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path: root/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-05-03 20:53:09 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-05-03 20:53:09 +0200
commit23181dd294a16f4b30ce0531b23a4d0fc1abeca0 (patch)
tree2634312405f334438f0375f2f54908146ccaa279 /buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
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SeminarMatrizen-23181dd294a16f4b30ce0531b23a4d0fc1abeca0.zip
new problem
Diffstat (limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex')
-rw-r--r--buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex68
1 files changed, 66 insertions, 2 deletions
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
index 63858b7..9152ede 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -20,7 +20,7 @@ Das charakteristische Polynom der Matrix ist
\]
Es hat die doppelten Nullstellen
\[
-\lambda
+\lambda_\pm
=
2\pm \sqrt{4-13}
=
@@ -28,6 +28,70 @@ Es hat die doppelten Nullstellen
=
2\pm 3i.
\]
-Zur Bestimmung
+Zur Bestimmung der Basis muss man jetzt zunächst den Kern von
+$A_+=A-\lambda_+I$ bestimmen, zum Beispiel mit Hilfe des Gauss-Algorithmus,
+man findet
+\[
+b_1
+=
+\begin{pmatrix}
+1+i\\
+2+2i\\
+i\\
+1
+\end{pmatrix}
+\]
+Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der
+$b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet.
+Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda b_2=b_1$ findet man
+\[
+b_2
+=
+\begin{pmatrix}
+2-i\\3\\2\\0
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{und damit weiter}\qquad
+\overline{b}_1
+=
+\begin{pmatrix}
+1-i\\
+2-2i\\
+-i\\
+1
+\end{pmatrix},\quad
+\overline{b}_2
+=
+\begin{pmatrix}
+2+i\\3\\2\\0
+\end{pmatrix}.
+\]
+Als Basis für die reelle Normalform von $A$ kann man jetzt die Vektoren
+\begin{align*}
+c_1
+&=
+b_1+\overline{b}_1 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\\2\end{pmatrix},&
+d_1
+&=
+\frac{1}{i}(b_1-\overline{b}_1) = \begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix},&
+c_2
+&=
+b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},&
+d_2
+&=
+\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}.
+\end{align*}
+verwenden.
+In dieser Basis hat $A$ die Matrix
+\[
+A'
+=
+\begin{pmatrix}
+ 2& 3& 1& 0\\
+-3& 2& 0& 1\\
+ 0& 0& 2& 3\\
+ 0& 0&-3& 2
+\end{pmatrix},
+\]
+wie man einfach nachrechnen kann.
\end{loesung}