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author | fabioviecelli <80270098+fabioviecelli@users.noreply.github.com> | 2021-09-08 09:23:56 +0200 |
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committer | fabioviecelli <80270098+fabioviecelli@users.noreply.github.com> | 2021-09-08 09:23:56 +0200 |
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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index fab2dcb..7e0ec8c 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -31,6 +31,7 @@ Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert: Die Darstellung ganzer Zahlen als Paare von natürlichen Zahlen findet man auch in der Buchhaltung, wo man statt eines Vorzeichen {\em Soll} und {\em Haben} verwendet. +\index{Soll und Haben}% Dabei kommt es nur auf die Differenz der beiden Positionen an. Fügt man beiden Positionen den gleichen Betrag hinzu, ändert sich nichts. @@ -44,8 +45,8 @@ Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$. Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden. Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit ``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen, -allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz -noch gar nicht definiert ist. +allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja der Begriff +der Differenz noch gar nicht definiert ist. Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn \begin{equation} (a,b) \sim (c,d) @@ -66,8 +67,9 @@ Zahlen mit der Eigenschaft a+b' = a'+b. \] Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$. - +\index{Aquivalenzklasse@Äquivalenzklasse} Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen +\index{ganze Zahlen}% Äquivalenzklassen. Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der @@ -79,12 +81,16 @@ stellt das Paar $(b,a)$ eine ganze Zahl dar mit der Eigenschaft \begin{equation} z+(b,a) = -(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0. +(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0 \label{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} \end{equation} +dar. Die von $(b,a)$ dargestellte ganze Zahl wird mit $-z$ bezeichnet, die Rechnung~\eqref{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} lässt sich damit abgekürzt als $z+(-z)=0$ schreiben. +$-z$ heisst der $z$ {\em entgegengesetzte Wert} oder die +\index{entgegengesetzte Zahl}% +{\em entgegengesetzte Zahl} zu $z$. \subsubsection{Lösung von Gleichungen} Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen @@ -102,21 +108,27 @@ $a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt. \subsubsection{Ring} \index{Ring}% -Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten Ring, +Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten {\em Ring}, +\index{Ring}% eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert sind. -Weitere Beispiel werden später vorgestellt, +Weitere Beispiele von Ringen werden später vorgestellt, +darunter der Ring der Polynome $\mathbb{Z}[X]$ in Kapitel~\ref{buch:chapter:polynome} +\index{Polynomring}% +\index{ZX@$\mathbb{Z}[X]$} und der Ring der $n\times n$-Matrizen in +\index{Matrizenring}% Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen}. In einem Ring wird nicht verlangt, dass die Multiplikation kommutativ -ist, Matrizenringe sind nicht kommutativ. -$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring ebenso sind die Polynomringe +ist, Matrizenringe zum Beispiel sind meistens nicht kommutativ, selbst +wenn die Matrixelemente Elemente eines kommutativen Rings sind. +$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring, ebenso sind die Polynomringe kommutativ. Die Theorie der nicht kommutativen Ringe ist sehr viel reichhaltiger und leider auch komplizierter als die kommutative Theorie. -\index{Ring!kommutativer}% +\index{Ring!kommutativ}% |