Write schoenflies und minor fixes

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index a124442..e8dfa76 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -28,6 +28,8 @@ erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
 Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben,
 ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
+%TODOO fix Q define without vector symb. -> ask naoki
+
 \subsection{Translationssymmetrie}
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
 Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
@@ -104,7 +106,7 @@ ein.
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
-    \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation}
+    \caption{Kristallklassen mit zugehörigem Schönflies-Symbol}
     \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
 \end{figure}
 
@@ -112,17 +114,27 @@ ein.
 Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
 Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
 nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische
-\footnote{Werden translationssymmetrien auch mit gezählt beschreibt man die 230 Raumgruppen} 
 Symmetriegruppen bilden können.
 Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nach dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
-Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
+Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion
+\footnote{Die Markierten Kreise/Kreuze repräsentieren Punkte auf einer Kugel. 
+Die Orte der Symbole stehen für einen Schattenwurf eines Punktes auf dem Boden, auf welcher sich die Kugel befindet.
+Wobei die Lichtquelle am Nord/Südpol liegt.} 
+ermöglicht, 
+wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+
+
+\subsubsection{Schönflies-Symbilok}
+Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem Schöönflies-Symbol bezeichnet.
+Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
+welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Kristallklassen auseinandergesetzt hat.
+Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
+Anschaulich ist als Beispiel die Drehgruppe \[C\].
+Die Elemente einer Untergruppe werden erst mit ihren Zusätzen eindeutig wie \[C_{3i}\], 
+was für eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum steht.
 
 
-\subsubsection{Schönflies Notation}
-TODO