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index fab2dcb..7e0ec8c 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -31,6 +31,7 @@ Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert:
 Die Darstellung ganzer Zahlen als Paare von natürlichen Zahlen
 findet man auch in der Buchhaltung, wo man statt eines Vorzeichen
 {\em Soll} und {\em Haben} verwendet.
+\index{Soll und Haben}%
 Dabei kommt es nur auf die Differenz der beiden Positionen an.
 Fügt man beiden Positionen den gleichen Betrag hinzu, ändert sich
 nichts.
@@ -44,8 +45,8 @@ Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$.
 Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden.
 Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit 
 ``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen,
-allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz
-noch gar nicht definiert ist.
+allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja der Begriff
+der Differenz noch gar nicht definiert ist.
 Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn
 \begin{equation}
 (a,b) \sim (c,d)
@@ -66,8 +67,9 @@ Zahlen mit der Eigenschaft
 a+b' = a'+b.
 \]
 Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$.
-
+\index{Aquivalenzklasse@Äquivalenzklasse}
 Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen
+\index{ganze Zahlen}%
 Äquivalenzklassen.
 Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise
 darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der
@@ -79,12 +81,16 @@ stellt das Paar $(b,a)$ eine ganze Zahl dar mit der Eigenschaft
 \begin{equation}
 z+(b,a)
 =
-(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0.
+(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0
 \label{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt}
 \end{equation}
+dar.
 Die von $(b,a)$ dargestellte ganze Zahl wird mit $-z$ bezeichnet,
 die Rechnung~\eqref{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} lässt sich damit
 abgekürzt als $z+(-z)=0$ schreiben.
+$-z$ heisst der $z$ {\em entgegengesetzte Wert} oder die
+\index{entgegengesetzte Zahl}%
+{\em entgegengesetzte Zahl} zu $z$.
 
 \subsubsection{Lösung von Gleichungen}
 Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen
@@ -102,21 +108,27 @@ $a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt.
 
 \subsubsection{Ring}
 \index{Ring}%
-Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten Ring,
+Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten {\em Ring},
+\index{Ring}%
 eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und
 Multiplikation definiert sind.
-Weitere Beispiel werden später vorgestellt,
+Weitere Beispiele von Ringen werden später vorgestellt,
+darunter
 der Ring der Polynome $\mathbb{Z}[X]$ in Kapitel~\ref{buch:chapter:polynome}
+\index{Polynomring}%
+\index{ZX@$\mathbb{Z}[X]$}
 und
 der Ring der $n\times n$-Matrizen in
+\index{Matrizenring}%
 Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen}.
 In einem Ring wird nicht verlangt, dass die Multiplikation kommutativ
-ist, Matrizenringe sind nicht kommutativ.
-$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring ebenso sind die Polynomringe 
+ist, Matrizenringe zum Beispiel sind meistens nicht kommutativ, selbst
+wenn die Matrixelemente Elemente eines kommutativen Rings sind.
+$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring, ebenso sind die Polynomringe 
 kommutativ.
 Die Theorie der nicht kommutativen Ringe ist sehr viel reichhaltiger
 und leider auch komplizierter als die kommutative Theorie.
-\index{Ring!kommutativer}%
+\index{Ring!kommutativ}%