes(0,3){A}(3,3){B}(6,3){C}(8,3){D}
\pnodes(3,3){OM}(2,0){OP}(6,1.5){OO}
\pnodes(0,0){G1}(6,0){G2}(8,0){G3}
\psdots(OO)(OM)(OP)
\OA[OAiminuslabel=$i_-$,OAioutlabel=$i_o$](OM)(OP)(OO)
\resistor[intensitylabel=$i$,directconvention=false](A)(OM){$R_A$}
\psline(A)(G1)
\psline(OM)(B)
\resistor[intensitylabel=$i_F$,directconvention=false](B)(C){$R_F$}
\psline(C)(OO)
\psline[linestyle=dashed]{-}(C)(D)
\resistor[intensitylabel=$i_L$](D)(G3){$R_L$}
\ground(G3)
\uput{.4}[180]{0}(OP){$V_i$}
\ground(G2)
\tension(OO)(G2){$V_o$}
\ground(G1)
\end{pspicture}
\vspace{1em}
\caption{Configurazione non-invertente}
\end{figure}
Il segnarle viene applicato all'ingresso non invertente, cos\`i da
ottenere un guadagno $A_V$ positivo. Se $i_- = 0$ allora $i_f = i$
pertanto $V_- = V_o\frac{R_A}{R_F + R_A}$ considerando il cortocircuito
virtuale fra gli ingressi si ha $V_- = V_i$ quindi
$$ V_o = V_+\cdot\frac{R_A+R_F}{R_A} = V_i\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )$$
$$ A_V = \frac{V_o}{V_i} = \frac{R_A + R_F}{R_A} = 1+\frac{R_F}{R_A}$$
\subsection{Inseguitore di tensione (buffer)}
Un inconveniente piuttosto frequente in elettronica \`e costituito
dall'attenuazione che nasce fra due circuiti, l'uno con elevata
resistenza d'uscita, l'altro con ridotta resistenza d'ingresso: occorre
introdurre un buffer che funzioni come \emph{adattatore d'impedenza},
eliminando questo problema. Il circuito seguente risponde a questa
esigenza.
%% TODO: circuito buffer
Esso infatti presenta un guadagno unitario, elevatissima resistenza
d'ingresso e bassissima resistenza d'uscita.
$$ V_o = V_- = V_i \implies A_V = \frac{V_o}{V_i} = 1 $$
\subsection{Sommatore non invertente}
Il circuito seguente fornisce in uscita, una tensione pari alla somma
dei segnali d'ingresso.
%% TODO: schema sommatore non inv.
Esso pu\`o essere visto come un applicazione dell'amplificatore non
invertente. Grazie a Millman possiamo calcolare la tensione
sull'ingresso non invertente.
$$ V_+ = \frac{\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}
\qquad se \quad R_1 = R_2 \implies V_+ = \frac{V_1+V_2}{2}$$
Dall'amplificatore non invertente sappiamo che:
$$ V_o = V_+\cdot\frac{R_A+R_F}{R_A} = V_i\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )$$
In maniera pi\`u generale:
\begin{align*}
V_o &= \frac{\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )\\
&= \Big (\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}\Big )\cdot\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )\\
&= \frac{V_1\cdot R_2+ V_2\cdot R_1}{\cancel{R_1\cdot R_2}}\cdot\frac{\cancel{R_1\cdot R_2}}{R_1+R_2}\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )\\\\
&= \Big (V_1\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}+V_2\cdot\frac{R_1}{R_1+R_2}\Big )\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )\\
\end{align*}
\subsection{Amplificatore differenziale}
|
