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| author | LordMcFungus <mceagle117@gmail.com> | 2021-03-22 18:05:11 +0100 |
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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/Makefile.inc b/buch/chapters/30-endlichekoerper/Makefile.inc index 1118fb0..4cd75b2 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/Makefile.inc @@ -5,6 +5,12 @@ # CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ + chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3001.tex \ + chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3002.tex \ + chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex \ + chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex \ + chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex \ + chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex \ chapters/30-endlichekoerper/galois.tex \ chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex \ chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/beispiele/inverse.m b/buch/chapters/30-endlichekoerper/beispiele/inverse.m new file mode 100644 index 0000000..69c6429 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/beispiele/inverse.m @@ -0,0 +1,15 @@ +# +# inverse.m -- Inverse mod 2063 berechnen +# +# (c) Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +# +function retval = Q(q) + retval = [ 0, 1; 1, -q ]; +end + +P = eye(2) +P = Q(1) * P +P = Q(48) * P +P = Q(8) * P +P = Q(2) * P +P = Q(2) * P diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex index 6dfbaef..1a0a323 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex @@ -20,6 +20,10 @@ die diese Eigenschaft nicht haben. Nicht überraschend werden die ersten derartigen Körper, die wir in Abschnitt~\ref{buch:section:galoiskoerper} konstruieren werden, endlich viele Elemente haben. +Als Hilfsmittel für die Definition der Division in diesem Körper wird +als Vorbereitung in Abschnitt~\ref{buch:section:euklid} der +euklidische Algorithmus vorgestellt, wobei auch eine besonders zum +Thema dieses Buches passende Beschreibung in Matrixform angegeben wird. Zu diesen sogenannten Galois-Körpern können wir dann weitere Elemente hinzufügen, wie das in Abschnitt ~\ref{buch:section:wurzeln} gezeigt wird. @@ -27,8 +31,19 @@ Diese Technik, die auch für den Körper $\mathbb{Q}$ funktioniert, erlaubt dafür zu sorgen, dass in einem Körper gewisse algebraische Gleichungen lösbar werden. - +\input{chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex} \input{chapters/30-endlichekoerper/galois.tex} \input{chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex} +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{3004} +\uebungsaufgabe{3003} +\uebungsaufgabe{3002} +\uebungsaufgabe{3001} +\uebungsaufgabe{3005} +\end{uebungsaufgaben} + diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex new file mode 100644 index 0000000..db326f8 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex @@ -0,0 +1,617 @@ +% +% euklid.tex +% +% (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Der euklidische Algorithmus +\label{buch:section:euklid}} +\rhead{Der euklidische Algorithmus} +Der euklidische Algorithmus bestimmt zu zwei gegebenen ganzen +Zahlen $a$ und $b$ den grössten gemeinsamen Teiler $g$. +Zusätzlich findet er ganze Zahlen $s$ und $t$ derart, dass +\[ +sa + tb = g. +\] +In diesem Abschnitt soll der Algorithmus zunächst für ganze Zahlen +vorgestellt werden, bevor er auf Polynome verallgemeinert und dann +in Matrixform niedergeschrieben wird. + +% +% Der euklidische Algorithmus für ganze Zahlen +% +\subsection{Ganze Zahlen} +Gegeben sind zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ und wir dürfen annehmen, +dass $a\ge b$. +Gesucht ist der grösste gemeinsame Teiler $g$ von $a$ und $b$. +Wir schreiben $g|a$ für ``$g$ ist Teiler von $a$'' oder ``$g$ teilt $a$'', +gesucht ist also die grösste ganze Zahl $g$ derart, dass $g|a$ und $g|b$. + +Ist $b|a$, dann ist offenbar $b$ der grösste gemeinsame Teiler von $a$ +und $b$. +Im Allgemeinen wird der grösste gemeinsame Teiler aber kleiner sein. +Wir teilen daher $a$ durch $b$, was nur mit Rest möglich ist. +Es gibt ganze Zahlen $q$, der Quotient, und $r$, der Rest, derart, dass +\begin{equation} +a = qb+ r +\qquad \Rightarrow \qquad +r = a - qb. +\label{lifting:euklid:raqb} +\end{equation} +Nach Definition des Restes ist $r < b$. +Da der grösste gemeinsame Teiler sowohl $a$ als auch $b$ teilt, muss er +wegen~\eqref{lifting:euklid:raqb} auch $r$ teilen. +Somit haben wir das Problem, den grössten gemeinsamen Teiler von $a$ und +$b$ zu finden, auf das ``kleinere'' Problem zurückgeführt, den grössten +gemeinsamen Teiler von $b$ und $r$ zu finden. + +Um den eben beschriebenen Schritt zu wiederholen, wählen wir die folgende +Notation. +Wir schreiben $a_0=a$ und $b_0=b$. +Im ersten Schritt finden wird $q_0$ und $r_0$ derart, +dass $a_0-q_0b_0 = r_0$. +Dann setzen wir $a_1=b_0$ und $b_1=r_0$. +Mit $a_1$ und $b_1$ wiederholen wir den Divisionsschritt, der einen +neuen Quotienten $q_1$ und einen neuen Rest $r_1$ liefert mit $a_1-q_1b_1=r_1$. +So entstehen vier Folgen von Zahlen $a_k$, $b_k$, $q_k$ und $r_k$ derart, +dass in jedem Schritt gilt +\begin{align*} +a_k - q_kb_k &= r_k & g&|a_k & g&|b_k & a_k &= b_{k-1} & b_k = r_{k-1} +\end{align*} +Der Algorithmus bricht im Schritt $n$ ab, wenn $r_{n+1}=0$. +Der letzte nicht verschwindende Rest $r_n$ muss daher der grösste gemeinsame +Teiler sein: $g=r_n$. + +\begin{beispiel} +\label{buch:endlichekoerper:beispiel1} +Wir bestimmen den grössten gemeinsamen Teiler von $76415$ und $23205$ +mit Hilfe des eben beschriebenen Algorithmus. +Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle: +\begin{center} +\renewcommand{\arraystretch}{1.1} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline +k& a_k& b_k& q_k& r_k\\ +\hline +0&76415&23205& 3&6800\\ +1&23205& 6800& 3&2805\\ +2& 6800& 2805& 2&1190\\ +3& 2805& 1190& 2& 425\\ +4& 1190& 425& 2& 340\\ +5& 425& 340& 1& 85\\ +6& 340& 85& 4& 0\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Der Algorithmus bricht also mit dem letzten Rest $r_n=85$ ab, dies +ist der grösste gemeinsame Teiler. +\end{beispiel} + +Die oben protokollierten Werte von $q_k$ werden für die Bestimmung +des grössten gemeinsamen Teilers nicht benötigt. +Wir können sie aber verwenden, um die Zahlen $s$ und $t$ zu bestimmen. + +\begin{beispiel} +Wir drücken die Reste im obigen Beispiel durch die Zahlen $a_k$, $b_k$ und +$q_k$ aus und setzen sie in den Ausdruck $g=a_5-q_5b_5$ ein, bis wir +einen Ausdruck in $a_0$ und $b_0$ für $g$ finden: +\begin{align*} +r_5&=a_5-q_5 b_5=a_5-1\cdot b_5& g &= a_5 - 1 \cdot b_5 = b_4 - 1 \cdot r_4 +\\ +r_4&=a_4-q_4 b_4=a_4-2\cdot b_4& &= b_4 - (a_4 -2b_4) + = -a_4 +3b_4 = -b_3 + 3r_3 +\\ +r_3&=a_3-q_3 b_3=a_3-2\cdot b_3& &= -b_3 + 3(a_3-2b_3) + = 3a_3 - 7b_3 = 3b_2 -7r_2 +\\ +r_2&=a_2-q_2 b_2=a_2-2\cdot b_2& &= 3b_2 -7(a_2-2b_2) + = -7a_2 + 17b_2 = -7b_1 + 17r_1 +\\ +r_1&=a_1-q_1 b_1=a_1-3\cdot b_1& &= -7b_1 + 17(a_1-3b_1) + = 17a_1 - 58b_1 = 17 b_0 - 58 r_0 +\\ +r_0&=a_0-q_0 b_0=a_0-3\cdot b_0& &= 17b_0 - 58(a_0t-3b_0) + = -58a_0+191b_0 +\end{align*} +Tatsächlich gilt +\[ +-58\cdot 76415 + 191 \cdot 23205 = 85, +\] +die Zahlen $t=-58$ und $s=191$ sind also genau die eingangs versprochenen +Faktoren. +\end{beispiel} + +% +% Matrixschreibeweise für den euklidischen Algorithmus +% +\subsection{Matrixschreibweise +\label{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}} +Die Durchführung des euklidischen Algorithmus lässt sich besonders elegant +in Matrixschreibweise dokumentieren. +In jedem Schritt arbeitet man mit zwei ganzen Zahlen $a_k$ und $b_k$, die wir +als zweidimensionalen Spaltenvektor betrachten können. +Der Algorithmus macht aus $a_k$ und $b_k$ die neuen Zahlen +$a_{k+1} = b_k$ und $b_{k+1} = r_k = a_k - q_kb_k$, dies +kann man als +\[ +\begin{pmatrix} a_{k+1} \\ b_{k+1} \end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} b_k \\ r_k \end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -q_k \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \end{pmatrix} +\] +schreiben. +Der Algorithmus bricht ab, wenn die zweite Komponente des Vektors $=0$ ist, +in der ersten steht dann der grösste gemeinsame Teiler. +Hier ist die Durchführung des Algorithmus in Matrix-Schreibweise: +\begin{align*} +\begin{pmatrix} 23205 \\ 6800 \end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 76415 \\ 23205 \end{pmatrix} +\\ +\begin{pmatrix} 6800 \\ 2805 \end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 23205 \\ 6800 \end{pmatrix} +\\ +\begin{pmatrix} 2805 \\ 1190 \end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 6800 \\ 2805 \end{pmatrix} +\\ +\begin{pmatrix} 1190 \\ 425 \end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2805 \\ 1190 \end{pmatrix} +\\ +\begin{pmatrix} 425 \\ 340 \end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1190 \\ 425 \end{pmatrix} +\\ +\begin{pmatrix} 340 \\ 85 \end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 425 \\ 340 \end{pmatrix} +\\ +\begin{pmatrix} 85 \\ 0 \end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-4 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 340 \\ 85 \end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}. +\end{align*} + +\begin{definition} +Wir kürzen +\[ +Q(q_k) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -q_k \end{pmatrix} +\] +ab. +\end{definition} + +Mit dieser Definition lässt sich der euklidische Algorithmus wie folgt +beschreiben. + +\begin{algorithmus}[Euklid] +\label{lifting:euklid} +Der Algorithmus operiert auf zweidimensionalen Zustandsvektoren +$x\in\mathbb Z^2$ +wie folgt: +\begin{enumerate} +\item Initialisiere den Zustandsvektor mit den ganzen Zahlen $a$ und $b$: +$\displaystyle x = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ +\item Bestimme den Quotienten $q$ als die grösste ganze Zahl, +für die $qx_2\le x_1$ gilt. +\item Berechne den neuen Zustandsvektor als $Q(q)x$. +\item Wiederhole Schritte 2 und 3 bis die zweite Komponente des Zustandsvektors +verschwindet. +Die erste Komponente ist dann der gesuchte grösste gemeinsame Teiler. +\end{enumerate} +\end{algorithmus} + +Auch die Berechnung der Zahlen $s$ und $t$ lässt sich jetzt leichter verstehen. +Nach Algorithmus~\ref{lifting:euklid} ist +\[ +\begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix} += +Q(q_n)Q(q_{n-1})\cdots Q(q_0) +\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}. +\] +Schreiben wir $Q=Q(q_n)Q(q_{n-1})\cdots Q(q_0)$, dann enthält die Matrix +$Q$ in der erste Zeile die ganzen Zahlen $s$ und $t$, mit denen sich der +grösste gemeinsame Teiler aus $a$ und $b$ darstellen lässt: +\[ +Q = +\begin{pmatrix} +s&t\\ +q_{21}&q_{22} +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +\bigg\{ +\quad +\begin{aligned} +g&=sa+tb\\ +0&=q_{21}a+q_{22}b. +\end{aligned} +\] + +\begin{beispiel} +Wir verifizieren die Behauptung durch Nachrechnen: +\begin{align*} +Q +&= +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&-q_n\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&-q_{n-1}\end{pmatrix} +\cdots +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&-q_{0}\end{pmatrix} +\\ +&= +\underbrace{ +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -4 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -1 \end{pmatrix} +}_{} +\underbrace{ +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -2 \end{pmatrix} +}_{} +\underbrace{ +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -3 \end{pmatrix} +}_{} +\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1& -3 \end{pmatrix} +\\ +&= +\underbrace{ +\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} +}_{} +\underbrace{ +\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} +}_{} +\\ &= +\begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -14 & 33 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -3 & 10 \\ 7 & -23 \end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} -58 & 191 \\ 273 & -899 \end{pmatrix}. +%(%i9) Q6 . Q5 +% [ 1 - 1 ] +%(%o9) [ ] +% [ - 4 5 ] +%(%i10) Q4 . Q3 +% [ 1 - 2 ] +%(%o10) [ ] +% [ - 2 5 ] +%(%i11) Q2 . Q1 +% [ 1 - 3 ] +%(%o11) [ ] +% [ - 2 7 ] +%(%i12) Q6 . Q5 . Q4 . Q3 +% [ 3 - 7 ] +%(%o12) [ ] +% [ - 14 33 ] +%(%i13) Q2 . Q1 . Q0 +% [ - 3 10 ] +%(%o13) [ ] +% [ 7 - 23 ] +%(%i14) Q6 . Q5 . Q4 . Q3 . Q2 . Q1 . Q0 +% [ - 58 191 ] +%(%o14) [ ] +% [ 273 - 899 ] +\end{align*} +In der zweiten Zeile findet man Zahlen, die $a$ und $b$ zu 0 kombinieren: +\[ +273 \cdot 76415 - 899 \cdot 23205 = 0, +\] +in der ersten stehen die Zahlen $s=-58$ und $t=191$ und tatsächlich +ergibt +\[ +ta+sb = -58\cdot 76415 + 191\cdot 23205 = 85 = g +\] +den grössten gemeinsamen Teiler von 76415 und 23205. +\end{beispiel} + +Die Wirkung der Matrix +\[ +Q(q) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -q \end{pmatrix} +\] +lässt sich mit genau einer Multiplikation und einer Addition +berechnen. +Dies ist die Art von Matrix, die wir für die Implementation der +Wavelet-Transformation anstreben. + +% +% Vereinfachte Durchführung des euklidischen Algorithmus +% +\subsection{Vereinfachte Durchführung +\label{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}} +Die Durchführung des euklidischen Algorithmus mit Hilfe der Matrizen +$Q(q_k)$ ist etwas unhandlich. +In diesem Abschnitt sollen die Matrizenprodukte daher in einer Form +dargestellt werden, die leichter als Programm zu implementieren ist. + +In Abschnitt~\ref{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise} +wurde gezeigt, dass das Produkt der aus den Quotienten $q_k$ gebildeten +Matrizen $Q(q_k)$ berechnet werden müssen. +Dazu beachten wir zunächst, dass die Multiplikation mit der Matrix +$Q(q_k)$ die zweite Zeile in die erste Zeile verschiebt: +\[ +Q(q_k) +\begin{pmatrix} +u&v\\ +c&d\\ +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}0&1\\1&-q_k\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +u&v\\ +c&d +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +c&d\\ +u-q_kc&v-q_kd +\end{pmatrix}. +\] +Die Matrizen +\[ +Q_k = Q(q_k)Q(q_{k-1})\dots Q(q_0) +\] +haben daher jeweils für aufeinanderfolgende Werte vo $k$ eine Zeile +gemeinsam. +Wir bezeichnen die Einträge der ersten Zeile der Matrix $Q_k$ mit +$c_k$ und $d_k$. +Es gilt dann +\[ +Q_k += +\begin{pmatrix} +c_{k} &d_{k} \\ +c_{k+1}&d_{k+1} +\end{pmatrix} += +Q(q_k) +\begin{pmatrix} +c_{k-1}&d_{k-1}\\ +c_{k} &d_{k} +\end{pmatrix} +\] +Daraus ergeben sich die Rekursionsformeln +\begin{equation} +\begin{aligned} +c_{k+1}&=c_{k-1}-q_kc_k\\ +d_{k+1}&=d_{k-1}-q_kd_k. +\end{aligned} +\label{buch:endlichekoerper:eqn:cdrekursion} +\end{equation} +Die Auswertung des Matrizenproduktes von links nach rechts beginnt mit +der Einheitsmatrix, es ist +\[ +Q_0 += +Q(q_0) I += +\begin{pmatrix} +0&1\\ +1&-q_0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +1&0\\0&1\end{pmatrix}, +\] +woraus man ablesen kann, dass +\begin{equation} +Q_{-1} += +\begin{pmatrix} +c_{-1}&d_{-1}\\ +c_0&d_0 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +1&0\\ +0&1 +\end{pmatrix} +\label{buch:endlichekoerper:eqn:cdinitial} +\end{equation} +gesetzt werden muss. + +Mit diesen Notationen kann man den Algorithmus jetzt in der früher +verwendeten Tabelle durchführen, die man um die zwei +Spalten $c_k$ und $d_k$ hinzufügt und die Werte in dieser +Spalte mit Hilfe der +Rekursionsformeln~\eqref{buch:endlichekoerper:eqn:cdrekursion} +aus den initialen Werten~\eqref{buch:endlichekoerper:eqn:cdinitial} +berechnet. + +\begin{beispiel} +Wir erweitern das Beispiel von Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel1} +zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers von $76415$ und $23205$ +zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$ +Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle: +\begin{center} +\renewcommand{\arraystretch}{1.1} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline +k& a_k& b_k& q_k& r_k& c_k& d_k\\ +\hline + & & & & & 1& 0\\ +0& 76415& 23205& 3& 6800& 0& 1\\ +1& 23205& 6800& 3& 2805& 1& -3\\ +2& 6800& 2805& 2& 1190& -3& 10\\ +3& 2805& 1190& 2& 425& 7& -23\\ +4& 1190& 425& 2& 340& -17& 56\\ +5& 425& 340& 1& 85& 41& -135\\ +6& 340& 85& 4& 0& -58& 191\\ +7& 85& 0& & & 273& -899\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Aus den letzten zwei Spalten der Tabelle kann man ablesen, dass +\begin{align*} +-58\cdot 76415 + 191\cdot 23205 &= 85\\ +273\cdot 76415 - 899\cdot 23205 &= 0, +\end{align*} +wie erwartet. +Die gesuchten Zahlen $s$ und $t$ sind also $s=-58$ und $t=191$. +\end{beispiel} + +Die Matrizen $Q_k$ kann man auch as der Tabelle ablesen, sie bestehen +aus den vier Elementen in den Zeilen $k$ und $k+1$ in den +Spalten $c_k$ und $d_k$. +Auf jeder Zeile gilt $b_k = c_ka_0 + d_kb_0$, für $k>0$ ist dies +$c_ka_0+d_kb_0=r_{k-1}$. + +Bis jetzt gingen wir immer davon aus, dass $a>b$ ist. +Dies ist jedoch nicht nötig, wie die Durchführung des Algorithmus +für das obige Beispiel mit vertauschten Werten von $a$ und $b$ zeigt. +Wir bezeichnen die Elemente zur Unterscheidung von der ursprünglichen +Durchführung mit einem Strich: +\begin{center} +\renewcommand{\arraystretch}{1.1} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline +k& a_k'& b_k'& q_k'& r_k'& c_k'& d_k'\\ +\hline + & & & & & 1& 0\\ +0& 23205& 76415& 0& 23205& 0& 1\\ +1& 76415& 23205& 3& 6800& 1& 0\\ +2& 23205& 6800& 3& 2805& -3& 1\\ +3& 6800& 2805& 2& 1190& 10& -3\\ +4& 2805& 1190& 2& 425& -23& 7\\ +5& 1190& 425& 2& 340& 56& -17\\ +6& 425& 340& 1& 85& -135& 41\\ +7& 340& 85& 4& 0& 191& -58\\ +8& 85& 0& & & -899& 273\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Da für $a<b$ der erste Quotient $q_0'=0$ ist, werden die ersten neuen +Elemente $c_1'=1=d_0$ und $d_1'=0=c_0$ sein. +Die nachfolgenden Quotienten sind genau die gleichen, also $q_k = q_{k+1}'$ +und damit werden auch +\[ +c_{k}=d_{k+1}' \qquad\text{und}\qquad d_{k} = c_{k+1}' +\] +sein. +Man findet also die gleichen Einträge in einer Tabelle, die eine Zeile +mehr hat und in der die letzten zwei Spalten gegenüber der ursprünglichen +Tabelle vertauscht wurden. + +% +% Der euklidische Algorithmus für Polynome +% +\subsection{Polynome} +Der Ring $\mathbb{Q}[X]$ der Polynome in der Variablen $X$ mit rationalen +Koeffizienten\footnote{Es kann auch ein beliebiger anderer Körper für +die Koeffizienten verwendet werden. +Es gelten sogar ähnlich interessante Gesetzmässigkeiten, wenn man für +die Koeffizienten ganze Zahlen zulässt. +Dann wird das Problem der Faktorisierung allerdings verkompliziert +durch das Problem der Teilbarkeit der Koeffizienten. +Dieses Problem entfällt, wenn man die Koeffizienten aus einem +Bereich wählt, in dem Teilbarkeit kein Problem ist, also in einem Körper.} +verhält +sich bezüglich Teilbarkeit ganz genau gleich wie die ganzen Zahlen. +Insbesondere ist der euklidische Algorithmus genauso wie die +Matrixschreibweise auch für Polynome durchführbar. + +\begin{beispiel} +Wir berechnen als Beispiel den grössten gemeinsamen Teiler +der Polynome +\[ +a = X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12, +\qquad +b = X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6. +\] +Wir erstellen wieder die Tabelle der Reste +\begin{center} +\renewcommand{\arraystretch}{1.4} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline +k& a_k& b_k& q_k& r_k\\ +\hline +0& X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12& X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6& 1&-3X^3+9X+6\\ +1&X^4+X^3-7X^2-X+6 &-3X^3+9X+6 &-\frac13X-\frac13&-4X^2+4X+8\\ +2&-3X^3+9X+6 &-4X^2+4X+8& \frac34 X + \frac34& 0\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Daraus kann man ablesen, dass $-4x^2+4x+8$ grösster gemeinsamer Teiler ist. +Normiert auf einen führenden Koeffizienten $1$ ist dies das Polynom +$x^2-x+2=(x+2)(x-1)$. + +Wir berechnen auch noch die Polynome $s$ und $t$. +Dazu müssen wir die Matrizen $Q(q_k)$ miteinander multiplizieren: +\begin{align*} +Q +&=Q(q_2) Q(q_1) Q(q_0) +\\ +&= +\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -\frac34(X+1) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & \frac13(X+1) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} +\\ +&= +% [ x 1 2 x ] +% [ - + - - - - ] +% [ 3 3 3 3 ] +%(%o22) [ ] +% [ 2 2 ] +% [ x x 3 x x 3 ] +% [ (- --) - - + - -- - - - - ] +% [ 4 2 4 4 4 2 ] +\begin{pmatrix} +\frac13(X+1)&-\frac13(X-2)\\ +-\frac14(X^2+2X-3)&\frac14(X^2-X-6) +\end{pmatrix}. +\end{align*} +In der ersten Zeile finden wir die Polynome $t(X)$ und $s(X)$, mit denen +\begin{align*} +ta+sb +&= +\frac13(X+1) +(X^4-2X^3-7X^2+8X+12) +-\frac13(X-2) +(X^4+X^3-7X^2-X+6) +\\ +&= +-4X^2+4X+8 +\end{align*} +und dies ist tatsächlich der gefundene grösste gemeinsame Teiler. +Die zweite Zeile von $Q$ gibt uns die Polynomfaktoren, mit denen +$a$ und $b$ gleich werden: +\begin{align*} +q_{21}a+q_{22}b +&= +-\frac14(X^2+2X-3) +(X^4-2X^3-7X^2+8X+12) ++\frac14(X^2-X-6) +(X^4+X^3-7X^2-X+6) +\\ +&=0. +\qedhere +\end{align*} +Man kann natürlich den grössten gemeinsamen Teiler auch mit Hilfe einer +Faktorisierung der Polynome $a$ und $b$ finden: +\begin{align*} +&\text{Faktorisierung von $a$:}& +a &= (X-3) (X-2)\phantom{(X-1)}(X+1) (X+2) \phantom{(X+3)}\\ +&\text{Faktorisierung von $b$:}& +b &=\phantom{(X-3)}(X-2) (X-1) (X+1)\phantom{(X+2)} (X+3) \\ +&\text{gemeinsame Faktoren:}& +g &=\phantom{(X-3)}(X-2)\phantom{(X-1)}(X+1)\phantom{(X+2)}\phantom{(X+3)} + = X^2 -X + 2\\ +&& +v=a/g&= (X-3)\phantom{(X-2)(X-1)(X+1)} (X+2) \phantom{(X+3)} + = X^2-X-6 \\ +&& +u=b/g&=\phantom{(X-3)(X-2)} (X-1)\phantom{(X+1)(X+2)}(X+3) + = X^2+2X-3 +\end{align*} +Aus den letzten zwei Zeilen folgt +$ua-vb = ab/g - ab/g = 0$, wie erwartet. +\end{beispiel} + + diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex index 5afef53..fbacba6 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex @@ -3,8 +3,561 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % +% !TeX spellcheck = de_CH \section{Galois-Körper \label{buch:section:galoiskoerper}} \rhead{Galois-Körper} +Ein Körper $\Bbbk$ enthält mindestens die Zahlen $0$ und $1$. +Die Null ist nötig, damit $\Bbbk$ eine Gruppe bezüglich der +Addition ist, die immer ein neutrales Element, geschrieben $0$ +enthält. +Die Eins ist nötig, damit $\Bbbk^*=\Bbbk\setminus\{0\}$ eine +Gruppe bezüglich der Multiplikation ist, die immer eine neutrales +Element, geschrieben $1$ enthält. +Durch wiederholte Addition entstehen auch die Zahlen $2=1+1$, $3=2+1$ +und so weiter. +Es sieht also so aus, als ob ein Körper immer unendliche viele +Elemente enthalten müsste. +Wie können also endliche Körper entstehen? +In diesem Abschnitt sollen die sogenannten Galois-Körper $\mathbb{F}_p$ +mit genau $p$ Elementen konstruiert werden, die es für jede Primzahl $p$ gibt. +Sie sind die Basis für weitere endliche Körper, die eine beliebige +Primzahlpotenz $p^n$ von Elementen haben und die die Basis wichtiger +kryptographischer Algorithmen sind. +% +% Arithmetik module $o$ +% +\subsection{Arithmetik modulo $p$ +\label{buch:subsection:arithmetik-modulo-p}} +Damit aus den Zahlen $0, 1, 2, \dots$ ein endlicher Körper werden kann, +muss die Folge sich wiederholen. +Schreiben wir $a_0=0,a_1=1,\dots$ für die Folge, dann muss es also +ein Folgenelement $a_k$ geben und ein $n$ derart, dass $a_{k+n}=a_{k}$. +Dies bedeutet, dass $k+n = k$ sein muss. +Subtrahiert man $k$ auf beiden Seiten, dann folgt, dass $n=0$ sein muss. +Damit ein endlicher Körper entsteht, muss also die Menge +\begin{align*} +&\{0,1,2,\dots,n-1\} +\intertext{eine Gruppe bezüglich der Addition sein, und} +&\{1,2,\dots,n-1\} +\end{align*} +eine Gruppe bezüglich der Multiplikation. + +\subsubsection{Restklassenring} +Wir definieren die Grundoperationen in einer Menge, die mit den +Zahlen $\{0,1,2,\dots,n-1\}$ identifiziert werden kann. + +\begin{definition} +Die Zahlen $a,b\in\mathbb{Z}$ heissen {\em kongruent modulo $n$}, +geschrieben +\[ +a\equiv b\mod n, +\] +wenn $a-b$ durch $n$ teilbar ist, also $n|(a-b)$. +\end{definition} + +Die Zahlen mit gleichem Rest sind Äquivalenzklassen der Kongruenz modulo $n$. +Die Zahlen mit Rest $k$ modulo $n$ bilden die {\em Restklasse} +\[ +\llbracket k\rrbracket=\{\dots,k-2n,k-n,k,k+n,k+2n,\dots\} \subset\mathbb{Z}. +\] +Sie bilden eine endliche Menge, die man mit den Resten $0,1,\dots,n-1$ +identifizieren kann. + +\begin{definition} +Die Menge $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ besteht aus den Restklassen +$\llbracket 0\rrbracket,\llbracket 1\rrbracket,\dots,\llbracket n-1\rrbracket$, +die auch einfach $0,1,\dots,n-1$ geschrieben werden. +\end{definition} + +Beim Rechnen mit Resten modulo $n$ können Vielfache von $n$ ignoriert werden. +Zum Beispiel gilt +\[ +\begin{aligned} +48&\equiv -1\mod 7& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$} +\\ +3\cdot 5=15&\equiv 1\mod 7 & 3\cdot 5&=1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.} +\end{aligned} +\] +Das Beispiel zeigt, dass man mindestens in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ mit +Resten ganz ähnlich rechnen kann wie in $\mathbb{Q}$. +In $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ scheinen $3$ und $5$ multiplikative inverse +zu sein. + +Tatsächlich kann man auf den Restklassen eine Ringstruktur definieren. +Dazu muss man sicherstellen, dass die Auswahl eines Repräsentanten keinen +Einfluss auf den Rest hat. +Der Rest $a$ kann jede Zahl der Form $a+kn$ darstellen. +Ebenso kann der Rest $b$ jede zahl der Form $b+ln$ darstellen. +Deren Summe ist $a+b+(k+l)n\equiv a+b\mod n$. +Der Repräsentant des Restes hat also keinen Einfluss auf die Summe. + +Ebenso ist das Produkt der beiden Repräsentaten +$(a+kn)\cdot(b+ln) = ab + (al+bk)n + kln^2=ab + (al+bk+kln)n\equiv ab\mod n$ +für jede Wahl von $k$ und $l$. +Auch die Multiplikation ist also unabhängig vom gewählten Repräsentanten. + +\begin{definition} +Die Menge $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist ein Ring, +heisst der {\em Restklassenring modulo $n$}. +\end{definition} + +\subsubsection{Division in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$} +Um einen endlichen Körper zu erhalten, muss die Menge +\[ +\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \setminus \{\llbracket0\rrbracket\} += +\{ +\llbracket 1\rrbracket, +\llbracket 2\rrbracket, +\dots +\llbracket n-q\rrbracket +\} +\] +eine Gruppe bezüglich der Multiplikation sein. +Insbesondere darf kein Produkt $a\cdot b$ mit Faktoren in +$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \setminus \{\llbracket0\rrbracket\}$ +zu Null werden. +Für $n=15$ funktioniert dies nicht, das Produkt $3\cdot 5\equiv 0\mod 15$. +Man nennt von Null verschiedene Faktoren, deren Produkt Null ist, einen +{\em Nullteiler}. +Falls sich $n=p_1\cdot p_2$ in zwei Faktoren zerlegen lässt, dann sind +$p_1$ und $p_2$ Nullteiler in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. +Ein Körper kann also nur entstehen, wenn $n$ eine Primzahl ist. + +\begin{definition} +Ist $p$ eine Primzahl, dann heisst $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ +der Galois-Körper der Ordnung $p$. +\end{definition} + +Diese Definition ist nur gerechtfertigt, wenn $\mathbb{F}_p^*$ tatsächlich +eine Gruppe ist, wenn also jede Zahl zwischen $1$ und $p-1$ ein Inverses +bezüglich der Multiplikation hat. +Zu einem Rest $a\in\mathbb{F}_p^*$ muss also ein Rest $b$ gefunden werden, +so dass $ab\equiv 1\mod p$. +Dies ist gleichbedeutend mit Zahlen $b$ und $n$ derart, dass +\begin{equation} +ab+np=1. +\label{buch:endliche-koerper:teilerfremd} +\end{equation} +In~\eqref{buch:endliche-koerper:teilerfremd} sind $a$ und $p$ gegeben, +gesucht sind $b$ und $n$. + +In Abschnitt~\ref{buch:section:euklid} wurde gezeigt, wie der euklidische +Algorithmus eine Gleichung der Form~\eqref{buch:endliche-koerper:teilerfremd} +lösen kann, wenn die beiden gegebenen Zahlen $a$ und $p$ teilerfremd sind. +Dies ist aber dadurch garantiert, dass $p$ eine Primzahl ist und $1\le a <p$. +Die multiplikative Inverse von $a$ in $\mathbb{F}_p^*$ kann also mit +Hilfe des euklidischen Algorithmus effizient gefunden werden. + +\begin{beispiel} +Die kleinste Primzahl grösser als $2021$ ist $p=2063$. +Was ist die Inverse von $2021$ in $\mathbb{F}_{2063}$? + +Wir führen den euklidischen Algorithmus für das Paar $(2063,2021)$ durch +und erhalten +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline +k& a_k& b_k& q_k& r_k\\ +\hline +0& 2063& 2021& 1& 42\\ +1& 2021& 42& 48& 5\\ +2& 42& 5& 8& 2\\ +3& 5& 2& 2& 1\\ +4& 2& 1& 2& 0\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Die gesuchten Faktoren $b$ und $n$ können aus dem Matrizenprodukt +$Q(q_n)\dots Q(q_0)$ gefunden werden: +\begin{align*} +Q +&= +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -8 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -48 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -1 \end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -8 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1& -1\\ -48& 49\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -48& 49\\ 385& -393 \end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 385& -393\\ -818& 835 \end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} -818& 835\\ 2021& -2063\end{pmatrix} +\end{align*} +Daraus können wir ablesen, dass +\[ +-818\cdot 2021 +835 \cdot 2063=1. +\] +Der Rest $ -818\equiv 1245\mod 2063$ ist also die multiplikative +Inverse von $2021$ in $\mathbb{F}_{2063}$. +\end{beispiel} + +\subsubsection{Der kleine Satz von Fermat} +In $\mathbb{Z}$ wachsen die Potenzen einer Zahl immer weiter an. +In einem endlichen Körper kann dies nicht gelten, da nur endlich +viele Werte zur Verfügung stehen. +Tatsächlich müssen die Potenzen einer von $0$ verschiedenen Zahl +$a\in\mathbb{F}_p^*$ alle in $\mathbb{F}_p^*$ liegen. +Es gibt aber nur $p-1$ Zahlen in $\mathbb{F}_p^*$, spätestens +die Potenz mit Exponent $p$ muss also mit einer früheren Potenz +übereinstimmen. +Der kleine Satz von Fermat sagt etwas genauer: die $p$-te Potenz +von $a$ ist genau die Zahl $a$: + +\begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat] +\label{buch:endliche-koerper:satz:fermat} +In $\mathbb{F}_p$ gilt $a^p=a$ für alle $a\in\mathbb{F}_p^*$. +\end{satz} + +Wir beweisen diesen Satz in der folgenden, traditionelleren +Formulierung. + +\begin{satz} +Für jede ganze Zahl $a>0$ gilt $p|(a^p-a)$ genau dann, wenn +$p$ eine Primzahl ist. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir müssen zeigen, dass $p$ ein Teiler ist von $a^p-a$. +Das nachfolgende kombinatorische Argument wird zum Beispiel +von Mathologor auf seinem Youtube-Kanal im Video +\url{https://youtu.be/_9fbBSxhkuA} illustriert. + +Zum Beiweis interpretieren wir die vorkommenden Zahlen kombinatorisch. +Die Zahl $a^p$ ist die Anzahl der verschiedenen Perlenketten der Länge +$p$, die sich aus Glasperlen mit $a$ verschiedenen Farben herstellen +lassen. +Davon bestehen $a$ Perlenketten aus nur einer einzigen Farbe. +Die Zahl $a^p-a$ ist also die Anzahl der Perlenketten der Länge $p$ +aus Glasperlen mit $a$ verschiedenen Farben, die mindestens zwei +verschiedene Farben verwenden. + +Wir stellen jetzt die Frage nach der Anzahl der geschlossenen +Perlenketten der Länge $p$ als Glasperlen in $a$ verschiedenen Farben. +Aus jeder geschlossenen Perlenkette lassen sich $p$ Perlenketten machen, +indem man sie an einer der $p$ Trennstellen zwischen Perlen aufteilt. + +Wir müssen uns noch überlegen, unter welchen Voraussetzungen +alle diese möglichen Auftrennungen zu verschiedenen Perlenketten +führen. +Zwei Trennstellen, die $k$-Perlen auseinander liegen, führen nur dann +zur gleichen Perlenkette, wenn die geschlossenen Ketten durch Drehung +um $k$ Perlen ineinander übergehen. +Dies bedeutet aber auch, dass sich das Farbmuster alle $k$-Perlen +wiederholen muss. +Folglich ist $k$ ein Teiler von $p$. +$p$ verschiedene Perlenketten entstehen also immer genau dann, wenn $p$ +eine Primzahl ist. + +Wir schliessen daraus, dass $a^p-a$ durch $p$ teilbar ist, genau dann, +wenn $p$ eine Primzahl ist. +\end{proof} + +Der kleine Satz von Fermat kann auch dazu verwendet werden, Potenzen +in $\mathbb{F}_p$ zu vereinfachen, wie das folgende Beispiel\footnote{% +Das Beispiel stammt aus dem Video~\url{https://youtu.be/_9fbBSxhkuA}, +welches Mathologer zu Halloween 2018 veröffentlich hat} +zeigt. + +\begin{beispiel} +Man berechnet in $\mathbb{F}_{13}$ die Potenz $11^{666}$. +Nach dem kleinen Satz von Fermat ist $11^{13} = 11$ oder $11^{12}=1$, +man kann also den Exponenten modulo $12$ reduzieren. +Weil $666=55\cdot 12 + 6$ erhält man $11^{666}= 11^6$. +Da die Potenzen von $11$ etwas mühsam zu berechnen sind, +kann man sie wegen $11=-2$ in $\mathbb{F}_{13}$ auch als Potenzen +von $-2$ bekommen. +Aber $(-2)^6 = 64 = -1 \in\mathbb{F}_{13}$. +\end{beispiel} + +In der Form $a^{p-1}=1$ in $\mathbb{F}_p$ liefert der kleine Satz +von Fermat die Inverse von $a$ als $a^{p-2}$. +Dies bedeutet zum Beispiel, dass in $\mathbb{F}_3$ jede von $0$ +verschiedene Zahl zu sich selbst invers ist: $1\cdot 1=1$ und $2\cdot 2=1$. +Diese Art, die Inverse zu bestimmen, ist allerdings nicht effizienter +als der euklidische Algorithmus, aber sie ist manchmal für +theoretische Überlegungen nützlich. + +\subsubsection{Der Satz von Wilson} +Der Satz von Wilson ermöglicht, die multiplikative Inverse auf eine +andere Art zu berechnen. +Sie ist zwar nicht unbedingt einfacher, aber manchmal nützlich für +theoretische Überlegungen. + +\begin{satz}[Wilson] +Die ganze Zahl $p\ge 2$ ist genau dann eine Primzahl, wenn +$(p-1)!\equiv -1\mod p$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wenn $p$ keine Primzahl ist, dann lässt sich $p$ in Faktoren +$p=n_1\cdot n_2=p$ zerlegen. +Beide Faktoren kommen in der Liste $1,2,\dots,p-1$ vor. +Insbesondere haben $p=n_1n_2$ und $(p-1)!$ mindestens einen +der Faktoren $n_1$ oder $n_2$ gemeinsam, wir können annehmen, +dass $n_1$ dieser Faktor ist. +Es folgt, dass der grösste gemeinsame Teiler von $p$ und $(p-1)!$ +grösser als $n_1$ ist, auch $(p-1)!$ ein Vielfaches von $n_1$ in +$\mathbb{F}_p$. +Insbesondere kann $(p-1)!$ nicht $-1\in\mathbb{F}_p$ sein. + +Ist andererseits $p$ eine Primzahl, dann sind die Zahlen $1, 2,\dots,p-1$ +alle invertierbar in $\mathbb{F}_p$. +Die Zahlen $1$ und $-1\equiv p-1\mod p$ sind zu sich selbst invers, +da $1\cdot 1=1$ und $(-1)\cdot(-1)=1$. +Wenn eine Zahl $a$ zu sich selbst invers ist in $\mathbb{F}_p$, +dann ist $a^2-1=0$ in $\mathbb{F}_p$. +Daher ist auch $(a+1)(a-1)=0$, in $\mathbb{F}_p$ muss daher einer +der Faktoren $0$ sein, also $a=-1$ oder $a=1$ in $\mathbb{F}_p$. + +Zu jeder Zahl $a\in\{2,\dots,p-2\}$ liegt die Inverse $a^{-1}$ +ebenfalls in diesen Bereich und ist verschieden von $a$: $a^{-1}\ne a$. +Das Produkt der Zahlen +$2\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (p-2)$ besteht also aus zueinander inversen +Paaren. +Es folgt +\[ +2\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (p-2) = 1. +\] +Multipliziert man dies mit $p-1=-1\in\mathbb{F}_p$, folgt +die Behauptung des Satzes. +\end{proof} + +Mit dem Satz von Wilson kann man die Inverse einer beliebigen Zahl +$a\in\mathbb{F}_p$ finden. +Dazu verwendet man, dass $a$ einer der Faktoren in $(p-1)!$ ist. +Lässt man diesen Faktor weg, erhält man eine Zahl +\[ +b = 1\cdot 2 \cdot \ldots\cdot \hat{a}\cdot\ldots\cdot (p-1), +\] +wobei der Hut bedeutet, dass der Faktor $a$ weggelassen werden soll. +Nach dem Satz von Wilson ist $ab=-1$ in $\mathbb{F}_p$, also ist +$-b$ die multiplikative Inverse von $a$. + +\begin{beispiel} +Die Inverse von $2\in\mathbb{F}_7$ ist +\begin{align*} +a^{-1} +&= +-\underbrace{1\cdot 3\cdot 4}_{}\cdot \underbrace{5\cdot 6}_{} +\\ +&= +-5\cdot 2 += +-3 +=4 +\end{align*} +Tatsächlich ist $2\cdot 4=8\equiv 1\mod 7$. +\end{beispiel} + +% +% Charakteristik +% +\subsection{Charakteristik +\label{buch:subsection:charakteristik}} +In diesem Abschnitt zeigen wir, dass jeder Körper $\Bbbk$ eine Erweiterung +entweder von $\mathbb{Q}$ oder eines endlichen Körpers $\mathbb{F}_p$ ist. + +\subsubsection{Primkörper} +Sei $\Bbbk$ ein Körper. +Er enthält mindestens die Zahlen $0$ und $1$ und alle Vielfachen davon. +Wenn alle Vielfachen in $\Bbbk$ von $0$ verschieden sind, dann +bilden Sie ein Bild der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}\subset\Bbbk$. +Damit müssen dann aber auch alle Brüche in $\Bbbk$ enhalten sein, +es folgt also, dass $\mathbb{Q}\subset\Bbbk$ sein muss. + +Wenn andererseits eines der Vielfachen von $1$ in $\Bbbk$ +verschwindet, dann wissen wir aus +Abschnitt~\ref{buch:subsection:arithmetik-modulo-p}, dass +der Körper $\mathbb{F}_p$ in $\Bbbk$ enthalten sein muss. +Dies ist der kleinste Teilkörper, der in $\Bbbk$ enthalten ist. + +\begin{definition} +Der kleinste Teilkörper eines Körpers $\Bbbk$ heisst der +{\em Primkörper} von $\Bbbk$. +\end{definition} + +Der Primkörper erlaubt jetzt, die Charakteristik eines Körpers $\Bbbk$ +zu definieren. + +\begin{definition} +Die Charakteristik eines Körpers $\Bbbk$ ist $p$, wenn der Primkörper +$\mathbb{F}_p$ ist. +Falls der Primkörper $\mathbb{Q}$ ist, ist die Charakteristik $0$. +\end{definition} + +Die Charakteristik hat wichtige Auswirkungen darauf, wie in einem Körper +gerechnet wird. +Endliche Körper enthalten immer einen Körper von Primzahl-Ordnung und +haben damit immer Primcharakteristik. +Ein Körper mit Charakteristik $0$ enthält immer unendliche viele +Elemente. + +\subsubsection{Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf} +\caption{Binomialkoeffizienten module $2$ im Pascal-Dreieck. +Auf den rot hinterlegten Zeilen, die zu Exponenten der Form $2^k$ gehören, +sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar. +\label{buch:endliche-koerper:fig:binomial2}} +\end{figure} +\bgroup +\input{chapters/30-endlichekoerper/images/farben.tex} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf} +\caption{Binomialkoeffizienten module $5$ im Pascal-Dreieck. +Die von $0$ verschiedenen Reste werden durch Farben dargestellt: +$1=\text{schwarz}$, +$2=\text{\color{farbe2}rot}$, +$3=\text{\color{farbe3}grün}$, +$4=\text{\color{farbe4}blau}$. +Auf den gelb hinterlegten Zeilen, die zu Exponenten der Form $5^k$ gehören, +sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $5$ teilbar. +\label{buch:endliche-koerper:fig:binomial5}} +\end{figure} +\egroup +Die Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial2} zeigt den +Rest bei Teilung durch $2$ der Binomialkoeffizienten. +Man kann daraus ablesen, dass $\binom{n}{m}\equiv 0\mod 2$ für $n=2^k$ +und $0<m<n$. +Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial5} zeigt das Pascal-Dreieck +auch noch für $p=5$. +Hier ist auch schön die Selbstähnlichkeit des Pascal-Dreiecks erkennbar. +Ersetzt man die ``5er-Dreiecke'' durch ein volles Dreieck mit der Farbe +des kleinen Dreiecks an seiner Spitze, entsteht wieder das ursprüngliche +Pascal-Dreieck. +Dabei gehen die Zeilen aus lauter Nullen ausser an den Enden ineinander über. + +\begin{satz} +\label{buch:endliche-koerper:satz:binom} +Sei $p$ eine Primzahl, dann ist +\[ +\binom{p}{m} \equiv 0\mod p +\] +für $0<m<n$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Für den Binomialkoeffizienten gilt +\[ +\binom{p}{m} += +\frac{p\cdot (p-1)\cdot(p-2)\cdot\ldots\cdot (p-m+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot m}. +\] +Für $m<p$ kann keiner der Faktoren im Nenner $p$ sein, der Faktor $p$ +im Zähler kann also nicht weggekürzt werden, so dass der Binomialkoeffizient +durch $p$ teilbar sein muss. +\end{proof} + +\begin{satz} +\label{buch:endliche-koerper:satz:binomk} +Sei $p$ eine Primzahl, dann ist +\begin{equation} +\binom{p^k}{m} \equiv 0\mod p +\label{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p^k} +\end{equation} +für $0<m<p^k$ +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir wissen aus Satz \ref{buch:endliche-koerper:satz:binom}, dass +\begin{equation} +(a+b)^p = a^p+b^p. +\label{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p} +\end{equation} +Wir müssen zeigen, dass $(a+b)^{p^k}=a^{p^k}+b^{p^k}$ gilt. +Wir verwenden vollständige Induktion, +\eqref{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p} ist die Induktionsverankerung. +Wir nehmen jetzt im Sinne der Induktionsannahme an, dass +\eqref{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p^k} für ein bestimmtes $k$ gilt. +Dann ist +\[ +(a+b)^{p^{k+1}} += +(a+b)^{p^k\cdot p} += +\bigl((a+b)^{p^k}\bigr)^p += +(a^{p^k}+b^{p^k})^p += +a^{p^k\cdot p}+b^{p^k\cdot p} += +a^{p^{k+1}} ++ +b^{p^{k+1}}, +\] +also die Behauptung für $k+1$. +Damit ist +\eqref{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p^k} für alle $k$ bewiesen. +\end{proof} + +Die Aussage von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomk} kann man +auch im Körper $\mathbb{F}_p$ formulieren: + +\begin{satz} +\label{buch:endliche-koerper:satz:binomFp} +In $\mathbb{F}_p$ gilt +\[ +\binom{p^k}{m}=0 +\] +für beliebige $k>0$ und $0<m<p^k$. +\end{satz} + +\subsubsection{Frobenius-Automorphismus} +Die Abbildung $x\mapsto x^n$ ist weit davon entfernt, sich mit den +algebraischen Strukturen zu vertragen. +Zum Beispiel kann man nicht erwarten, dass $(a+b)^n = a^n + b^n$, +denn nach der binomischen Formel +\begin{equation} +(a+b)^n += +\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} += +a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n +\label{buch:endliche-koerper:fig:binomischeformel} +\end{equation} +gibt es zwischen den Termen an den Enden des Ausdrucks noch viele +Zwischenterme, die normalerweise nicht verschwinden. + +Ganz anders sieht die Situation aus, wenn $n=p$ ist. +Nach Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomFp} verschwinden die +Binomialkoeffizienten der Zwischenterme der Summe +\eqref{buch:endliche-koerper:fig:binomischeformel} +als Elemente von $\mathbb{F}_p$. +Daher gilt + +\begin{satz}[Frobenius-Automorphismus] +In einem Körper $\Bbbk$ der Charakteristik $p$ ist die Abbildung +$x\mapsto x^p$ ist ein Automorphismus, der den Primkörper +$\mathbb{F}_p\subset\Bbbk$ fest lässt. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir müssen uns nur noch davon überzeugen, dass $\mathbb{F}_p\subset\Bbbk$ +fest bleibt. +Nach dem kleine Satz von Fermat~\ref{buch:endliche-koerper:satz:fermat} +ist $a^p=a$ für alle $a\in\mathbb{F}_p$, der Frobenius-Automorphismus +lässt also alle Elemente von $\mathbb{F}_p$ fest. +\end{proof} + +\begin{definition} +Der Automorphismus $x\mapsto x^p$ heisst {\em Frobenius-Automorphismus}. +\end{definition} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..c49fe56 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile @@ -0,0 +1,12 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: binomial2.pdf binomial5.pdf + +binomial2.pdf: binomial2.tex + pdflatex binomial2.tex + +binomial5.pdf: binomial5.tex farben.tex + pdflatex binomial5.tex diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..92be742 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex new file mode 100644 index 0000000..77ccb57 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex @@ -0,0 +1,306 @@ +% +% binomial2.tex -- Parität der Binomialkoeffizienten +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\s{0.37} +\pgfmathparse{\s*sqrt(3)/2} +\xdef\ys{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\s/2} +\xdef\xs{\pgfmathresult} + +% +% #1 = n +% #2 = k +% +\def\dreieck#1#2{ + \fill[color=black] ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*#1}) + -- ({\xs*(-#1+2*#2-1)},{-\ys*(#1+1)}) + -- ({\xs*(-#1+2*#2+1)},{-\ys*(#1+1)}) -- cycle; +} +\def\zeile#1{ + \fill[color=red!40] + ({\xs*(-#1)},{-\ys*#1}) + -- ({\xs*(-#1-1)},{-\ys*(#1+1)}) + -- ({\xs*(#1+1)},{-\ys*(#1+1)}) + -- ({\xs*(#1)},{-\ys*#1}) -- cycle; +} + +\zeile{2} +\zeile{4} +\zeile{8} +\zeile{16} +\zeile{32} + +\dreieck{0}{0} + +\dreieck{1}{0} +\dreieck{1}{1} + +\dreieck{2}{0} +\dreieck{2}{2} + +\dreieck{3}{0} +\dreieck{3}{1} +\dreieck{3}{2} +\dreieck{3}{3} + +\dreieck{4}{0} +\dreieck{4}{4} + +\dreieck{5}{0} +\dreieck{5}{1} 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\fill[color=farbe#3] ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*#1}) + -- ({\xs*(-#1+2*#2-1)},{-\ys*(#1+1)}) + -- ({\xs*(-#1+2*#2+1)},{-\ys*(#1+1)}) -- cycle; + \node[color=white] at ( ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)-0.03}) {$\scriptstyle #3$}; +} + +\definecolor{gelb}{rgb}{1,0.8,0.2} +\def\zeile#1{ + \fill[color=gelb] + ({\xs*(-#1)},{-\ys*#1}) + -- ({\xs*(-#1-1)},{-\ys*(#1+1)}) + -- ({\xs*(#1+1)},{-\ys*(#1+1)}) + -- ({\xs*(#1)},{-\ys*#1}) -- cycle; +} + +\zeile{5} +\zeile{25} + +\dreieck{0}{0}{1} + +\dreieck{1}{0}{1} +\dreieck{1}{1}{1} + +\dreieck{2}{0}{1} +\dreieck{2}{1}{2} +\dreieck{2}{2}{1} + +\dreieck{3}{0}{1} +\dreieck{3}{1}{3} +\dreieck{3}{2}{3} +\dreieck{3}{3}{1} + +\dreieck{4}{0}{1} +\dreieck{4}{1}{4} +\dreieck{4}{2}{1} +\dreieck{4}{3}{4} +\dreieck{4}{4}{1} + +\dreieck{5}{0}{1} +\dreieck{5}{5}{1} + +\dreieck{6}{0}{1} +\dreieck{6}{1}{1} +\dreieck{6}{5}{1} +\dreieck{6}{6}{1} + +\dreieck{7}{0}{1} +\dreieck{7}{1}{2} +\dreieck{7}{2}{1} +\dreieck{7}{5}{1} +\dreieck{7}{6}{2} +\dreieck{7}{7}{1} + 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+\dreieck{22}{11}{2} +\dreieck{22}{12}{1} +\dreieck{22}{15}{4} +\dreieck{22}{16}{3} +\dreieck{22}{17}{4} +\dreieck{22}{20}{1} +\dreieck{22}{21}{2} +\dreieck{22}{22}{1} + +\dreieck{23}{0}{1} +\dreieck{23}{1}{3} +\dreieck{23}{2}{3} +\dreieck{23}{3}{1} +\dreieck{23}{5}{4} +\dreieck{23}{6}{2} +\dreieck{23}{7}{2} +\dreieck{23}{8}{4} +\dreieck{23}{10}{1} +\dreieck{23}{11}{3} +\dreieck{23}{12}{3} +\dreieck{23}{13}{1} +\dreieck{23}{15}{4} +\dreieck{23}{16}{2} +\dreieck{23}{17}{2} +\dreieck{23}{18}{4} +\dreieck{23}{20}{1} +\dreieck{23}{21}{3} +\dreieck{23}{22}{3} +\dreieck{23}{23}{1} + +\dreieck{24}{0}{1} +\dreieck{24}{1}{4} +\dreieck{24}{2}{1} +\dreieck{24}{3}{4} +\dreieck{24}{4}{1} +\dreieck{24}{5}{4} +\dreieck{24}{6}{1} +\dreieck{24}{7}{4} +\dreieck{24}{8}{1} +\dreieck{24}{9}{4} +\dreieck{24}{10}{1} +\dreieck{24}{11}{4} +\dreieck{24}{12}{1} +\dreieck{24}{13}{4} +\dreieck{24}{14}{1} +\dreieck{24}{15}{4} +\dreieck{24}{16}{1} +\dreieck{24}{17}{4} +\dreieck{24}{18}{1} +\dreieck{24}{19}{4} +\dreieck{24}{20}{1} +\dreieck{24}{21}{4} +\dreieck{24}{22}{1} +\dreieck{24}{23}{4} +\dreieck{24}{24}{1} + +\dreieck{25}{0}{1} +\dreieck{25}{25}{1} + +\dreieck{26}{0}{1} +\dreieck{26}{1}{1} +\dreieck{26}{25}{1} +\dreieck{26}{26}{1} + +\dreieck{27}{0}{1} +\dreieck{27}{1}{2} +\dreieck{27}{2}{1} +\dreieck{27}{25}{1} +\dreieck{27}{26}{2} +\dreieck{27}{27}{1} + +\dreieck{28}{0}{1} +\dreieck{28}{1}{3} +\dreieck{28}{2}{3} +\dreieck{28}{3}{1} +\dreieck{28}{25}{1} +\dreieck{28}{26}{3} +\dreieck{28}{27}{3} +\dreieck{28}{28}{1} + +\dreieck{29}{0}{1} +\dreieck{29}{1}{4} +\dreieck{29}{2}{1} +\dreieck{29}{3}{4} +\dreieck{29}{4}{1} +\dreieck{29}{25}{1} +\dreieck{29}{26}{4} +\dreieck{29}{27}{1} +\dreieck{29}{28}{4} +\dreieck{29}{29}{1} + +\dreieck{30}{0}{1} +\dreieck{30}{5}{1} +\dreieck{30}{25}{1} +\dreieck{30}{30}{1} + +\dreieck{31}{0}{1} +\dreieck{31}{1}{1} +\dreieck{31}{5}{1} +\dreieck{31}{6}{1} +\dreieck{31}{25}{1} +\dreieck{31}{26}{1} +\dreieck{31}{30}{1} +\dreieck{31}{31}{1} + +\dreieck{32}{0}{1} +\dreieck{32}{1}{2} +\dreieck{32}{2}{1} +\dreieck{32}{5}{1} +\dreieck{32}{6}{2} +\dreieck{32}{7}{1} +\dreieck{32}{25}{1} +\dreieck{32}{26}{2} +\dreieck{32}{27}{1} +\dreieck{32}{30}{1} +\dreieck{32}{31}{2} +\dreieck{32}{32}{1} + +\def\etikett#1#2#3{ + \node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) {$#3$}; +} + +\etikett{0}{-2}{n=0} +\etikett{5}{-2}{n=5} +\etikett{25}{-2}{n=25} + +\def\exponent#1#2#3{ + \node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) [rotate=60] {$#3$}; +} + +\exponent{-2}{0}{k=0} +\exponent{3}{5}{k=5} +\exponent{23}{25}{k=25} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/farben.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/farben.tex new file mode 100644 index 0000000..553bb91 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/farben.tex @@ -0,0 +1,4 @@ +\definecolor{farbe1}{rgb}{0,0,0} +\definecolor{farbe2}{rgb}{1,0,0} +\definecolor{farbe3}{rgb}{0,0.6,0} +\definecolor{farbe4}{rgb}{0,0,1} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/euinv.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/euinv.maxima new file mode 100644 index 0000000..ce5b7f2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/euinv.maxima @@ -0,0 +1,31 @@ +m: X^3 +2*X^2 + 2*X + 3; +f: 2*X^2 + 2*X + 1; + +q0: 4*X+4; +r0: 4*X+6; +expand(q0*f+r0); + +q1: 4*X+5; +r1: 6; +expand(q1*r0+r1); + +q2: 3*X+1; +r2: 0; +expand(q2*r1+r2); + +Q0: matrix([ 0, 1 ], [ 1, (7*X+7)-q0 ]); +Q1: matrix([ 0, 1 ], [ 1, (7*X+7)-q1 ]); +Q2: matrix([ 0, 1 ], [ 1, (7*X+7)-q2 ]); + +Q: expand(Q1 . Q0); +s: Q[1,1]; +t: Q[1,2]; +expand(s*m+t*f); + +Q: expand(Q2 . Q); + +s: Q[1,1]; +t: Q[1,2]; + +expand(s*m+t*f); + diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima new file mode 100644 index 0000000..f227f3a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima @@ -0,0 +1,81 @@ +/* + * invbeispiel.maxima + * + * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ + +m: X^3 + 2*X^2 + 2*X + 3; + +modulus:7; +factor(m); +modulus:false; + +M: matrix( + [ 0, 0, -3 ], + [ 1, 0, -2 ], + [ 0, 1, -2 ] +); +M: mod(M, 7); +M0: identfor(M); +M1: M; +M2: M.M1; + +a0: 1; +a1: 2; +a2: 2; + +a: a0 + a1*X + a2*X^2; + +A: a0*M0 + a1*M1 + a2*M2; +A: mod(A, 7); + +T: matrix( + [ A[1,1], A[1,2], A[1,3], 1, 0, 0 ], + [ A[2,1], A[2,2], A[2,3], 0, 1, 0 ], + [ A[3,1], A[3,2], A[3,3], 0, 0, 1 ] +); + +t: inv_mod(T[1,1], 7); +T[1]: mod(t * T[1], 7); +T[2]: mod(T[2] - T[2,1]*T[1], 7); +T[3]: mod(T[3] - T[3,1]*T[1], 7); +T; + +t: inv_mod(T[2,2], 7); +T[2]: mod(t * T[2], 7); +T[3]: mod(T[3] - T[3,2] * T[2], 7); +T; + +t: inv_mod(T[3,3], 7); +T[3]: mod(t * T[3], 7); +T; + +T[2]: mod(T[2] - T[2,3] * T[3], 7); +T[1]: mod(T[1] - T[1,3] * T[3], 7); +T; + +T[1]: mod(T[1] - T[1,2] * T[2], 7); +T; + +C: matrix( + [ T[1,4], T[1,5], T[1,6] ], + [ T[2,4], T[2,5], T[2,6] ], + [ T[3,4], T[3,5], T[3,6] ] +); + +mod(A.C, 7); + +b0: C[1,1]; +b1: C[2,1]; +b2: C[3,1]; + +Cc: mod(b0*M0 + b1*M1 + b2*M2, 7); +C - Cc; + +b: b0 + b1*X + b2*X^2; +p: expand(a*b); + +pp: 3*X^4 + X^3 + 3*X^2 + 6*X; + +divide(pp, m, X); + diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/inverse.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/inverse.maxima new file mode 100644 index 0000000..5f3682f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/inverse.maxima @@ -0,0 +1,35 @@ +/* + * inverse.maxima + * + * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +n: 5; +m: X^5 + 15*X^3 - 30*X^2 + 45; + +M: matrix( + [ 0, 0, 0, 0, -45 ], + [ 1, 0, 0, 0, 0 ], + [ 0, 1, 0, 0, 30 ], + [ 0, 0, 1, 0, -15 ], + [ 0, 0, 0, 1, 0 ] +); +M2: M.M; +M3: M.M2; +M4: M.M3; + +y: a0 + a1*X + a2*X^2 + a3*X^3 + a4*X^4; +Y: a0*identfor(M) + a1*M + a2*M2 + a3*M3 + a4*M4; + +B: invert(Y); + +b0: B[1,1]; +b1: B[2,1]; +b2: B[3,1]; +b3: B[4,1]; +b4: B[5,1]; + +Z: b0*identfor(M) + b1*M + b2*M2 + b3*M3 + b4*M4; +z: b0 + b1*X + b2*X^2 + b3*X^3 + b4*X^4; + +w: expand(y*z); +remainder(w, m, X); diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/multiplikation.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/multiplikation.maxima new file mode 100644 index 0000000..e09f848 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/multiplikation.maxima @@ -0,0 +1,38 @@ +/* + * multiplikation.maxima + * + * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ + +Malpha: matrix( +[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, -m0 ], +[ 1, 0, 0, 0, 0, 0, -m1 ], +[ 0, 1, 0, 0, 0, 0, -m2 ], +[ 0, 0, 1, 0, 0, 0, -m3 ], +[ 0, 0, 0, 1, 0, 0, -m4 ], +[ 0, 0, 0, 0, 1, 0, -m5 ], +[ 0, 0, 0, 0, 0, 1, -m6 ] +); + +Malpha2: expand(Malpha . Malpha); +Malpha3: expand(Malpha . Malpha2); +Malpha4: expand(Malpha . Malpha3); +Malpha5: expand(Malpha . Malpha4); +Malpha6: expand(Malpha . Malpha5); +Malpha7: expand(Malpha . Malpha6); +Malpha8: expand(Malpha . Malpha7); + +p: m0 * identfor(Malpha) ++ m1 * Malpha ++ m2 * Malpha2 ++ m3 * Malpha3 ++ m4 * Malpha4 ++ m5 * Malpha5 ++ m6 * Malpha6 ++ Malpha7; +expand(p); + + +m(X) := m0 + m1*X + m2*X^2 + m3*X^3 + m4*X^4 + m5*X^5 + m6*X^6 + X^7; + +invert(Malpha); diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3001.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3001.tex new file mode 100644 index 0000000..4f4d56d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3001.tex @@ -0,0 +1,102 @@ +Im Rahmen der Aufgabe, die Zehntausenderstelle der Zahl $5^{5^{5^{5^5}}}$ +zu berechnen muss Michael Penn im Video +\url{https://youtu.be/Xg24FinMiws} bei 12:52 zwei Zahlen $x$ und $y$ finden, +so dass, +\[ +5^5x ++ +2^5y += +1 +\] +ist. +Verwenden Sie die Matrixform des euklidischen Algorithmus. + +\begin{loesung} +Zunächst berechnen wir die beiden Potenzen +\[ +5^5 = 3125 +\qquad\text{und}\qquad +2^5 = 32. +\] +Damit können wir jetzt den Algorithmus durchführen. +Die Quotienten und Reste sind +\begin{align*} +a_0&=q_0\cdot b_0 + r_0& +3125 &= 97 \cdot 32 + 21& q_0&=97 & r_0&= 21\\ +a_1&=q_1\cdot b_1 + r_1& +32 &= 1\cdot 21 + 10 & q_1&= 1 & r_1&= 11\\ +a_2&=q_2\cdot b_2 + r_2& +21 &= 1\cdot 11 + 10 & q_2&= 1 & r_2&= 10\\ +a_3&=q_3\cdot b_3 + r_3& +11 &= 1\cdot 10 + 1 & q_3&= 1 & r_3&= 1\\ +a_4&=q_4\cdot b_4 + r_4& +10 &= 10\cdot 1 + 0 & q_4&=10 & r_4&= 0 +\end{align*} +Daraus kann man jetzt auch die Matrizen $Q(q_k)$ bestimmen und +ausmultiplizieren: +\begin{align*} +Q +&= +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-10 +\end{pmatrix} +\underbrace{ +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-1 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-1 +\end{pmatrix} +}_{} +\underbrace{ +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-1 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-97 +\end{pmatrix} +}_{} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-10 +\end{pmatrix} +\underbrace{ +\begin{pmatrix} +0&-1\\-1&2 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +1&-97\\-1&98 +\end{pmatrix} +}_{} +\\ +&= +\underbrace{ +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-10 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +2&-195\\-3&293 +\end{pmatrix} +}_{} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +-3&293\\32&-3125 +\end{pmatrix}. +\end{align*} +Daras kann man jetzt ablesen, dass +\[ +-3\cdot 3125 ++ +293\cdot 32 += +-9375 ++ +9376 += +1. +\] +Die gesuchten Zahlen sind also $x=-3$ und $y=293$. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3002.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3002.tex new file mode 100644 index 0000000..63200a7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3002.tex @@ -0,0 +1,9 @@ +Berechnen Sie $666^{666}$ in $\mathbb{F}_{13}$. + +\begin{loesung} +Zunächst ist die Basis der Potenz $666=3$ in $\mathbb{F}_{13}$, es +muss also nur $3^{666}$ berechnet werden. +Nach dem kleinen Satz von Fermat ist $3^{12}=1$ in $\mathbb{F}_{13}$. +Wegen $666 = 12\cdot 50+6$ folgt +$ 3^{666} = 3^6=729=1$ in $\mathbb{F}_{13}$. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex new file mode 100644 index 0000000..8a83256 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +Die Zahl $p=47$ ist eine Primzahl, der Ring +$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F}_{47}$ ist daher ein Körper. +Jeder von Null verschiedene Rest $b\in\mathbb{F}_p^*$ hat daher eine +multiplikative Inverse. +Berechnen Sie die multiplikative Inverse von $b=11\in\mathbb{F}_{47}$. + +\begin{loesung} +Der euklidische Algorithmus muss auf die Zahlen $p=47$ und $b=11$ angewendet +werden, es ergeben sich die Quotienten und Reste der folgenden Tabelle: +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline +k&a_k&b_k&q_k&r_k\\ +\hline +0& 47& 11& 4& 3\\ +1& 11& 3& 3& 2\\ +2& 3& 2& 1& 1\\ +3& 2& 1& 2& 0\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Wie erwartet ist der grösste gemeinsame Teiler +$\operatorname{ggT}(47,11)=r_2=1$. +Um die Zahlen $s,t$ zu finden, für die $sp+tb=1$ gilt, können wir die +Matrixform verwenden, wir berechnen dazu +\begin{align*} +Q += +Q(2)Q(1)Q(3)Q(4) +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-4 \end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1&-4\\-3&13\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} 0&1\\1&-2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -3&13\\4&-17 \end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} 4&-17\\ -11&47 \end{pmatrix}. +\end{align*} +Daraus kann man ablesen, dass $s=4$ und $t=-17$, tatsächlich ist +$4\cdot 47-47\cdot 11=188-187=1$. +Wir schliessen daraus, dass $-17=30\in\mathbb{F}_{47}$ die multiplikative +Inverse von $b=11$ ist. +Die Rechnung $11\cdot 30 = 330 = 7\cdot 47 + 1$ zeigt, dass dies +der Fall ist. + +Alternativ zur Matrixdarstellung kann man die Koeffizienten $s$ und $t$ +auch mit Hilfe der erweiterten Tabelle finden: +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline +k&a_k&b_k&q_k&r_k&c_k&d_k\\ +\hline + & & & & & 1& 0\\ +0& 47& 11& 4& 3& 0& 1\\ +1& 11& 3& 3& 2& 1& -4\\ +2& 3& 2& 1& 1& -3& 13\\ +3& 2& 1& 2& 0& {\color{red}4}&{\color{red}-17}\\ +4& 1& 0& & &-11& 47\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Die gesuchten Zahlen $s$ und $t$ sind rot hervorgehoben. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex new file mode 100644 index 0000000..046ac94 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex @@ -0,0 +1,234 @@ +Der Körper $\mathbb{F}_2$ ist besonders einfach, da er nur zwei Elemente +$0$ und $1$ enthält. +\begin{teilaufgaben} +\item +Bestimmen Sie die Additions- und Multiplikationstabelle für $\mathbb{F}_2$. +\item +Lösen Sie das lineare Gleichungssystem +\[ +\begin{linsys}{4} +x_1&+& x_2& & & & &=& 0\\ + & & x_2&+&x_3&+&x_4&=& 1\\ +x_1&+& x_2&+&x_3&+&x_4&=& 1\\ + & & x_2&+&x_3& & &=& 0\\ +\end{linsys} +\] +über dem Körper $\mathbb{F}_2$ mit dem Gauss-Algorithmus. +\item Bestimmen Sie die Inverse $A^{-1}\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ +der Koeffizientenmatrix $A$ des Gleichungssystems. +\item Kontrollieren Sie das Resultat durch Ausmultiplizieren des Produktes +$AA^{-1}$. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Die Additions- und Multiplikationstabellen sind +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\ds{0.5} +\def\punkt#1#2{({(#1)*\ds},{(-#2)*\ds})} +\def\tabelle{ + \foreach \x in {-0.5,0.5,2.5}{ + \draw \punkt{\x}{-0.5} -- \punkt{\x}{2.5}; + } + \foreach \y in {-0.5,0.5,2.5}{ + \draw \punkt{-0.5}{\y} -- \punkt{2.5}{\y}; + } + \node at \punkt{1}{0} {$0$}; + \node at \punkt{2}{0} {$1$}; + \node at \punkt{0}{1} {$0$}; + \node at \punkt{0}{2} {$0$}; +} +\begin{scope}[xshift=-2cm] + \tabelle + \node at (0,0) {$+$}; + \node at \punkt{1}{1} {$0$}; + \node at \punkt{2}{1} {$1$}; + \node at \punkt{1}{2} {$1$}; + \node at \punkt{2}{2} {$0$}; +\end{scope} +\begin{scope}[xshift=2cm] + \tabelle + \node at (0,0) {$\cdot$}; + \node at \punkt{1}{1} {$0$}; + \node at \punkt{2}{1} {$0$}; + \node at \punkt{1}{2} {$0$}; + \node at \punkt{2}{2} {$1$}; +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\end{center} +Betrachtet als Bitoperationen entspricht die Addition dem XOR, die +Multiplikation dem AND. +\item +Die Gauss-Tableaux sind +\begin{align*} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ + 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ + 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ +\hline +\end{tabular} +&\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ + 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ +\hline +\end{tabular} +%\\ +%& +\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ +\hline +\end{tabular} +\\ +\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ +\hline +\end{tabular} +%\\ +& +\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ +\hline +\end{tabular} +%\\ +%& +\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ +\hline +\end{tabular} +\end{align*} +In der ersten Zeile stehen die Schritt der Vorwärtsreduktion, in der +zweiten die Schritte des Rückwärtseinsetzens. +Als Lösung liest man ab +\[ +x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1 \end{pmatrix}, +\] +die Korrektheit kann man leicht durch Einsetzen überprüfen. +\item +Wir wenden erneut den Gauss-Algorithmus an: +\begin{align*} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ +\hline +\end{tabular} +&\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ +\hline +\end{tabular} +\\ +&\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ +\hline +\end{tabular} +\\ +&\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ +\hline +\end{tabular} +\\ +&\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ +\hline +\end{tabular} +\\ +&\to +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ +\hline +\end{tabular} +\end{align*} +Daraus liest man die Inverse $A^{-1}$ der Koeffizientenmatrix $A$ ab als +\[ +A^{-1} += +\begin{pmatrix} + 0 & 1 & 1 & 0 \\ + 1 & 1 & 1 & 0 \\ + 1 & 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 +\end{pmatrix} +\] +\item Wir prüfen das Resultat durch Ausmultiplizieren: +\[ +AA^{-1} += +\begin{pmatrix} + 1 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 & 1 \\ + 1 & 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 1 & 1 & 0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + 0 & 1 & 1 & 0 \\ + 1 & 1 & 1 & 0 \\ + 1 & 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 +\end{pmatrix} +\] +Dabei kann man verwenden, dass der Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $k$ des +Produktes die Anzahl der Positionen ist, wo in der Zeile $i$ von $A$ +und in der Spalte $j$ von $A^{-1}$ eine $1$ steht. +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004/matrix.m b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004/matrix.m new file mode 100644 index 0000000..42e9d9f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004/matrix.m @@ -0,0 +1,22 @@ +# +# matrix.m +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +n = 4 +N = 20; +p = 2; + +d = 0; +while d == 0 + A = round(N * rand(n,n)); + B = mod(A, p); + d = det(B); + d = mod(d, p); + d = d * B(1,1); +end +A +det(A) +B +det(B) diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex new file mode 100644 index 0000000..28f4d2c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex @@ -0,0 +1,205 @@ +Das Polynom $m(X)=X^2+X+1$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel. +Dies bedeutet, dass der Ring der Polynome $\mathbb{F}_3[X] / (m(X))$ +ein Körper ist, man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$, +wobei man sich $\alpha$ als eine Nullstelle von $m(X)$ +oder als die Matrix +\[ +\alpha = \begin{pmatrix} 0&2\\1&2\end{pmatrix} +\] +vorstellen kann. +\begin{teilaufgaben} +\item +Stellen Sie die Additions- und Multiplikationstabellen für das Rechnen +in $\mathbb{F}_3$ auf. +\item +Berechnen Sie $\alpha^{-1}$ in $\mathbb{F}_3(\alpha)$ aus der +Bedingung $m(\alpha)=0$. +\item +Verwenden Sie den euklidischen Algorithmus, um $(1+\alpha)^{-1}$ +in $\mathbb{F}_3(\alpha)$ zu bestimmen. +\item +Berechnen Sie $\alpha^3$. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Die Additions- und Multiplikationstabelle von $\mathbb{F}_3$ ist +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\ds{0.5} +\def\punkt#1#2{({(#1)*\ds},{-(#2)*\ds})} +\def\tabelle{ +\foreach \x in {-0.5,0.5,3.5}{ + \draw \punkt{\x}{-0.5} -- \punkt{\x}{3.5}; + \draw \punkt{-0.5}{\x} -- \punkt{3.5}{\x}; +} +\node at \punkt{0}{1} {$0$}; +\node at \punkt{0}{2} {$1$}; +\node at \punkt{0}{3} {$2$}; +\node at \punkt{1}{0} {$0$}; +\node at \punkt{2}{0} {$1$}; +\node at \punkt{3}{0} {$2$}; +} +\begin{scope}[xshift=-2cm] +\tabelle +\node at \punkt{0}{0} {$+$}; +\node at \punkt{1}{1} {$0$}; +\node at \punkt{1}{2} {$1$}; +\node at \punkt{1}{3} {$2$}; +\node at \punkt{2}{1} {$1$}; +\node at \punkt{2}{2} {$2$}; +\node at \punkt{2}{3} {$0$}; +\node at \punkt{3}{1} {$2$}; +\node at \punkt{3}{2} {$0$}; +\node at \punkt{3}{3} {$1$}; +\end{scope} +\begin{scope}[xshift=2cm] +\tabelle +\node at \punkt{0}{0} {$\cdot$}; +\node at \punkt{1}{1} {$0$}; +\node at \punkt{1}{2} {$0$}; +\node at \punkt{1}{3} {$0$}; +\node at \punkt{2}{1} {$0$}; +\node at \punkt{2}{2} {$1$}; +\node at \punkt{2}{3} {$2$}; +\node at \punkt{3}{1} {$0$}; +\node at \punkt{3}{2} {$2$}; +\node at \punkt{3}{3} {$1$}; +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\end{center} +\item +Wegen $m(\alpha)=\alpha^2+\alpha+1=0$ folgt $\alpha+1+\alpha^{-1}=0$ +oder $\alpha^{-1} = -\alpha - 1 = 2+2\alpha$. +Als Matrix kann man +\[ +\alpha^{-1} += +2\alpha + 2 += +\begin{pmatrix} +0&4\\ +2&4 +\end{pmatrix} ++ +\begin{pmatrix} +2&0\\0&2 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +2&4\\2&2 +\end{pmatrix} +\equiv +\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix} +\mod 3 +\] +schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt +\[ +\alpha\alpha^{-1} += +\begin{pmatrix} +0&2\\ +1&2 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +2&1\\ +2&0 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +4&0\\ +6&1 +\end{pmatrix} +\equiv +\begin{pmatrix} +1&0\\ +0&1 +\end{pmatrix} +\mod 3. +\] +\item +Für den euklidischen Algorithmus müssen wir wiederholt eine Polynomdivision +in $\mathbb{F}_3[X]$ durchführen. +Im ersten Schritt ist es +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcrcrcrcr} + \llap{$($}X^2&+&X&+&1\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X = q_1\\ +\llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& & & & & & & & \\ \cline{1-3} + & &0&+&1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& & & & & \\ +\end{array} +\] +Die nächste Division ist $(X+1) : 1$, die als Quotient $q_2=X+1$ und den +Rest $r_2=0$ hat. +Mit der Matrixform des euklidischen Algorithmus kann man jetzt auch die +Koeffizienten $s$ und $t$ bestimmen, die beide Polynome in $\mathbb{F}_3[X]$ +sind: +\begin{align*} +Q +&= +Q(q_2) +Q(q_1) += +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-q_2 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&1\\1&-q_1 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&1\\1&2X+2 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&1\\{\color{red}1}&{\color{red}2X} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +{\color{red}1}&{\color{red}2X}\\ +2X&X^2+X+1 +\end{pmatrix}. +\end{align*} +Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X$ und man kann nachrechnen, +dass +\begin{align*} +s\cdot m(X) + t\cdot (X+1) +&= +X^2+X+1 + 2X\cdot (X+1) += +X^2+X+1 + 2X^2 + 2X +\\ +&= 3X^2+3X+1\equiv 1 \mod 3. +\end{align*} +Natürlich kann man $s$ und $t$ auch mit der erweiterten Tabelle +finden: +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +k& a_k&b_k& q_k&r_k& c_k& d_k\\ +\hline + & & & & & 1& 0\\ +0&X^2+X+1&X+1& X & 1& 0& 1\\ +1& X+1& 1& X+1& 0&{\color{red} 1}&{\color{red} 2X}\\ +2& 1& 0& & 0&2X+2& 2X^2+2X\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +In allen Fällen ist also $(1+X)^{-1} = 2X$. +\item +Wegen $m(\alpha)=0$ ist $\alpha^2=-\alpha-1=2\alpha+2$ und damit +\begin{align*} +\alpha^3 +&= +\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (2\alpha +2) = +2\alpha^2 + 2\alpha += +2(\underbrace{\alpha^2 + \alpha + 1}_{\displaystyle=0} + 2) += +2\cdot 2 += +1. +\qedhere +\end{align*} +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex index 9ad0800..02429dc 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex @@ -3,7 +3,901 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % +% !TeX spellcheck = de_CH \section{Wurzeln \label{buch:section:wurzeln}} \rhead{Wurzeln} +Im Körper $\mathbb{Q}$ kann man zum Beispiel die Wurzel aus $2$ nicht +ziehen. +Das Problem haben wir in Abschnitt~\ref{buch:section:reelle-zahlen} +dadurch gelöst, dass wir $\mathbb{Q}$ zu den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ +erweitert haben. +Es ist aber auch möglich, nur die Zahl $\sqrt{2}$ hinzuzufügen, +so entsteht der Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. +Das Problem dabei ist, was denn eigentlich $\sqrt{2}$ überhaupt ist. +Solange man die reellen Zahlen nicht hat, hat man auch $\sqrt{2}$ nicht. +Das Problem wird akut bei den endlichen Körpern wie zum Beispiel +$\mathbb{F}_3$, +da man diese nicht in $\mathbb{R}$ einbetten kann, also keine +bekannte Menge von Zahlen existiert, in der wir die Wurzel $\sqrt{2}$ +finden könnte. + +Im Altertum fiel dieses Problem zunächst den Pythagoreern auf. +Wenn $\sqrt{2}$ kein Bruch ist, was ist es dann? +Im 15.~Jahrhundert stellte sich dieses Problem bei den Versuchen, die +kubische Gleichung allgemein zu lösen, erneut. +Hier war es die Wurzel $\sqrt{-1}$, die den reellen Zahlen hinzuzufügen +war. +In $\mathbb{R}$ hat $\sqrt{-1}$ sicher keinen Platz, also wo existert +es denn überhaupt? +Auch der von Descartes eingeführte, eher unglückliche Begriff +``imaginäre Zahl'' illustriert dieses Dilemma. + +Inzwischen hat man sich daran gewöhnt, dass man einfach ein neues Symbol +wählt, die algebraischen Regeln postuliert, nach denen damit zu rechnen +ist, und dann hofft oder besser beweist, dass keine Widersprüche auftreten. +Auf diese Weise kann man einem Körper $\Bbbk$ eine beliebige +Nullstelle $\alpha$ eines Polynoms $f\in\Bbbk[X]$ mit Koeffizienten +in $\Bbbk$ hinzufügen und so den Körper $\Bbbk(\alpha)$ konstruieren. +Trotzdem bleibt die Frage offen: was {\em ist} denn eigentlich $\alpha$? + +In diesem Abschnitt werden Wurzeln wie folgt konstruiert. +Zunächst wird in Abschnitt~\ref{buch:subsection:koerpererweiterungen} +gezeigt, dass man immer eine Matrix $M_\alpha$ finden kann, welche +genau die algebraischen Eigenschaften einer Nullstelle $\alpha$ eines +Polynoms hat. +Die Frage ``Was ist $\alpha$?'' erhält also die Antwort ``Eine Matrix''. +Mit diesem Bild lassen sich alle Körperoperationen realisieren, die +Inverse kann zum Beispiel als die inverse Matrix mit dem +Gauss-Algorithmus berechnet werden. +In einem zweiten Schritt zeigen wir dann, dass man die Rechnung noch +etwas vereinfachen kann, wenn man in Polynomringen arbeitet. +Schliesslich zeigen wir dann im +Abschnitt~\ref{buch:subsection:zerfaellungskoerper}, wie man +den Prozess iterieren kann und so für beliebige Polynome immer einen +Körper finden kann, der alle Nullstellen enthält. +Wir beginnen in Abschnitt~\ref{buch:subsection:irreduziblepolynome} +damit, die Polynome, die für die Konstruktion in Frage kommen, etwas +genauer zu charakterisieren. + +\subsection{Irreduzible Polynome +\label{buch:subsection:irreduziblepolynome}} +Die Zahlen, die man dem Körper hinzufügen möchte, müssen Nullstellen +eines Polynoms sein. +Wir gehen daher davon aus, dass $f\in \Bbbk[X]$ ein Polynom mit +Koeffizienten in $\Bbbk$ ist, dessen Nullstelle $\alpha$ hinzugefügt +werden sollen. +Das Ziel ist natürlich, dass diese Erweiterung vollständig beschrieben +werden kann durch das Polynom, ganz ohne Bezug zum Beispiel auf einen +numerischen Wert der Nullstelle, der ohnehin nur in $\mathbb{C}$ sinnvoll +wäre. + +Nehmen wir jetzt an, dass sich das Polynom $f$ faktorisieren lässt. +Dann gibt es Polynome $g,h\in\Bbbk[X]$ derart, dass $f=g\cdot h$. +Die Polynome $g$ und $h$ haben geringeren Grad als $f$. +Setzt man die Nullstelle $\alpha$ ein, erhält man +$0=f(\alpha)=g(\alpha)h(\alpha)$, daher muss einer der Faktoren +verschwinden, also $g(\alpha)=0$ oder $h(\alpha)=0$. +Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass +$g(\alpha)=0$. +Die Operation des Hinzufügens der Nullstelle $\alpha$ von $f$ +muss also genauso gut mit $g$ ausgeführt werden können. +Indem wir diese Überlegung auf $g$ anwenden können wir schliessen, +dass es ein Polynom $m\in\Bbbk[X]$ kleinstmöglichen Grades geben muss, +welches $\alpha$ als Nullstelle hat. +Zusätzlich kann verlangt werden, dass das Polynom normiert ist. + +\begin{definition} +Ein Polynom $f\in \Bbbk[X]$ heisst {\em irreduzibel}, wenn es sich nicht +in zwei Faktoren $g,h\in \Bbbk[X]$ mit $f=gh$ zerlegen lässt. +\index{irreduzibles Polynom}% +\end{definition} + +Für die Konstruktion des Körpers $\Bbbk(\alpha)$ muss daher ein irreduzibles +Polynom verwendet werden. + +\begin{beispiel} +Das Polynom $f(X)=X^2-2$ ist in $\mathbb{Q}[X]$, es hat die beiden +Nullstellen $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$. +Beide Nullstellen haben die exakt gleichen algebraischen Eigenschaften, +sie sind mit algebraischen Mitteln nicht zu unterscheiden. +Nur die Vergleichsrelation ermöglicht, die negative Wurzel von der +positiven zu unterscheiden. +Das Polynom kann in $\mathbb{Q}$ nicht faktorisiert werden, denn die +einzig denkbare Faktorisierung ist $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, die +Faktoren sind aber keine Polynome in $\mathbb{Q}[X]$. +Also ist $f(X) = X^2 - 2$ ein irreduzibles Polynom über $\mathbb Q$. + +Man kann das Polynom aber auch als Polynom in $\mathbb{F}_{23}[X]$ +betrachten. +Im Körper $\mathbb{F}_{23}$ kann man durch probieren zwei Nullstellen +finden: +\begin{align*} +5^2 &= 25\equiv 2\mod 23 +\\ +\text{und}\quad +18^2 &=324 \equiv 2 \mod 23. +\end{align*} +Und tatsächlich ist in $\mathbb{F}_{23}[X]$ +\[ +(X-5)(X-18) = X^2 -23X+90 +\equiv +X^2 -2 \mod 23, +\] +über $\mathbb{F}_{23}$ ist das Polynom $X^2-2$ also reduzibel. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die Zahl +\[ +\alpha = \frac{1+i\sqrt{3}}2 +\] +ist eine Nullstelle des Polynoms $f(X)=X^3-1\in\mathbb{Z}[X]$. +$\alpha$ enthält aber nur Quadratwurzeln, man würde also eigentlich +erwarten, dass $\alpha$ Nullstelle eines quadratischen Polynoms ist. +Tatsächlich ist $f(X)$ nicht irreduzibel, es ist nämlich +\[ +X^3-1 = (X-1)(X^2+X+1). +\] +Da $\alpha$ nicht Nullstelle des ersten Faktors ist, muss es Nullstelle +des Polynoms $m(X)=X^2+X+1$ sein. +Der zweite Faktor ist irreduzibel. + +Das Polynom $m(X)$ kann man aber auch als Polynom in $\mathbb{F}_7$ +ansehen. +Dann kann man aber zwei Nullstellen finden, +\[ +\begin{aligned} +X&=2&&\Rightarrow& 2^2+2+1=4+2+1&\equiv 0\mod 7 +\\ +X&=4&&\Rightarrow& 4^2+4+1=16+4+1=21&\equiv 0\mod 7. +\end{aligned} +\] +Dies führt auf die Faktorisierung +\[ +(X-2)(X-4) +\equiv +(X+5)(X+3) += +X^2+8X+15 +\equiv +X^2+X+1\mod 7. +\] +Das Polynom $X^2+X+1$ ist daher über $\mathbb{F}_7$ reduzibel und +das Polynom $X^3-1\in\mathbb{F}_7$ zerfällt daher in Linearfaktoren +$X^3-1=(X+6)(X+3)(X+5)$. +\end{beispiel} + + +\subsection{Körpererweiterungen +\label{buch:subsection:koerpererweiterungen}} +Nach den Vorbereitungen von +Abschnitt~\ref{buch:subsection:irreduziblepolynome} +können wir jetzt definieren, wie die Körpererweiterung +konstruiert werden soll. + +\subsubsection{Erweiterung mit einem irreduziblen Polynom} +Sei $m\in\Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynome über $\Bbbk$ mit dem Grad +$\deg m=n$, +wir dürfen es als normiert annehmen und schreiben es in der Form +\[ +m(X) += +m_0+m_1X+m_2X^2 + \dots m_{n-1}X^{n-1}+X^n. +\] +Wir möchten den Körper $\Bbbk$ um eine Nullstelle $\alpha$ von $m$ +erweitern. +Da es in $\Bbbk$ keine Nullstelle von $m$ gibt, konstruieren wir +$\Bbbk(\alpha)$ auf abstrakte Weise, ganz so wie das mit der imaginären +Einheit $i$ gemacht wurde. +Die Zahl $\alpha$ ist damit einfach ein neues Symbol, mit dem man +wie in der Algebra üblich rechnen kann. +Die einzige zusätzliche Eigenschaft, die von $\alpha$ verlangt wird, +ist dass $m(\alpha)=0$. +Unter diesen Bedingungen können beliebige Ausdrücke der Form +\begin{equation} +a_0 + a_1\alpha + a_2\alpha^2 + \dots a_k\alpha^k +\label{buch:endlichekoerper:eqn:ausdruecke} +\end{equation} +gebildet werden. +Aus der Bedingung $m(\alpha)=0$ folgt aber, dass +\begin{equation} +\alpha^n = -m_{n-1}\alpha^{n-1} -\dots - m_2\alpha^2 - m_1\alpha - m_0. +\label{buch:endlichekoerper:eqn:reduktion} +\end{equation} +Alle Potenzen mit Exponenten $\ge n$ in +\eqref{buch:endlichekoerper:eqn:ausdruecke} +können daher durch die rechte Seite von +\eqref{buch:endlichekoerper:eqn:reduktion} +ersetzt werden. +Als Menge ist daher +\[ +\Bbbk(\alpha) += +\{ +a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+\dots+a_{n-1}\alpha^{n-1}\;|\; a_i\in\Bbbk\} +\] +ausreichend. +Die Addition von solchen Ausdrücken und die Multiplikation mit Skalaren +aus $\Bbbk$ machen $\Bbbk(\alpha)\cong \Bbbk^n$ zu einem Vektorraum, +die Operationen können auf den Koeffizienten komponentenweise ausgeführt +werden. + +\subsubsection{Matrixrealisierung der Multiplikation mit $\alpha$} +Die schwierige Operation ist die Multiplikation mit $\alpha$. +Dazu stellen wir zusammen, wie die Multiplikation mit $\alpha$ auf den +Basisvektoren von $\Bbbk(\alpha)$ wirkt: +\[ +\alpha\colon +\Bbbk^n\to\Bbbk^n +: +\left\{ +\begin{aligned} + 1 &\mapsto \alpha \\ +\alpha &\mapsto \alpha^2 \\ +\alpha^2&\mapsto \alpha^3 \\ + &\phantom{m}\vdots\\ +\alpha^{n-2}&\mapsto \alpha^{n-1}\\ +\alpha^{n-1}&\mapsto \alpha^n = -m_0-m_1\alpha-m_2\alpha^2-\dots-m_{n-1}\alpha^{n-1} +\end{aligned} +\right. +\] +Diese lineare Abbildung hat die Matrix +\[ +M_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +0 & & & & &-m_0 \\ +1 & 0 & & & &-m_1 \\ + & 1 & 0 & & &-m_2 \\ + & & 1 &\ddots& &\vdots \\ + & & &\ddots& 0 &-m_{n-2}\\ + & & & & 1 &-m_{n-1} +\end{pmatrix}. +\] +%TODO: Was ist hier die Aussage? +Aufgrund der Konstruktion die Lineare Abbildung $m(M_\alpha)$, +die man erhält, wenn +man die Matrix $M_\alpha$ in das Polynom $m$ einsetzt, jeden Vektor +in $\Bbbk(\alpha)$ zu Null machen. +Als Matrix muss daher $m(M_\alpha)=0$ sein. +Dies kann man auch mit einem Computeralgebra-System nachprüfen. + +\begin{beispiel} +In einem früheren Beispiel haben wir gesehen, dass +$\alpha=\frac12(-1+\sqrt{3})$ +eine Nullstelle des irreduziblen Polynomes $m(X)=X^2+X+1$ ist. +Die zugehörige Matrix $M_\alpha$ ist +\[ +M_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +0&-1\\ +1&-1 +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +M_{\alpha}^2 += +\begin{pmatrix} +-1& 1\\ +-1& 0 +\end{pmatrix},\quad +M_{\alpha}^3 += +\begin{pmatrix} + 1& 0\\ + 0& 1 +\end{pmatrix}. +\] +Wir können auch verifizieren, dass +\[ +m(M_\alpha) += +M_\alpha^2+M_\alpha+I += +\begin{pmatrix} +-1& 1\\ +-1& 0 +\end{pmatrix} ++ +\begin{pmatrix} +0&-1\\ +1&-1 +\end{pmatrix} ++ +\begin{pmatrix} +1&0\\ +0&1 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&0\\ +0&0 +\end{pmatrix}. +\] +Die Matrix ist also eine mögliche Realisierung für das ``mysteriöse'' +Element $\alpha$. +Es hat alle algebraischen Eigenschaften von $\alpha$. +\end{beispiel} + +Die Menge $\Bbbk(\alpha)$ kann durch die Abbildung $\alpha\mapsto M_\alpha$ +mit der Menge aller Matrizen +\[ +\Bbbk(M_\alpha) += +\left\{ +\left. +a_0I+a_1M_\alpha+a_2M_\alpha^2+\dots+a_{n-1}M_\alpha^{n-1}\;\right|\; a_i\in\Bbbk +\right\} +\] +in eine Eins-zu-eins-Beziehung gebracht werden. +Diese Abbildung ist ein Algebrahomomorphismus. +Die Menge $\Bbbk(M_\alpha)$ ist also das Bild des +Körpers $\Bbbk(\alpha)$ in der Matrizenalgebra $M_n(\Bbbk)$. + +\subsubsection{Inverse} +Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir $\alpha^{-1}$ berechnen sollten. +Wir können aber auch die Matrizendarstellung verwenden. +Für Matrizen wissen wir selbstverständlich, wie Matrizen invertiert +werden können. +Tatsächlich kann man die Matrix $M_\alpha$ direkt invertieren: +\[ +M_\alpha^{-1} += +\frac{1}{m_0} +\begin{pmatrix} + -m_1 &m_0& & & & \\ + -m_2 & 0 &m_0& & & \\ + -m_3 & & 0 & m_0& & \\ + \vdots & & &\ddots&\ddots& \\ +-m_{n-1}& 0 & 0 & & 0 &m_0\\ + -1 & 0 & 0 & & 0 & 0 +\end{pmatrix}, +\] +wie man durch Ausmultiplizieren überprüfen kann: +\[ +\frac{1}{m_0} +\begin{pmatrix} + -m_1 &m_0& & & & \\ + -m_2 & 0 &m_0& & & \\ + -m_3 & & 0 & m_0& & \\ + \vdots & & &\ddots&\ddots& \\ +-m_{n-1}& 0 & 0 & & 0 &m_0\\ + -1 & 0 & 0 & & 0 & 0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + 0 & & & & &-m_0 \\ + 1 & 0 & & & &-m_1 \\ + & 1 & 0 & & &-m_2 \\ + & & 1 &\ddots& &\vdots \\ + & & &\ddots& 0 &-m_{n-2}\\ + & & & & 1 &-m_{n-1} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +1&0&0&\dots&0&0\\ +0&1&0&\dots&0&0\\ +0&0&1&\dots&0&0\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&0&\dots&1&0\\ +0&0&0&\dots&0&1 +\end{pmatrix} +\] +Die Invertierung in $\Bbbk(M_\alpha)$ ist damit zwar geklärt, aber +es wäre viel einfacher, wenn man die Inverse auch in $\Bbbk(\alpha)$ +bestimmen könnte. + +Die Potenzen von $M_\alpha^k$ haben in der ersten Spalte genau in +Zeile $k+1$ eine $1$, alle anderen Einträge in der ersten Spalte +sind $0$. +Die erste Spalte eines Elementes +$a(\alpha)=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2 +a_{n-1}\alpha^{n-1}$ +besteht daher genau aus den Elementen $a_i$. +Die Inverse des Elements $a$ kann daher wie folgt gefunden werden. +Zunächst wird die Matrix $a(M_\alpha)$ gebildet und invertiert. +Wir schreiben $B=a(M_\alpha)^{-1}$. +Aus den Einträgen der ersten Spalte kann man jetzt die Koeffizienten +\[ +b_0=(B)_{11}, +b_1=(B)_{21}, +b_2=(B)_{31},\dots, +b_{n-1}=(B)_{n,1} +\] +ablesen und daraus das Element +\[ +b(\alpha) = b_0+b_1\alpha+b_2\alpha^2 + \dots + b_{n-1}\alpha^{n-1} +\] +bilden. +Da $b(M_\alpha)=B$ die inverse Matrix von $a(M_\alpha)$ ist, muss $b(\alpha)$ +das Inverse von $a(\alpha)$ sein. + +\begin{beispiel} +Wir betrachten das Polynom +\[ +m(X) = X^3 + 2X^2 + 2X + 3 \in \mathbb{F}_{7}[X], +\] +es ist irreduzibel. +Sei $\alpha$ eine Nullstelle von $m$, wir suchen das inverse Element zu +\[ +a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2\in\mathbb{F}_{7}(\alpha). +\] +Die Matrix $a(M_\alpha)$ bekommt die Form +\[ +A=\begin{pmatrix} + 1& 1& 6\\ + 2& 4& 5\\ + 2& 5& 1 +\end{pmatrix}. +\] +Die Inverse kann man bestimmen, indem man den +Gauss-Algorithmus in $\mathbb{F}_{7}$ durchführt. +Die Arithmetik in $\mathbb{F}_{7}$ ist etwas ungewohnt, insbesondere +die Pivot-Division ist etwas mühsam, daher sind in +Abbildung~\ref{buch:endlichekoerper:fig:additionmultiplikation} +die Additions- und Multiplikationstabellen zusammengestellt. +\begin{figure} +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline ++&0&1&2&3&4&5&6\\ +\hline +0&0&1&2&3&4&5&6\\ +1&1&2&3&4&5&6&0\\ +2&2&3&4&5&6&0&1\\ +3&3&4&5&6&0&1&2\\ +4&4&5&6&0&1&2&3\\ +5&5&6&0&1&2&3&4\\ +6&6&0&1&2&3&4&5\\ +\hline +\end{tabular} +\qquad +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +\cdot + &0&1&2&3&4&5&6\\ +\hline +0&0&0&0&0&0&0&0\\ +1&0&1&2&3&4&5&6\\ +2&0&2&4&6&1&3&5\\ +3&0&3&6&2&5&1&4\\ +4&0&4&1&5&2&6&3\\ +5&0&5&3&1&6&4&2\\ +6&0&6&5&4&3&2&1\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +\caption{Additions- und Multiplikationstabelle für das Rechnen im +Galois-Körper $\mathbb{F}_7$. +Die multiplikative Inverse eines Elements in $a\in\mathbb{F}_7^*$ +findet man, indem man in der Multiplikationstabelle in der Zeile +$a$ die Spalte mit der $1$ sucht, diese Spalte ist mit der multiplikativen +Inversen von $a$ angeschrieben. +\label{buch:endlichekoerper:fig:additionmultiplikation}} +\end{figure} +Mit dieser Rechenhilfe kann jetzt der Gaussalgorithmus leicht durchgeführt +werden: +\begin{align*} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 6& 1& 0& 0\\ + 2& 4& 5& 0& 1& 0\\ + 2& 5& 1& 0& 0& 1\\ +\hline +\end{tabular} +&\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 6& 1& 0& 0\\ + 0& 2& 0& 5& 1& 0\\ + 0& 3& 3& 5& 0& 1\\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 6& 1& 0& 0\\ + 0& 1& 0& 6& 4& 0\\ + 0& 0& 3& 1& 2& 1\\ +\hline +\end{tabular} +\\ +&\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 6& 1& 0& 0\\ + 0& 1& 0& 6& 4& 0\\ + 0& 0& 1& 5& 3& 5\\ +\hline +\end{tabular} +\\ +&\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 0& 6& 3& 5\\ + 0& 1& 0& 6& 4& 0\\ + 0& 0& 1& 5& 3& 5\\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 0& 0& 0& 6& 5\\ + 0& 1& 0& 6& 4& 0\\ + 0& 0& 1& 5& 3& 5\\ +\hline +\end{tabular} +\end{align*} +Für die Durchführung braucht man die Inversen in $\mathbb{F}_7$ +der Pivot-Elemente, sie sind $2^{-1}=4$ und $3^{-1}=5$. +Im rechten Teil des Tableau steht jetzt die inverse Matrix +\[ +A^{-1} += +B=\begin{pmatrix} + 0& 6& 5\\ + 6& 4& 0\\ + 5& 3& 5 +\end{pmatrix}. +\] +Daraus können wir jetzt das inverse Element +\[ +b(\alpha) = 6\alpha+5\alpha^2 +\] +ablesen. +Das Produkt $b(X)\cdot a(X)$ ist +\begin{align*} +(1+2X+2X^2)(6X+5X^2) +&= +10X^4 + 22X^3 + 17X^2 + 6X +\\ +&= +3X^4+X^3+3X^2+6X +\intertext{ +Diese Polynom muss jetzt mit dem Minimalpolynom $m(X)$ reduziert +werden, wir subtrahieren dazu $3Xm(X)$ und erhalten} +&= +-5X^3-3X^2-3X +\\ +&= +2X^3+4X^2+4X +\intertext{Die vollständige Reduktion wird erreicht, indem wir nochmals +$2m(X)$ subtrahieren:} +&= +-6 \equiv 1\mod 7, +\end{align*} +das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also das Inverse Element von +$a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2$ in $\mathbb{F}_7(\alpha)$. +\label{buch:endlichekoerper:beispiel:inversemitmatrix} +\end{beispiel} + +Die Matrixrealisation von $\Bbbk(\alpha)$ führt also auf eine effiziente +Berechnungsmöglichkeit für das Inverse eines Elements von $\Bbbk(\alpha)$. + +\subsubsection{Algebraische Konstruktion} +Die Matrixdarstellung von $\alpha$ ermöglicht eine rein algebraische +und für die Rechnung besser geeignete Konstruktion. +Für jedes Polynom $f\in\Bbbk[X]$ ist $f(M_\alpha)\in M_n(\Bbbk)$. +Dies definiert einen Homomorphismus +\[ +\varphi\colon \Bbbk[X] \to M_n(\Bbbk) : f \mapsto f(M_\alpha). +\] +Wir haben früher schon gesehen, dass das Bild dieses Homomorphismus +genau die Menge $\Bbbk(M_\alpha)$ ist. +Allerdings ist $\varphi$ nicht injektiv, das Polynom $m$ wird zum +Beispiel auf $\varphi(m) = m(M_\alpha) = 0$ abgebildet. + +Der Kern von $\varphi$ besteht aus allen Polynomen $p\in\Bbbk[X]$, +für die $p(M_\alpha)=0$ gilt. +Da aber alle Matrizen $E,M_\alpha,\dots,M_\alpha^{n-1}$ linear +unabhängig sind, muss ein solches Polynom den gleichen Grad haben +we $m$, und damit ein Vielfaches von $m$ sein. +Der Kern besteht daher genau aus den Vielfachen von $m(X)$, +$\ker\varphi = m(X)\Bbbk[X]$. + +Es ist nicht a priori klar, dass der Quotient $R/I$ für ein +Ideal $I\subset R$ ein Körper ist. +Hier spielt es eine Rolle, dass das von $m$ erzeugte Ideal +maximal ist im folgenden Sinne. + +\begin{definition} +Ein Ideal $I\subset R$ heisst {\em maximal}, wenn für jedes andere Ideal +$J$ mit $I\subset J\subset R$ entweder $I=J$ oder $J=R$ gilt. +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Die Ideale $p\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}$ sind maximal genau dann, wenn +$p$ eine Primzahl ist. + +TODO: XXX Begründung +\end{beispiel} + +\begin{satz} +Der Ring $R/I$ ist genau dann ein Körper, wenn $I$ ein maximales Ideal ist. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +\end{proof} + +Ein irreduzibles Polynom $m\in\Bbbk[X]$ erzeugt ein maximales Ideal, +somit ist $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]\cong \Bbbk(M_\alpha) \cong \Bbbk(\alpha)$. + +\subsubsection{Reduktion modulo $m$} +Die algebraische Konstruktion hat gezeigt, dass die arithmetischen +Operationen im Körper $\Bbbk(\alpha)$ genau die Operationen +in $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]$ sind. +Eine Zahl in $\Bbbk(\alpha)$ wird also durch ein Polynom vom +$n-1$ dargestellt. +Addieren und Subtrahieren erfolgen Koeffizientenweise in $\Bbbk$. +Bei der Multiplikation entsteht möglicherwise ein Polynom grösseren +Grades, mit dem Polynomdivisionsalgorithmus kann der Rest bei Division +durch $m$ ermittelt werden. + +\begin{beispiel} +Das Polyonom $f=X^5+X^4+X^3+X^2+X^1+1\in\mathbb{F}_7[X]$ soll modulo +$m(X)=X^3+2X^2+2X^2+3$ reduziert werden. +Wir führen die Polynomdivision in $\mathbb{F}_7[X]$ durch, die +Multiplikationstabelle von $\mathbb{F}_7$ in +Abbildung~\ref{buch:endlichekoerper:fig:additionmultiplikation} +ist dabei wieder hilfreich. +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr} +X^5&+& X^4&+& X^3&+& X^2&+& X&+&1&:&X^3&+&2X^2&+&2X&+&3&=&X^2&+&6X&+&1\rlap{$\mathstrut=q$}\\ +\llap{$-($}X^5&+&2X^4&+&2X^3&+&3X^2\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\cline{1-7} + & &6X^4&+&6X^3&+&5X^2&+& X& & & & & & & & & & & & & & & & \\ + & &\llap{$-($}6X^4&+&5X^3&+&5X^2&+&4X\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\cline{3-9} + & & & & X^3& & &+&4X&+&1& & & & & & & & & & & & & & \\ + & & & &\llap{$-($}X^3&+&2X^2&+&2X&+&3\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & \\ +\cline{5-11} + & & & & & &5X^2&+&2X&+&5\rlap{$\mathstrut=r$}& & & & & & & & & & & & & & \\ +\end{array} +\] +Die Kontrolle +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcrcrcrcrcr} +\llap{$($}X^2&+& 6X&+& 1\rlap{$)$}&\cdot&\llap{$($} X^3&+&2X^2&+&2X&+&3\rlap{$)$}\\ +\cline{1-13} + & & & & & & X^3&+&2X^2&+&2X&+&3\\ + & & & &6X^4& + &5X^3&+&5X^2&+&4X& & \\ + & & X^5&+&2X^4& + &2X^3&+&3X^2& & & & \\ +\cline{3-13} + & & X^5&+& X^4& + & X^3&+&3X^2&+&6X&+&3\rlap{$\phantom{)}=q\cdot m$}\\ + & & & & & & & &\llap{$+($}5X^2&+&2X&+&5\rlap{$)=r$}\\ +\cline{3-13} + & & X^5&+& X^4& + & X^3&+& X^2&+& X&+&1\\ +\cline{3-13} +\end{array} +\] +zeigt $f=qm+r$ und damit die Korrektheit der Rechnung. +\end{beispiel} + +Die Identität $m(\alpha)=0$ kann aber auch wie folgt interpretiert werden. +Sei der Grad von $f$ mindestens so gross wie der von $m$, also +$l=\deg f\ge \deg m=n$. +Indem man mit $\alpha^{l-n}$ multipliziert, erhält man die Relation +\[ +\alpha^l + m_{n-1}\alpha^{l-1} + m_{n-2}\alpha^{l-2}+\dots +a_1\alpha^{l-n+1} + a_0\alpha^{l-n} = 0. +\] + +Ist $f_l$ der führende Koeffizient des Polynoms $f$, dann ist +$f-f_0mX^{n-l}$ ein Polynom vom Grad $l-1$, welches modulo $m$ +mit $f$ übereinstimmt. +Indem man dies wiederholt, kann man also die Reduktion finden, ohne +den Polynomdivisionsalgorithmus durchzuführen. +Man erhält auf diese Weise zwar den Quotienten $q$ nicht, aber den +Rest $r$ kann man trotzdem bekommen. + +\begin{beispiel} +Wir wenden den eben beschriebenen Algorithmus wieder auf das +Polynom $f=X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$ an und erhalten: +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcrcrcrcr} +X^5&+& X^4&+& X^3&+& X^2&+& X&+&1\\ +\llap{$-($}X^5&+&2X^4&+&2X^3&+&3X^2\rlap{$\mathstrut =X^2m)$}& & & & \\ +\cline{1-11} + & &6X^4&+&6X^3&+&5X^2&+& X&+&1\\ + & &\llap{$-($}6X^4&+&5X^3&+&5X^2&+&4X\rlap{$\mathstrut =6Xm)$}& & \\ +\cline{3-11} + & & & & X^3& & &+&4X&+&1\\ + & & & & \llap{$-($}X^3&+&2X^2&+&2X&+&3\rlap{$\mathstrut =m)$}\\ +\cline{5-11} + & & & & & &5X^2&+&2X&+&5\rlap{$\mathstrut =r$}\\ +\end{array} +\] +Dies ist derselbe Rest wie wir mit dem Divisionsalgorithmus +gefunden haben. +\end{beispiel} + +Diese Form des Reduktionsalgorithmus ist besonders leicht durchzuführen +in einem Körper $\mathbb{F}_2$, da dort die Addition und die Subtraktion +der Koeffizienten übereinstimmen. +Die Multiplikation mit $X$ ist nichts anders als ein Shift der +Koeffizienten. + +\subsubsection{Multiplikative Inverse} +Die schwierigste Operation in $\Bbbk(\alpha)$ ist die Division. +Wie bei der Berechnung der Inversion in einem Galois-Körper $\mathbb{F}_p$ +kann dafür der euklidische Algorithmus verwendet werden. +Sei also $f\in\Bbbk[X]$ ein Polynom vom Grad $\deg f <\deg m$, es soll +das multiplikative Inverse gefunden werden. +Da $m$ ein irreduzibles Polynom ist, müssen $f$ und $m$ teilerfremd sein. +Der euklidische Algorithmus liefert zwei Polynome $s,t\in\Bbbk[X]$ derart, +dass +\[ +sf+tm=1. +\] +Reduzieren wir modulo $m$, wird daraus $af=1$ in $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]$. +Das Polynom $a$, reduziert module $m$, ist also die multiplikative +Inverse von $f$. + +Bei der praktischen Durchführung des euklidischen Algorithmus ist der +letzte Rest $r_{n-1}$ oft nicht $1$ sondern ein anderes Element von +$\mathbb{F}_p^*$. +Die Linearkombination von $f$ und $m$ mit den berechneten Faktoren +$s$ und $t$ ist daher auch nicht $1$, sondern +\[ +sf+tm=r_{n-1}. +\] +Da aber alle Elemente in $\mathbb{F}_p^*$ invertierbar sind, kann man +durch $r_{n-1}$ dividieren, was +\[ +r_{n-1}^{-1}sf+r_{n-1}^{-1}tm=1 +\] +ergibt. +Also ist $r_{n-1}^{-1}s$ die gesuchte Inverse in $\mathbb{F}_p(\alpha)$, +dies passiert auch im folgenden Beispiel. + +\begin{beispiel} +Auf +Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel:inversemitmatrix} +haben wir die multiplikative Inverse von +$f=2X^2+2X+1\in\mathbb{F}_7[X]/m\mathbb{F}_7[X]$ +mit $m = X^3 + 2X^2 + 2X + 3$ +mit Hilfe von Matrizen berechnet, hier soll sie jetzt nochmals +mit dem euklidischen Algorithmus berechnet werden. + +Zunächst müssen wir den euklidischen Algorithmus für die beiden Polynome +$f$ und $m$ durchführen. +Der Quotient $m:f$ ist: +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcr} + X^3&+&2X^2&+&2X&+&3&:&2X^2&+&2X&+&1&=&4X&+&4\rlap{$\mathstrut=q_0$}\\ +\llap{$-($}X^3&+& X^2&+&4X\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5} + & & X^2&+&5X&+&3& & & & & & & & & & \\ + &&\llap{$-(\phantom{2}$}X^2&+& X&+&4\rlap{$)$}& & & & & & & & & & \\ \cline{3-7} + & & & &4X&+&6\rlap{$\mathstrut=r_0$}& & & & & & & & & & +\end{array} +\] +Jetzt muss der Quotient $f:r_0$ berechnet werden: +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcr} + 2X^2&+&2X&+&1&:&4X&+&6&=&4X&+&5\rlap{$\mathstrut=q_1$}\\ +\llap{$-($}2X^2&+&3X\rlap{$)$}& & & & & & & & \\ \cline{1-3} + & &6X&+&1& & & & & & \\ + & &\llap{$-($}6X&+&2\rlap{$)$}& & & & & & \\ \cline{3-5} + & & & &6\rlap{$\mathstrut=r_1$}& & & & & & & & +\end{array} +\] +Da der Rest $r_1\in\mathbb{F}_7^*$ liegt, gibt die nächste Division +natürlich den Rest $0$ und der letzte nicht verschwindende Rest ist +$r_{1}=6$: +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcrcrcr} +4X&+&6&:&6&=&3X&+&1\rlap{$\mathstrut=q_2$} \\ +\llap{$-($}4X\rlap{$)$}& & & & & & & & \\ \cline{1-1} + 0&+&6& & & & & & \\ + & &\llap{$-($}6\rlap{$)$}& & & & & &\\ \cline{3-3} + & &0\rlap{$\mathstrut=r_2$}& & & & & & +\end{array} +\] +Damit ist der euklidische Algorithmus abgeschlossen. + +Durch Ausmultiplizieren der Matrizen $Q(-q_i)$ können wir jetzt auch die +Faktoren $s$ und $t$ finden. +\begin{align*} +Q=\begin{pmatrix} +s&t\\ +*&* +\end{pmatrix} +&= Q(q_2)Q(q_1)Q(q_0) += +\begin{pmatrix}0&1\\1&-q_2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\1&-q_1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\1&-q_0\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +0&1\\ +1&4X+6 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&1\\ +1&3X+2 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&1\\ +1&3X+3 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +0&1\\ +1&4X+6 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + 1&3X+3\\ +3X+2&2X^2 + X +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +3X+2 &2X^2+X\\ +1+(4X+6)(3X+2) &3X+3 + (4X+6)(2X^2+X) +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} + 3X+2 & 2X^2 +X\\ +5X^2+5X+6 & X^3+2X^2+2X+6 +\end{pmatrix} +\end{align*} +Daraus liest man +\[ +s += +2X^2+X +\qquad\text{und}\qquad +t += +3X+2 +\] +ab. +Wir überprüfen, ob die Koeffizienten der ersten Zeile tatsächlich $m$ und $f$ +zu $r_1=6$ kombinieren. +Es ist +\begin{align*} +(3X+2)\cdot m + (2X^2+X)\cdot f +&= +(3X+2) +(X^3+3X^2+X+2) ++ +(2X^2+X) +(2X^2+2X+1) += +6=r_1 +\end{align*} +Die multiplikative Inverse ist daher +$ +r_1^{-1}(2X^2 + X) += +6^{-1} +(2X^2 + X) += +6 +(2X^2 + X) += +5X^2+6X$, +was mit dem Beispiel von +Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel:inversemitmatrix} +übereinstimmt. +\end{beispiel} + +Besonders einfach ist die Rechung für $\Bbbk=\mathbb{F}_2$. +Dieser Spezialfall ist für die praktische Anwendung in der Kryptographie +von besonderer Bedeutung, daher wird er im +In Kapitel~\ref{buch:chapter:kryptographie} genauer untersucht. + +\subsection{Zerfällungskörper +\label{buch:subsection:zerfaellungskoerper}} +XXX TODO + + + |