1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
|
\section{Kristalle}
%einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können.
Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
\begin{definition}[Kristall]
Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt.
\end{definition}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice}
\caption{
Zweidimensionales Kristallgitter.
\label{fig:punktgruppen:lattice}
}
\end{figure}
\subsection{Kristallgitter}
Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen.
Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{c}\) also
\[
\vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}
\]
erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
Sind die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben,
ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
%TODOO fix Q define without vector symb. -> ask naoki
\subsection{Translationssymmetrie}
Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet,
da die Umgebungen aller Punkte identisch sind.
Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation
\[
Q_i(G) = G + \vec{a}_i
\] wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann,
können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination
der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$.
Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen,
solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
Was nicht direkt ersichtlich ist, ist dass auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können,
sind nur rotationssymmetrische Kristalle ganz bestimmter Rotationswinkel möglich.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
\caption{
Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter
}
\label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
\end{figure}
\subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$} % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
\begin{itemize}
\item \(A\) ist unser erster Gitterpunkt.
\item \(A'\) ist gegeben, weil wir \(A\) mit der Translation \(\vec{Q}\) um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
\item \(B\) entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie \(C_\alpha\) auf den Punkt \(A\) anwenden.
Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel \(\alpha\).
Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt \(A'\) abgedreht wird.
An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
\item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_\alpha\) auch auf \(A'\) anwenden.
Also wenden wir \(C_\alpha\) invertiert
\footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.}
auch auf \(A'\) an.
Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
\item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
Die Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet.
\end{itemize}
Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
Wir beginnen, indem wir die Länge \(Q\) der Translation \(\vec{Q}\) mit jener von \(\vec{Q}'\) vergleichen.
Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
Ist \(\vec{Q}\) ein Grundvektor so muss \(Q'\) ein ganzes vielfaches von \(Q\) sein.
Also
\[
Q' = nQ = Q + 2x
\]
Die Strecke \(x\) lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel \(\alpha\) ausdrücken:
\[
nQ = Q + 2Q\sin(\alpha - \pi/2)
\]
Wir können durch \(Q\) dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert.
Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
\[
n = 1 - 2\cos\alpha \quad\iff\quad
\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
\]
Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf
\(
\alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}
\)
ein.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
\caption{Kristallklassen mit zugehörigem Schönflies-Symbol}
\label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
\end{figure}
\subsection{Kristallklassen}
Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische
Symmetriegruppen bilden können.
Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion
\footnote{Die Markierten Kreise/Kreuze repräsentieren Punkte auf einer Kugel.
Die Orte der Symbole stehen für einen Schattenwurf eines Punktes auf dem Boden, auf welcher sich die Kugel befindet.
Wobei die Lichtquelle am Nord/Südpol liegt.}
ermöglicht,
wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden.
\subsubsection{Schönflies-Symbilok}
Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem Schöönflies-Symbol bezeichnet.
Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies,
welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Kristallklassen auseinandergesetzt hat.
Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
Anschaulich ist als Beispiel die Drehgruppe \[C\].
Die Elemente einer Untergruppe werden erst mit ihren Zusätzen eindeutig wie \[C_{3i}\],
was für eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum steht.
%% vim:spell spelllang=de showbreak=.. breakindent linebreak:
|
