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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index c4bf402..f378aaf 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -237,7 +237,40 @@ n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\} &\phantom{n}\vdots \end{align*} +\subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen} +Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus +der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut. +Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen. +Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst, +dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben. +\begin{definition} +Eine Menge $A$ heisst {\em endlich}, wenn es jede injektive Abbildung +$A\to A$ auch surjektiv ist. +\index{endlich}% +Zwei endliche Mengen $A$ und $B$ heissen {\em gleich mächtig}, +\index{gleich mächtig}% +in Zeichen $A\sim B$, wenn es eine Bijektion +$A\to B$ gibt. +\end{definition} +Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten +natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert. +Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen +Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$. +Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz +explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen. +Eine natürlich Zahl ist also eine Äquivalenzklasse +$\llbracket A\rrbracket$, die alle endlichen Mengen enthält, die die +gleiche Mächtigkeit wie $A$ haben. +Zum Beispiel gehört dazu auch die Menge, die im vorangegangenen +Abschnitt aus der leeren Menge aufgebaut wurde. + +Die Mächtigkeit einer endlichen Menge $A$ ist die Äquivalenzklasse, in der +die Menge drin ist: $|A| = \llbracket A\rrbracket\in \mathbb{N}$ nach +Konstruktion von $\mathbb{N}$. +Aus logischer Sicht etwas problematisch ist allerdings, dass wir +von der ``Menge aller endlichen Mengen'' sprechen ohne uns zu versichern, +dass dies tatsächlich eine zulässige Konstruktion ist. diff --git a/buch/common/teilnehmer.tex b/buch/common/teilnehmer.tex index 2033f2a..7ccee20 100644 --- a/buch/common/teilnehmer.tex +++ b/buch/common/teilnehmer.tex @@ -9,18 +9,18 @@ Marius Baumann, % E Reto Fritsche, % E Ahmet Güzel%, % E \\ -Pascal Honegger, % I +%Pascal Honegger, % I Alain Keller, % E -Jan Marbach%, % E +Jan Marbach, % E +Andrea Mozzin Vellen%, % E \\ -Andrea Mozzin Vellen, % E Naoki Pross, % E -Michael Schmid % MSE +Michael Schmid, % MSE +Pascal Andreas Schmid%, % B \\ -Pascal Andreas Schmid, % B Thierry Schwaller, % E -Michael Steiner%, % E +Michael Steiner, % E +Tim Tönz%, % E \\ -Tim Tönz, % E Fabio Viecelli, % B Lukas Zogg%, % B diff --git a/cover/buchcover.tex b/cover/buchcover.tex index f7da81b..a939ba1 100644 --- a/cover/buchcover.tex +++ b/cover/buchcover.tex @@ -79,7 +79,7 @@ [color=white,scale=1] {\hbox to\hsize{\hfill% \sf \fontsize{13}{5}\selectfont - Pascal Honegger, % I + %Pascal Honegger, % I Alain Keller, % E Jan Marbach, % E Andreas Mozzini Vellen%, % E diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc index 3c1b5d4..46bf6b3 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc @@ -6,6 +6,9 @@ # chapter1 = \ ../slides/1/zahlensysteme.tex \ + ../slides/1/peano.tex \ + ../slides/1/ganz.tex \ + ../slides/1/bruch.tex \ ../slides/1/strukturen.tex \ ../slides/1/j.tex \ ../slides/1/vektorraum.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/1/bruch.tex b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex new file mode 100644 index 0000000..f6e551b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% bruch.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Brüche} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\vspace{-8pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Division} +Nicht für alle $a,b\in\mathbb{Z}$ hat die Gleichung +\[ +ax=b +\uncover<2->{ +\;\Rightarrow\; +x=\frac{b}{a}} +\] +eine Lösung in $\mathbb{Z}$\uncover<2->{, nämlich wenn $b\nmid a$} +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Brüche} +Idee: $\displaystyle\frac{b}{a} = (b,a)$ +\begin{enumerate} +\item<4-> $(b,a)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ +\item<5-> Äquivalenzrelation +\[ +(b,a)\sim (d,c) +\only<5>{ +\Leftrightarrow +\text{`` +$\displaystyle +\frac{b}{a}=\frac{d}{c} +$ +''} +} +\only<6->{ +\Leftrightarrow +bc=ad +} +\] +\end{enumerate} +\vspace{-15pt} +\uncover<7->{% +$\Rightarrow$ alle Quotienten +} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Gruppe} +$\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q}\setminus\{0\}$ ist eine multiplikative Gruppe: +\begin{enumerate} +\item<10-> Neutrales Element: $1\in \mathbb{Q}^*$ +\item<11-> Inverses Element $q=\frac{b}{a}\in\mathbb{Q} +\Rightarrow +q^{-1}=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ +\end{enumerate} +\end{block} +} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Rationale Zahlen} +Alle Brüche, gleiche Werte zusammengefasst: +\[ +\mathbb{Q} = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\sim +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex index fec3330..1b971f7 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex @@ -4,6 +4,9 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi % \folie{1/zahlensysteme.tex} +\folie{1/peano.tex} +\folie{1/ganz.tex} +\folie{1/bruch.tex} \folie{1/strukturen.tex} \folie{1/j.tex} \folie{1/vektorraum.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex new file mode 100644 index 0000000..196a495 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex @@ -0,0 +1,104 @@ +% +% ganz.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Ganze Zahlen: Gruppe} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{block}{Subtrahieren} +Nicht für alle $a,b\in \mathbb{N}$ hat die +Gleichung +\[ +a+x=b +\uncover<2->{ +\quad +\Rightarrow +\quad +x=b-a} +\] +eine Lösung in $\mathbb{N}$\uncover<2->{, nämlich wenn $a>b$}% +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Ganze Zahlen = Paare} +Idee: $b-a = (b,a)$ +\begin{enumerate} +\item<4-> $(b,a)=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ +\item<5-> Äquivalenzrelation +\[ +(b,a)\sim (d,c) +\only<6>{\Leftrightarrow +\text{``\strut} +b-a=c-d +\text{\strut''}} +\only<7->{ +\Leftrightarrow +b+d=c+a} +\] +\end{enumerate} +\vspace{-10pt} +\uncover<8->{% +Ganze Zahlen: +\( +\mathbb{Z} += +\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim +\)} +\\ +\uncover<9->{% +$z\in\mathbb{Z}$, $z=\mathstrut$ Paare $(u,v)$ mit +``gleicher Differenz''} +\uncover<10->{% +$\Rightarrow$ alle Differenzen in $\mathbb{Z}$} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Gruppe} +Halbgruppe $\only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}$ mit inversem Element +\[ +a\in \only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G} +\Rightarrow +\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}\only<12->{a^{-1}\in G} +\text{ mit } +\only<11>{ +a+(-a)=0 +} +\only<12->{ +\left\{ +\begin{aligned} +aa^{-1}&=e +\\ +a^{-1}a&=e +\end{aligned} +\right. +} +\] +\end{block}} +\vspace{-15pt} +\uncover<13->{% +\begin{block}{Abelsche Gruppe} +Verknüpfung ist kommutativ: +\[ +a+b=b+a +\] +\end{block}} +\vspace{-12pt} +\uncover<14->{% +\begin{block}{Beispiele} +\begin{itemize} +\item<15-> Brüche reelle Zahlen +\item<16-> invertierbare Matrizen: $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +\item<17-> Drehmatrizen: $\operatorname{SO}(n)$ +\item<18-> Matrizen mit Determinante $1$: $\operatorname{SL}_n(\mathbb R)$ +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/peano.tex b/vorlesungen/slides/1/peano.tex new file mode 100644 index 0000000..219c853 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/peano.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% peano.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Natürliche Zahlen\uncover<2->{: Peano}} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zählen} +Mit den natürlichen Zahlen zählt man: +\[ +\mathbb{N} += +\left\{ +\begin{minipage}{5cm} +\raggedright +Äquivalenzklassen von gleich mächtigen +endlichen Mengen +\end{minipage} +\right\} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Peano-Axiome} +\begin{enumerate} +\item<3-> $0\in\mathbb{N}$ +\item<4-> $n\in\mathbb{N}\Rightarrow \text{Nachfolger }n'\in\mathbb{N}$ +\item<5-> $0$ ist nicht Nachfolger +\item<6-> $n,m\in\mathbb{N}\wedge n'=m'\Rightarrow n=m$ +\item<7-> $X\subset \mathbb{N}\wedge 0\in X\wedge \forall n\in X(n'\in X) +\Rightarrow +\mathbb{N}=X +$ +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Monoid} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +Menge $\only<8-10>{\mathbb{N}}\only<11->{M}$ mit einer +zweistelligen Verknüpfung $a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b$ +\begin{enumerate} +\item<9-> Assoziativ: $a,b,c\in M$ +\[ +(a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b)\only<8-10>{+}\only<11->{*}c=a\only<8-10>{+}\only<11->{*}(b\only<8-10>{+}\only<11->{*}c) +\] +\item<10-> Neutrales Element: $\only<8-10>{0}\only<11->{e}\in M$ +\[ +\only<8-10>{0+}\only<11->{e*} a += +a \only<8-10>{+0}\only<11->{*e} +\] +\end{enumerate} +\end{block}}% +\vspace{-15pt} +\uncover<12->{% +\begin{block}{Axiom 5 = Vollständige Induktion} +$X=\{n\in\mathbb{N}\;|\; \text{$P(n)$ ist wahr}\}$ +\begin{enumerate} +\item<13-> Verankerung: $0\in X$ +\item<14-> Induktionsannahme: $n\in X$ +\item<15-> Induktionsschritt: $n'\in X$ +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 56164b2..e10b0ab 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -4,6 +4,8 @@ % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % - -\folie{3/polynome.tex} -\folie{3/motivation.tex} +%\folie{1/peano.tex} +\folie{1/ganz.tex} +\folie{1/bruch.tex} +%\folie{3/polynome.tex} +%\folie{3/motivation.tex} |