Illustrationen zum Kapitel über positive Matrizen

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diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile
index 5511f14..8042eb1 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile
@@ -3,8 +3,8 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschulen
 #
-all:	dreieck.pdf trenn.pdf vergleich.pdf vergleich.jpg positiv.jpg \
-	diffusion.png diffusion.pdf
+all:	dreieck.pdf trenn.pdf vergleich.pdf vergleich.jpg \
+	positiv.pdf positiv.jpg diffusion.png diffusion.pdf
 
 # Visualisierung diffusion in einer primitiven Matrix
 diffusion.pdf:	diffusion.tex diffusion.jpg
@@ -20,6 +20,9 @@ vektoren.inc:	diffusion.m
 	octave diffusion.m
 
 # Visualizierung positive Matrix
+positiv.pdf:	positiv.tex positiv.jpg
+	pdflatex positiv.tex
+
 positiv.png:	positiv.pov  quadrant.inc
 	povray +A0.1 +W1920 +H1080 -Opositiv.png positiv.pov
 
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf
new file mode 100644
index 0000000..39aa3cd
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.tex
new file mode 100644
index 0000000..911b599
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+%
+% positiv.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{7}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{positiv.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (-2.6,-3.8) [right] {$x_1$};
+\node at (-5.4,3.8) [right] {$x_3$};
+
+\node[color=red] at (-4.5,-1.3) {$0$};
+\node[color=red] at (-4.15,-1.25) {$1$};
+\node[color=red] at (-3.75,-0.90) {$2$};
+\node[color=red] at (-3.22,-0.80) {$3$};
+\node[color=red] at (-2.6,-0.70) {$4$};
+\node[color=red] at (-1.8,-0.60) {$5$};
+\node[color=red] at (-0.9,-0.50) {$6$};
+\node[color=red] at (0.2,-0.40) {$7$};
+\node[color=red] at (1.6,-0.20) {$8$};
+\node[color=red] at (4.0,0.10) {$9$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf
index feb19a2..bbcc95a 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
index 935aa2d..4cdc533 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
@@ -399,6 +399,29 @@ zu einem Eigenwert $\lambda$ mit Betrag $|\lambda|=\varrho(A)$ geben,
 aber a priori wissen wir nicht, ob es einen reellen Eigenwert vom
 Betrag $\varrho(A)$ gibt, und ob der Eigenvektor dazu reell ist.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf}
+\caption{Die Iteration einer positiven Matrix bildet den positiven Oktanten
+in immer enger werdende Kegel ab, die die Richtung des gesuchten Eigenvektors
+gemeinsam haben.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:figure:positiv}}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:vergleich} kann man sehen,
+dass eine positive Abbildung den positiven Oktanten in einen etwas engeren
+Kegel hinein abbildet.
+Iteriert man dies (Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:figure:positiv}),
+wird die Bildmenge immer enger, bis sie nur ein
+sehr enger Kegel um die Richtung des Eigenvektors ist.
+Tatsächlich kann man aus dieser Idee auch einen topologischen
+Beweis des untenstehenden Satzes von Perron-Frobenius konstruieren.
+Er beruht darauf, dass eine Abbildung, die Distanzen verkleinert,
+einen Fixpunkt hat.
+Die Konstruktion einer geeigneten Metrik ist allerdings eher 
+kompliziert, weshalb wir im Beweise der nachstehenden Aussagen
+den konventionellen Weg wählen.
+
 Wir beginnen damit zu zeigen, dass für positive Matrizen $A$, 
 nichtnegative Eigenvektoren zu Eigenwerten $\lambda\ne 0$
 automatisch positiv sind.