tangentialvektoren von o(n), sl_n

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+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -48,6 +48,7 @@ schreibt man $l_{g}$ für  die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
 kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$
 schreiben.
 
+\subsubsection{Kartenwechsel}
 Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$
 und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung
 \[
@@ -93,6 +94,7 @@ Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
 Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen
 \begin{align*}
 G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2
+\\
 G\to G &: g \mapsto g^{-1}
 \end{align*}
 differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.
@@ -106,8 +108,79 @@ Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse
 Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen
 zu entwickeln.
 
+\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung}
+Die Matrizengruppen sind alle in der
+$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+enthalten.
+Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in
+$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
+Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der
+Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch
+\[
+\frac{d}{dt}
+\gamma(t)
+=
+\begin{pmatrix}
+\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\
+\vdots              &\ddots&\vdots              \\
+\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t)
+\end{pmatrix}
+\]
+gegeben.
+
+Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten
+einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen.
+Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt,
+transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in 
+Tangentialvektoren im Punkt $g$.
+
+\begin{aufgabe}
+Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit
+$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$
+für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert
+durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$?
+\end{aufgabe}
+
+Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt}\gamma(t)
+=
+\gamma(t)\cdot A
+\label{buch:gruppen:eqn:expdgl}
+\end{equation}
+erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor
+in $e=I$ ist.
+
+Die Matrixexponentialfunktion
+\[
+e^{At}
+=
+1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots
+\]
+liefert eine Einparametergruppe
+$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} e^{At}
+=
+\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}
+=
+\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h}
+=
+e^{At} A.
+\]
+Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
+
 \subsection{Drehungen in der Ebene
 \label{buch:gruppen:drehungen2d}}
+Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
+des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
+als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
+Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
+beschrieben werden kann.
+
+\subsubsection{Die Untergruppe
+$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
 Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch
 Matrizen der Form
 \[
@@ -142,6 +215,21 @@ Funktion ist.
 $D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf
 die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab.
 
+Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge
+$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar,
+die Umkehrung kann als Karte verwendet werden.
+Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und
+$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$
+in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die 
+$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt.
+Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$
+mit $k\in \mathbb{Z}$.
+In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein.
+Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen
+von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung.
+Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen.
+
+\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$}
 Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen
 Ebene $\mathbb{C}$ erhalten.
 Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine
@@ -210,16 +298,60 @@ in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$.
 Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis
 in der komplexen Ebene identifiziert werden.
 
+\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$}
+Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe
+ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$
+mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden.
+Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist
+\begin{align*}
+\frac{d}{dt} \gamma(t)
+&=
+\frac{d}{d\alpha}
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
+\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\frac{d\alpha}{dt}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+-\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\
+ \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\dot{\alpha}(t)
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
+\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&-1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\dot{\alpha}(t)
+=
+D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t).
+\end{align*}
+Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$
+entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung
+mit $\dot{\alpha}(t)$.
+
 %
 % Isometrien von R^n
 %
 \subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$
 \label{buch:gruppen:isometrien}}
-Lineare Abbildungen der Ebene $\mathbb{R}^n$ mit dem üblichen Skalarprodukt
-können durch $n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
-Die Matrizen, die das Skalarprodukt erhalten, bilden eine Gruppe,
-die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
-Eine Matrix $A\in M_{2}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt nicht, wenn
+
+\subsubsection{Skalarprodukt}
+Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch
+$n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
+Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten,
+bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
+Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn
 für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt
 $\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$.
 Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden:
@@ -271,6 +403,60 @@ n^2 - \frac{n(n+1)}{2}
 \]
 Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional.
 
+\subsubsection{Tangentialvektoren}
+Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
+von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$ 
+kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein.
+Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage
+kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$
+von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$.
+Orthogonal bedeutet 
+\[
+\begin{aligned}
+&&
+0
+&=
+\frac{d}{dt}I
+=
+\frac{d}{dt}
+(\gamma(t)^t\gamma(t))
+=
+\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t))
++
+\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t))
+\\
+&\Rightarrow&
+0
+&=
+\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)}
+=
+\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0)
+=
+A^t+A=0
+\\
+&\Rightarrow&
+A^t&=-A
+\end{aligned}
+\]
+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau
+die antisymmetrischen Matrizen.
+
+Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix
+$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d}
+gezeigt wurde.
+
+Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen
+$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$
+antisymmetrisch.
+Für $n=2$ ist $A_{12}=J$.
+Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des
+$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$.
+
+Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$
+haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist.
+Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch,
+zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$.
+
 \subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$}
 Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die
 die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen.
@@ -298,31 +484,40 @@ Der Drehwinkel ist der dritte Parameter.
 
 Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden
 aus den Matrizen
-\[
+\begin{align*}
 D_{x,\alpha}
-=
+&=
 \begin{pmatrix}
 1&0&0\\
 0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\
 0&\sin\alpha& \cos\alpha
 \end{pmatrix},
-\qquad
+&
 D_{y,\beta}
-=
+&=
 \begin{pmatrix}
  \cos\beta&0&\sin\beta\\
       0    &1&     0    \\
 -\sin\beta&0&\cos\beta
 \end{pmatrix},
-\qquad
+&
 D_{z,\gamma}
-=
+&=
 \begin{pmatrix}
 \cos\gamma&-\sin\gamma&0\\
 \sin\gamma& \cos\gamma&0\\
     0     &     0     &1
-\end{pmatrix},
-\]
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+e^{A_{23}t}
+&
+&=
+e^{-A_{13}t}
+&
+&=
+e^{A_{21}t}
+\end{align*}
 die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$
 beschreiben.
 Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die
@@ -330,6 +525,254 @@ drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$
 angesehen werden.
 
 %
+% Spezielle lineare Gruppe
+%
+\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und
+die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+\label{buch:gruppen:sl}}
+Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die
+Orientierung, also auch das Volumen.
+Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel
+nicht notwendigerweise erhalten.
+Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten,
+haben die Determinante $\det A=1$.
+Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit
+Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe.
+
+\begin{definition}
+Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe
+\[
+\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{R})
+\;|\;
+\det (A) = 1
+\}
+\]
+sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}.
+\end{definition}
+
+Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+bestimmen.
+Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+mit $A(0)=I$.
+Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} \det A(t) = 0
+\quad\text{an der Stelle $t=0$.}
+\]
+Für $n=2$ ist
+\begin{align*}
+A(t)
+&=
+\begin{pmatrix}
+a(t)&b(t)\\
+c(t)&d(t)
+\end{pmatrix}
+\in
+\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{dt}
+\det A(t)\bigg|_{t=0}
+&=
+\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0)
+-
+\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0)
+\\
+&&&&
+&=
+\dot{a}(0) + \dot{d}(0)
+\\
+&&&&
+&=
+\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}.
+\end{align*}
+Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige
+$n\times n$-Matrizen.
+
+\begin{satz}
+Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$
+mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist
+\[
+\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
+\]
+Die Ableitung nach $t$ ist
+\[
+\frac{d}{dt} \det A(t)
+=
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
++
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t).
+\]
+An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$
+eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten
+Summe ist daher der erste.
+In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$
+jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \det A(t)
+=
+\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t).
++
+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t)
+=
+\dot{a}_{11}(0) 
++
+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t).
+\label{buch:gruppen:eqn:detspur}
+\end{equation}
+Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit
+vollständiger Induktion verwendet werden.
+
+Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$
+genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$
+ist.
+Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix
+$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante
+\[
+\frac{d}{dt}\tilde{A}(0)
+=
+\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0)
+\]
+ist, folgt jetzt mit
+\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass
+\[
+\frac{d}{dt}A(0)
+=
+\dot{a}_{11}(0)
++
+\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0}
+=
+\dot{a}_{11}(0)
++
+\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0)
+=
+\operatorname{Spur}\dot{A}(0).
+\]
+Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$.
+\end{proof}
+
+\begin{beispiel}
+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind 
+die spurlosen Matrizen
+\[
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{Spur}A=a+d=0
+\quad\Rightarrow\quad
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.
+\]
+Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
+Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden:
+\begin{align*}
+A
+&=
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{At}
+&=
+\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}
+\\
+B
+&=
+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{Bt}
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos t & -\sin t\\
+\sin t &  \cos t
+\end{pmatrix}
+\\
+C
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{Ct}
+&=
+I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots
+\\
+&&&&
+&=
+I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)
++
+C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr)
+\\
+&&&&
+&=
+I\cosh t + C \sinh t
+=
+\begin{pmatrix}
+\cosh t & \sinh t\\
+\sinh t & \cosh t
+\end{pmatrix},
+\end{align*}
+wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde,
+dass $C^2=I$.
+
+Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und
+Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt.
+Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und
+damit erst recht den Flächeninhalt erhalten.
+Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als
+Eigenvektoren:
+\begin{align*}
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+&\mapsto
+e^{Ct}
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+(\cosh t +\sinh t)
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+\biggl(
+\frac{e^t+e^{-t}}2
++
+\frac{e^t-e^{-t}}2
+\biggr)
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+e^t
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+\\
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+&\mapsto
+e^{Ct}
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+(\cosh t -\sinh t)
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+\biggl(
+\frac{e^t+e^{-t}}2
+-
+\frac{e^t-e^{-t}}2
+\biggr)
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+e^{-t}
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und
+die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$.
+Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation,
+auch diese Matrizen sind flächenerhaltend.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf}
+\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen
+für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
+linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
+\label{buch:gruppen:fig:sl2}}
+\end{figure}%
+\end{beispiel}
+
+%
 % Die Gruppe SU(2)
 %
 \subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$