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% matrix-vektor-dgl.tex -- DGL mit Matrix-Koeffizienten und Vektor-Variablen
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
% Erstellt durch Roy Seitz
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% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{1.~Ordnung mit Skalaren}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Aufgabe}
Sei $a, x(t), x_0 \in \mathbb R$,
\[
\dot x(t) = ax(t),
\quad
x(0) = x_0
\]
\end{block}
\begin{block}{Potenzreihen-Ansatz}
Sei $a_k \in \mathbb R$,
\[
x(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 \ldots
\]
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Lösung}
Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert
\[ x(t) = \exp(at) \, x_0, \]
wobei
\begin{align*}
\exp(at)
&= 1 + at + \frac{a^2t^2}{2} + \frac{a^3t^3}{3!} + \ldots \\
&{\color{gray}(= e^{at}.)}
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{1.~Ordnung mit Matrizen}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Aufgabe}
Sei $A \in M_n$, $x(t), x_0 \in \mathbb R^n$,
\[
\dot x(t) = Ax(t),
\quad
x(0) = x_0
\]
\end{block}
\begin{block}{Potenzreihen-Ansatz}
Sei $A_k \in \mathbb M_n$,
\[
x(t) = A_0 + A_1t + A_2t^2 + A_3t^3 \ldots
\]
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Lösung}
Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert
\[ x(t) = \exp(At) \, x_0, \]
wobei
\[
\exp(At)
= 1 + At + \frac{A^2t^2}{2} + \frac{A^3t^3}{3!} + \ldots
\]
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup
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