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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index c4bf402..f378aaf 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -237,7 +237,40 @@ n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\}
 &\phantom{n}\vdots
 \end{align*}
 
+\subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen}
+Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus
+der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut.
+Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen.
+Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst,
+dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben.
 
+\begin{definition}
+Eine Menge $A$ heisst {\em endlich}, wenn es jede injektive Abbildung
+$A\to A$ auch surjektiv ist.
+\index{endlich}%
+Zwei endliche Mengen $A$ und $B$ heissen {\em gleich mächtig},
+\index{gleich mächtig}%
+in Zeichen $A\sim B$, wenn es eine Bijektion
+$A\to B$ gibt.
+\end{definition}
 
+Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten 
+natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert.
+Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen
+Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$.
 
+Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz
+explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen.
+Eine natürlich Zahl ist also eine Äquivalenzklasse
+$\llbracket A\rrbracket$, die alle endlichen Mengen enthält,  die die
+gleiche Mächtigkeit wie $A$ haben.
+Zum Beispiel gehört dazu auch die Menge, die im vorangegangenen
+Abschnitt aus der leeren Menge aufgebaut wurde.
+
+Die Mächtigkeit einer endlichen Menge $A$ ist die Äquivalenzklasse, in der
+die Menge drin ist: $|A| = \llbracket A\rrbracket\in \mathbb{N}$ nach 
+Konstruktion von $\mathbb{N}$.
+Aus logischer Sicht etwas problematisch ist allerdings, dass wir 
+von der ``Menge aller endlichen Mengen'' sprechen ohne uns zu versichern,
+dass dies tatsächlich eine zulässige Konstruktion ist.
 
diff --git a/buch/common/teilnehmer.tex b/buch/common/teilnehmer.tex
index 2033f2a..7ccee20 100644
--- a/buch/common/teilnehmer.tex
+++ b/buch/common/teilnehmer.tex
@@ -9,18 +9,18 @@ Marius Baumann,                   % E
 Reto Fritsche,                    % E
 Ahmet Güzel%,                      % E
 \\
-Pascal Honegger,                  % I
+%Pascal Honegger,                  % I
 Alain Keller,                     % E
-Jan Marbach%,                      % E
+Jan Marbach,                      % E
+Andrea Mozzin Vellen%,             % E
 \\
-Andrea Mozzin Vellen,             % E
 Naoki Pross,                      % E
-Michael Schmid                    % MSE
+Michael Schmid,                    % MSE
+Pascal Andreas Schmid%,            % B
 \\
-Pascal Andreas Schmid,            % B
 Thierry Schwaller,                % E
-Michael Steiner%,                  % E
+Michael Steiner,                  % E
+Tim Tönz%,                         % E
 \\
-Tim Tönz,                         % E
 Fabio Viecelli,                   % B
 Lukas Zogg%,                       % B
diff --git a/cover/buchcover.tex b/cover/buchcover.tex
index f7da81b..a939ba1 100644
--- a/cover/buchcover.tex
+++ b/cover/buchcover.tex
@@ -79,7 +79,7 @@
 	[color=white,scale=1]
 	{\hbox to\hsize{\hfill%
 	\sf \fontsize{13}{5}\selectfont
-	Pascal Honegger,		% I
+	%Pascal Honegger,		% I
 	Alain Keller,			% E
 	Jan Marbach,			% E
 	Andreas Mozzini Vellen%,		% E
diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
index 3c1b5d4..46bf6b3 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
@@ -6,6 +6,9 @@
 #
 chapter1 =								\
 	../slides/1/zahlensysteme.tex					\
+	../slides/1/peano.tex						\
+	../slides/1/ganz.tex						\
+	../slides/1/bruch.tex						\
 	../slides/1/strukturen.tex					\
 	../slides/1/j.tex						\
 	../slides/1/vektorraum.tex					\
diff --git a/vorlesungen/slides/1/bruch.tex b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex
new file mode 100644
index 0000000..f6e551b
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex
@@ -0,0 +1,72 @@
+%
+% bruch.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Brüche}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\vspace{-8pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Division}
+Nicht für alle $a,b\in\mathbb{Z}$ hat die Gleichung
+\[
+ax=b
+\uncover<2->{
+\;\Rightarrow\;
+x=\frac{b}{a}}
+\]
+eine Lösung in $\mathbb{Z}$\uncover<2->{, nämlich wenn $b\nmid a$}
+\end{block}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Brüche}
+Idee: $\displaystyle\frac{b}{a} = (b,a)$
+\begin{enumerate}
+\item<4-> $(b,a)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$
+\item<5-> Äquivalenzrelation
+\[
+(b,a)\sim (d,c)
+\only<5>{
+\Leftrightarrow
+\text{``
+$\displaystyle
+\frac{b}{a}=\frac{d}{c}
+$
+''}
+}
+\only<6->{
+\Leftrightarrow
+bc=ad
+}
+\]
+\end{enumerate}
+\vspace{-15pt}
+\uncover<7->{%
+$\Rightarrow$ alle Quotienten
+}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<9->{%
+\begin{block}{Gruppe}
+$\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q}\setminus\{0\}$ ist eine multiplikative Gruppe:
+\begin{enumerate}
+\item<10-> Neutrales Element: $1\in \mathbb{Q}^*$
+\item<11-> Inverses Element $q=\frac{b}{a}\in\mathbb{Q}
+\Rightarrow
+q^{-1}=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Rationale Zahlen}
+Alle Brüche, gleiche Werte zusammengefasst:
+\[
+\mathbb{Q} = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\sim
+\]
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
index fec3330..1b971f7 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
@@ -4,6 +4,9 @@
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
 %
 \folie{1/zahlensysteme.tex}
+\folie{1/peano.tex}
+\folie{1/ganz.tex}
+\folie{1/bruch.tex}
 \folie{1/strukturen.tex}
 \folie{1/j.tex}
 \folie{1/vektorraum.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
new file mode 100644
index 0000000..196a495
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
@@ -0,0 +1,104 @@
+%
+% ganz.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Ganze Zahlen: Gruppe}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\begin{block}{Subtrahieren}
+Nicht für alle $a,b\in \mathbb{N}$ hat die 
+Gleichung
+\[
+a+x=b
+\uncover<2->{
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+x=b-a}
+\]
+eine Lösung in $\mathbb{N}$\uncover<2->{, nämlich wenn $a>b$}%
+\end{block}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Ganze Zahlen = Paare}
+Idee: $b-a = (b,a)$
+\begin{enumerate}
+\item<4-> $(b,a)=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
+\item<5-> Äquivalenzrelation
+\[
+(b,a)\sim (d,c)
+\only<6>{\Leftrightarrow
+\text{``\strut}
+b-a=c-d
+\text{\strut''}}
+\only<7->{
+\Leftrightarrow
+b+d=c+a}
+\]
+\end{enumerate}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<8->{%
+Ganze Zahlen:
+\(
+\mathbb{Z}
+=
+\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim
+\)}
+\\
+\uncover<9->{%
+$z\in\mathbb{Z}$, $z=\mathstrut$ Paare $(u,v)$ mit 
+``gleicher Differenz''}
+\uncover<10->{%
+$\Rightarrow$ alle Differenzen in $\mathbb{Z}$}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\uncover<11->{%
+\begin{block}{Gruppe}
+Halbgruppe $\only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}$ mit inversem Element
+\[
+a\in \only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}
+\Rightarrow
+\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}\only<12->{a^{-1}\in G}
+\text{ mit }
+\only<11>{
+a+(-a)=0
+}
+\only<12->{
+\left\{
+\begin{aligned}
+aa^{-1}&=e
+\\
+a^{-1}a&=e
+\end{aligned}
+\right.
+}
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-15pt}
+\uncover<13->{%
+\begin{block}{Abelsche Gruppe}
+Verknüpfung ist kommutativ:
+\[
+a+b=b+a
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-12pt}
+\uncover<14->{%
+\begin{block}{Beispiele}
+\begin{itemize}
+\item<15-> Brüche reelle Zahlen
+\item<16-> invertierbare Matrizen: $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+\item<17-> Drehmatrizen: $\operatorname{SO}(n)$
+\item<18-> Matrizen mit Determinante $1$: $\operatorname{SL}_n(\mathbb R)$
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/peano.tex b/vorlesungen/slides/1/peano.tex
new file mode 100644
index 0000000..219c853
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/peano.tex
@@ -0,0 +1,72 @@
+%
+% peano.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Natürliche Zahlen\uncover<2->{: Peano}}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Zählen}
+Mit den natürlichen Zahlen zählt man: 
+\[
+\mathbb{N}
+=
+\left\{
+\begin{minipage}{5cm}
+\raggedright
+Äquivalenzklassen von gleich mächtigen
+endlichen Mengen
+\end{minipage}
+\right\}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Peano-Axiome}
+\begin{enumerate}
+\item<3-> $0\in\mathbb{N}$
+\item<4-> $n\in\mathbb{N}\Rightarrow \text{Nachfolger }n'\in\mathbb{N}$
+\item<5-> $0$ ist nicht Nachfolger
+\item<6-> $n,m\in\mathbb{N}\wedge n'=m'\Rightarrow n=m$
+\item<7-> $X\subset \mathbb{N}\wedge 0\in X\wedge \forall n\in X(n'\in X)
+\Rightarrow
+\mathbb{N}=X
+$
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Monoid}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+Menge $\only<8-10>{\mathbb{N}}\only<11->{M}$ mit einer
+zweistelligen Verknüpfung $a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b$
+\begin{enumerate}
+\item<9-> Assoziativ: $a,b,c\in M$
+\[
+(a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b)\only<8-10>{+}\only<11->{*}c=a\only<8-10>{+}\only<11->{*}(b\only<8-10>{+}\only<11->{*}c)
+\]
+\item<10-> Neutrales Element: $\only<8-10>{0}\only<11->{e}\in M$
+\[
+\only<8-10>{0+}\only<11->{e*} a
+=
+a \only<8-10>{+0}\only<11->{*e}
+\]
+\end{enumerate}
+\end{block}}%
+\vspace{-15pt}
+\uncover<12->{%
+\begin{block}{Axiom 5 = Vollständige Induktion}
+$X=\{n\in\mathbb{N}\;|\; \text{$P(n)$ ist wahr}\}$
+\begin{enumerate}
+\item<13-> Verankerung: $0\in X$
+\item<14-> Induktionsannahme: $n\in X$
+\item<15-> Induktionsschritt: $n'\in X$
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex
index 56164b2..e10b0ab 100644
--- a/vorlesungen/slides/test.tex
+++ b/vorlesungen/slides/test.tex
@@ -4,6 +4,8 @@
 % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-
-\folie{3/polynome.tex}
-\folie{3/motivation.tex}
+%\folie{1/peano.tex}
+\folie{1/ganz.tex}
+\folie{1/bruch.tex}
+%\folie{3/polynome.tex}
+%\folie{3/motivation.tex}