path: root/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex

%
% euklid.tex
%
% (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
\section{Der euklidische Algorithmus
\label{buch:section:euklid}}
\rhead{Der euklidische Algorithmus}
Der euklidische Algorithmus bestimmt zu zwei gegebenen ganzen
Zahlen $a$ und $b$ den grössten gemeinsamen Teiler $g$.
Zusätzlich findet er ganze Zahlen $s$ und $t$ derart, dass
\[
sa + tb = g.
\]
In diesem Abschnitt soll der Algorithmus zunächst für ganze Zahlen
vorgestellt werden, bevor er auf Polynome verallgemeinert und dann
in Matrixform niedergeschrieben wird.

\subsection{Ganze Zahlen}
Gegeben sind zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ und wir dürfen annehmen,
dass $a\ge b$.
Gesucht ist der grösste gemeinsame Teiler $g$ von $a$ und $b$.
Wir schreiben $g|a$ für ``$g$ ist Teiler von $a$'' oder ``$g$ teilt $a$'',
gesucht ist also die grösste ganze Zahl $g$ derart, dass $g|a$ und $g|b$.

Ist $b|a$, dann ist offenbar $b$ der grösste gemeinsame Teiler von $a$
und $b$.
Im Allgemeinen wird der grösste gemeinsame Teiler aber kleiner sein.
Wir teilen daher $a$ durch $b$, was nur mit Rest möglich ist.
Es gibt ganze Zahlen $q$, der Quotient, und $r$, der Rest, derart, dass
\begin{equation}
a = qb+ r
\qquad \Rightarrow \qquad
r = a - qb.
\label{lifting:euklid:raqb}
\end{equation}
Nach Definition des Restes ist $r < b$.
Da der grösste gemeinsame Teiler sowohl $a$ als auch $b$ teilt, muss er
wegen~\eqref{lifting:euklid:raqb} auch $r$ teilen.
Somit haben wir das Problem, den grössten gemeinsamen Teiler von $a$ und
$b$ zu finden, auf das ``kleinere'' Problem zurückgeführt, den grössten
gemeinsamen Teiler von $b$ und $r$ zu finden.

Um den eben beschriebenen Schritt zu wiederholen, wählen wir die folgende
Notation.
Wir schreiben $a_0=a$ und $b_0=b$.
Im ersten Schritt finden wird $q_0$ und $r_0$ derart,
dass $a_0-q_0b_0 = r_0$.
Dann setzen wir $a_1=b_0$ und $b_1=r_0$.
Mit $a_1$ und $b_1$ wiederholen wir den Divisionsschritt, der einen
neuen Quotienten $q_1$ und einen neuen Rest $r_1$ liefert mit $a_1-q_1b_1=r_1$.
So entstehen vier Folgen von Zahlen $a_k$, $b_k$, $q_k$ und $r_k$ derart,
dass in jedem Schritt gilt
\begin{align*}
a_k - q_kb_k &= r_k & g&|a_k & g&|b_k & a_k &= b_{k-1} & b_k = r_{k-1}
\end{align*}
Der Algorithmus bricht im Schritt $n$ ab, wenn $r_{n+1}=0$.
Der letzte nicht verschwindende Rest $r_n$ muss daher der grösste gemeinsame
Teiler sein: $g=r_n$.

\begin{beispiel}
Wir bestimmen den grössten gemeinsamen Teiler von $76415$ und $23205$
mit Hilfe des eben beschriebenen Algorithmus.
Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle:
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
\hline
k&  a_k&  b_k&   q_k&  r_k\\
\hline
0&76415&23205&     3&6800\\
1&23205& 6800&     3&2805\\
2& 6800& 2805&     2&1190\\
3& 2805& 1190&     2& 425\\
4& 1190&  425&     2& 340\\
5&  425&  340&     1&  85\\
6&  340&   85&     4&   0\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Der Algorithmus bricht also mit dem letzten Rest $r_n=85$ ab, dies
ist der grösste gemeinsame Teiler.
\end{beispiel}

Die oben protokollierten Werte von $q_k$ werden für die Bestimmung
des grössten gemeinsamen Teilers nicht benötigt.
Wir können sie aber verwenden, um die Zahlen $s$ und $t$ zu bestimmen.

\begin{beispiel}
Wir drücken die Reste im obigen Beispiel durch die Zahlen $a_k$, $b_k$ und
$q_k$ aus und setzen sie in den Ausdruck $g=a_5-q_5b_5$ ein, bis wir
einen Ausdruck in $a_0$ und $b_0$ für $g$ finden:
\begin{align*}
r_5&=a_5-q_5 b_5=a_5-1\cdot b_5& g &= a_5 - 1 \cdot b_5 = b_4 - 1 \cdot r_4
\\
r_4&=a_4-q_4 b_4=a_4-2\cdot b_4&   &= b_4 - (a_4 -2b_4) 
                                    = -a_4 +3b_4 = -b_3 + 3r_3
\\
r_3&=a_3-q_3 b_3=a_3-2\cdot b_3&   &= -b_3 + 3(a_3-2b_3)
                                    = 3a_3 - 7b_3 = 3b_2 -7r_2
\\
r_2&=a_2-q_2 b_2=a_2-2\cdot b_2&   &= 3b_2 -7(a_2-2b_2)
                                    = -7a_2 + 17b_2 = -7b_1 + 17r_1
\\
r_1&=a_1-q_1 b_1=a_1-3\cdot b_1&   &= -7b_1 + 17(a_1-3b_1)
                                    = 17a_1 - 58b_1 = 17 b_0 - 58 r_0
\\
r_0&=a_0-q_0 b_0=a_0-3\cdot b_0&   &= 17b_0 - 58(a_0t-3b_0)
                                    = -58a_0+191b_0
\end{align*}
Tatsächlich gilt
\[
-58\cdot 76415 + 191 \cdot 23205 = 85,
\]
die Zahlen $t=-58$ und $s=191$ sind also genau die eingangs versprochenen
Faktoren.
\end{beispiel}

\subsection{Matrixschreibweise}
Die Durchführung des euklidischen Algorithmus lässt sich besonders elegant
in Matrixschreibweise dokumentieren.
In jedem Schritt arbeitet man mit zwei ganzen Zahlen $a_k$ und $b_k$, die wir
als zweidimensionalen Spaltenvektor betrachten können.
Der Algorithmus macht aus $a_k$ und $b_k$ die neuen Zahlen
$a_{k+1} = b_k$ und $b_{k+1} = r_k = a_k - q_kb_k$, dies
kann man als
\[
\begin{pmatrix} a_{k+1} \\ b_{k+1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} b_k \\ r_k \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -q_k \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \end{pmatrix}
\]
schreiben.
Der Algorithmus bricht ab, wenn die zweite Komponente des Vektors $=0$ ist,
in der ersten steht dann der grösste gemeinsame Teiler.
Hier ist die Durchführung des Algorithmus in Matrix-Schreibweise:
\begin{align*}
\begin{pmatrix} 23205 \\ 6800 \end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix} 0&1\\1&-3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 76415 \\ 23205 \end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix} 6800 \\ 2805 \end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix} 0&1\\1&-3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 23205 \\ 6800 \end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix} 2805 \\ 1190 \end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix} 0&1\\1&-2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 6800 \\ 2805 \end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix} 1190 \\ 425 \end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix} 0&1\\1&-2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2805 \\ 1190 \end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix} 425 \\ 340 \end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix} 0&1\\1&-2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1190 \\ 425 \end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix} 340 \\ 85 \end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix} 0&1\\1&-1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 425 \\ 340 \end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix} 85 \\ 0 \end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix} 0&1\\1&-4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 340 \\ 85 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}.
\end{align*}

\begin{definition}
Wir kürzen
\[
Q(q_k) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -q_k \end{pmatrix}
\]
ab.
\end{definition}

Mit dieser Definition lässt sich der euklidische Algorithmus wie folgt
beschreiben.

\begin{algorithmus}[Euklid]
\label{lifting:euklid}
Der Algorithmus operiert auf zweidimensionalen Zustandsvektoren
$x\in\mathbb Z^2$ 
wie folgt:
\begin{enumerate}
\item Initialisiere  den Zustandsvektor mit den ganzen Zahlen $a$ und $b$:
$\displaystyle x = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$
\item Bestimme den Quotienten $q$ als die grösste ganze Zahl,
für die $qx_2\le x_1$ gilt.
\item Berechne den neuen Zustandsvektor als $Q(q)x$.
\item Wiederhole Schritte 2 und 3 bis die zweite Komponente des Zustandsvektors
verschwindet.
Die erste Komponente ist dann der gesuchte grösste gemeinsame Teiler.
\end{enumerate}
\end{algorithmus}

Auch die Berechnung der Zahlen $s$ und $t$ lässt sich jetzt leichter verstehen.
Nach Algorithmus~\ref{lifting:euklid} ist
\[
\begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix}
=
Q(q_n)Q(q_{n-1})\cdots Q(q_0)
\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.
\]
Schreiben wir $Q=Q(q_n)Q(q_{n-1})\cdots Q(q_0)$, dann enthält die Matrix
$Q$ in der erste Zeile die ganzen Zahlen $s$ und $t$, mit denen sich der
grösste gemeinsame Teiler aus $a$ und $b$ darstellen lässt:
\[
Q =
\begin{pmatrix}
s&t\\
q_{21}&q_{22}
\end{pmatrix}
\qquad\Rightarrow\qquad
\bigg\{
\quad
\begin{aligned}
g&=sa+tb\\
0&=q_{21}a+q_{22}b.
\end{aligned}
\]

\begin{beispiel}
Wir verifizieren die Behauptung durch Nachrechnen:
\begin{align*}
Q
&=
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&-q_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&-q_{n-1}\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&-q_{0}\end{pmatrix}
\\
&=
\underbrace{
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -1 \end{pmatrix}
}_{}
\underbrace{
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -2 \end{pmatrix}
}_{}
\underbrace{
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -3 \end{pmatrix}
}_{}
\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -3 \end{pmatrix}
\\
&=
\underbrace{
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -4 &  5 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 &  5 \end{pmatrix}
}_{}
\underbrace{
\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 &  7 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 &  1 \\  1 & -3 \end{pmatrix}
}_{}
\\
&=
\begin{pmatrix}  3 &  -7 \\ -14 &  33 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -3 &  10 \\   7 & -23 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -58 & 191 \\ 273 & -899 \end{pmatrix}.
%(%i9) Q6 . Q5
%                                 [  1   - 1 ]
%(%o9)                            [          ]
%                                 [ - 4   5  ]
%(%i10) Q4 . Q3
%                                 [  1   - 2 ]
%(%o10)                           [          ]
%                                 [ - 2   5  ]
%(%i11) Q2 . Q1
%                                 [  1   - 3 ]
%(%o11)                           [          ]
%                                 [ - 2   7  ]
%(%i12) Q6 . Q5 . Q4 . Q3
%                                 [  3    - 7 ]
%(%o12)                           [           ]
%                                 [ - 14  33  ]
%(%i13) Q2 . Q1 . Q0
%                                 [ - 3   10  ]
%(%o13)                           [           ]
%                                 [  7   - 23 ]
%(%i14) Q6 . Q5 . Q4 . Q3 . Q2 . Q1 . Q0
%                                [ - 58   191  ]
%(%o14)                          [             ]
%                                [ 273   - 899 ]
\end{align*}
In der zweiten Zeile findet man Zahlen, die $a$ und $b$ zu 0 kombinieren:
\[
273 \cdot 76415 - 899 \cdot 23205 = 0,
\]
in der ersten stehen die Zahlen $s=-58$ und $t=191$ und tatsächlich
ergibt
\[
ta+sb = -58\cdot 76415  + 191\cdot 23205 = 85 = g
\]
den grössten gemeinsamen Teiler von 76415 und 23205.
\end{beispiel}

Die Wirkung der Matrix
\[
Q(q) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -q \end{pmatrix}
\]
lässt sich mit genau einer Multiplikation und einer Addition
berechnen.
Dies ist die Art von Matrix, die wir für die Implementation der
Wavelet-Transformation anstreben.

\subsection{Polynome}
Der Ring $\mathbb{Q}[X]$ der Polynome in der Variablen $X$ mit rationalen
Koeffizienten\footnote{Es kann auch ein beliebiger anderer Körper für
die Koeffizienten verwendet werden.
Es gelten sogar ähnlich interessante Gesetzmässigkeiten, wenn man für
die Koeffizienten ganze Zahlen zulässt.
Dann wird das Problem der Faktorisierung allerdings verkompliziert 
durch das Problem der Teilbarkeit der Koeffizienten.
Dieses Problem entfällt, wenn man die Koeffizienten aus einem
Bereich wählt, in dem Teilbarkeit kein Problem ist, also in einem Körper.}
verhält
sich bezüglich Teilbarkeit ganz genau gleich wie die ganzen Zahlen.
Insbesondere ist der euklidische Algorithmus genauso wie die
Matrixschreibweise auch für Polynome durchführbar.

\begin{beispiel}
Wir berechnen als Beispiel den grössten gemeinsamen Teiler 
der Polynome
\[
a = X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12,
\qquad
b = X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6.
\]
Wir erstellen wieder die Tabelle der Reste
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
\hline
k&  a_k&  b_k&   q_k&  r_k\\
\hline
0& X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12& X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6&       1&-3X^3+9X+6\\
1&X^4+X^3-7X^2-X+6            &-3X^3+9X+6             &-\frac13X-\frac13&-4X^2+4X+8\\
2&-3X^3+9X+6      &-4X^2+4X+8& \frac34 X + \frac34& 0\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Daraus kann man ablesen, dass $-4x^2+4x+8$ grösster gemeinsamer Teiler ist.
Normiert auf einen führenden Koeffizienten $1$ ist dies das Polynom
$x^2-x+2=(x+2)(x-1)$.

Wir berechnen auch noch die Polynome $s$ und $t$.
Dazu müssen wir die Matrizen $Q(q_k)$ miteinander multiplizieren:
\begin{align*}
Q
&=Q(q_2) Q(q_1) Q(q_0)
\\
&=
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -\frac34(X+1) \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & \frac13(X+1) \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\\
&=
%                        [     x   1         2   x    ]
%                        [     - + -         - - -    ]
%                        [     3   3         3   3    ]
%(%o22)                  [                            ]
%                        [     2            2         ]
%                        [    x     x   3  x    x   3 ]
%                        [ (- --) - - + -  -- - - - - ]
%                        [    4     2   4  4    4   2 ]
\begin{pmatrix}
\frac13(X+1)&-\frac13(X-2)\\
-\frac14(X^2+2X-3)&\frac14(X^2-X-6)
\end{pmatrix}.
\end{align*}
In der ersten Zeile finden wir die Polynome $t(X)$ und $s(X)$, mit denen
\begin{align*}
ta+sb
&=
\frac13(X+1)
(X^4-2X^3-7X^2+8X+12)
-\frac13(X-2)
(X^4+X^3-7X^2-X+6)
\\
&=
-4X^2+4X+8
\end{align*}
und dies ist tatsächlich der gefundene grösste gemeinsame Teiler.
Die zweite Zeile von $Q$ gibt uns die Polynomfaktoren, mit denen
$a$ und $b$ gleich werden:
\begin{align*}
q_{21}a+q_{22}b
&=
-\frac14(X^2+2X-3)
(X^4-2X^3-7X^2+8X+12)
+\frac14(X^2-X-6)
(X^4+X^3-7X^2-X+6)
\\
&=0.
\qedhere
\end{align*}
Man kann natürlich den grössten gemeinsamen Teiler auch mit Hilfe einer
Faktorisierung der Polynome $a$ und $b$ finden:
\begin{align*}
&\text{Faktorisierung von $a$:}&
a  &=         (X-3) (X-2)\phantom{(X-1)}(X+1)         (X+2) \phantom{(X+3)}\\
&\text{Faktorisierung von $b$:}&
b  &=\phantom{(X-3)}(X-2)         (X-1) (X+1)\phantom{(X+2)}         (X+3) \\
&\text{gemeinsame Faktoren:}&
g  &=\phantom{(X-3)}(X-2)\phantom{(X-1)}(X+1)\phantom{(X+2)}\phantom{(X+3)}
    = X^2 -X + 2\\
&&
v=a/g&=         (X-3)\phantom{(X-2)(X-1)(X+1)} (X+2) \phantom{(X+3)}
    = X^2-X-6 \\
&&
u=b/g&=\phantom{(X-3)(X-2)} (X-1)\phantom{(X+1)(X+2)}(X+3)
    = X^2+2X-3
\end{align*}
Aus den letzten zwei Zeilen folgt
$ua-vb = ab/g - ab/g = 0$, wie erwartet.
\end{beispiel}