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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
index 3b1abc1..aa5469f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
@@ -1,47 +1,47 @@
-%
-% chapter.tex
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\chapter{Matrizengruppen
-\label{buch:chapter:matrizengruppen}}
-\lhead{Matrizengruppen}
-\rhead{}
-Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder
-physikalischen Systemen zu beschreiben.
-Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu
-auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer
-phyisikalischen Grösse über die Zeit.
-Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können,
-die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen.
-Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt
-werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht, 
-sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen
-zu sprechen.
-
-Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe,
-die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus
-eine sogenannte Lie-Gruppe.
-Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten
-Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen
-Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.
-Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,
-so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften
-der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.
-Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.
-Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten 
-Zusammenhangs darzustellen.
-
-\input{chapters/60-gruppen/symmetrien.tex}
-\input{chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex}
-\input{chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex}
-%\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex}
-
-\section*{Übungsaufgaben}
-\rhead{Übungsaufgaben}
-\aufgabetoplevel{chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben}
-\begin{uebungsaufgaben}
-\uebungsaufgabe{6002}
-\uebungsaufgabe{6001}
-\end{uebungsaufgaben}
-
+%

+% chapter.tex

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+\chapter{Matrizengruppen

+\label{buch:chapter:matrizengruppen}}

+\lhead{Matrizengruppen}

+\rhead{}

+Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder

+physikalischen Systemen zu beschreiben.

+Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu

+auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer

+phyisikalischen Grösse über die Zeit.

+Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können,

+die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen.

+Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt

+werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht, 

+sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen

+zu sprechen.

+

+Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe,

+die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus

+eine sogenannte Lie-Gruppe.

+Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten

+Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen

+Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.

+Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,

+so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften

+der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.

+Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.

+Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten 

+Zusammenhangs darzustellen.

+

+\input{chapters/60-gruppen/symmetrien.tex}

+\input{chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex}

+\input{chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex}

+%\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex}

+

+\section*{Übungsaufgaben}

+\rhead{Übungsaufgaben}

+\aufgabetoplevel{chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben}

+\begin{uebungsaufgaben}

+\uebungsaufgabe{6002}

+\uebungsaufgabe{6001}

+\end{uebungsaufgaben}

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile
index 3ed39e5..8cd824f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile
@@ -1,25 +1,25 @@
-#
-# Makefile
-#
-# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-#
-all:	phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf scherungen.pdf
-
-phasenraum.pdf:	phasenraum.tex
-	pdflatex phasenraum.tex
-
-kartenkreis.pdf:	kartenkreis.tex
-	pdflatex kartenkreis.tex
-
-torus.png:	torus.pov
-	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorus.png torus.pov
-
-karten.pdf:	karten.tex torus.png
-	pdflatex karten.tex
-
-sl2.pdf:	sl2.tex 
-	pdflatex sl2.tex
-
-scherungen.pdf:	scherungen.tex 
-	pdflatex scherungen.tex
-
+#

+# Makefile

+#

+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+#

+all:	phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf scherungen.pdf

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+phasenraum.pdf:	phasenraum.tex

+	pdflatex phasenraum.tex

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+kartenkreis.pdf:	kartenkreis.tex

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+	pdflatex sl2.tex

+

+scherungen.pdf:	scherungen.tex 

+	pdflatex scherungen.tex

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
index c8eb4a3..67c8d70 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
@@ -1,112 +1,112 @@
-%
-% karten.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
-
-\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{torus.png}};
-
-\def\s{3}
-
-\node at (-3.5,-0.4) {$U_\alpha$};
-\node at (2.0,-0.4) {$U_\beta$};
-
-\draw[->] (-2,-2.2) -- (-3,-4.3);
-\node at (-2.5,-3.25) [left] {$\varphi_\alpha$};
-
-\draw[->] (1.4,-1.7) -- (3,-4.3);
-\node at (2.5,-3.25) [right] {$\varphi_\beta$};
-
-\begin{scope}[xshift=-4.5cm,yshift=-8cm]
-	\begin{scope}
-		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
-		\begin{scope}[xshift=1.8cm,yshift=0.6cm,rotate=30]
-			\fill[color=gray!20]
-				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
-			\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
-				\draw[color=darkgreen]
-					({\x*\s},{-0.2*\s})
-					--
-					({\x*\s},{1.2*\s});
-			}
-			\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
-				\draw[color=orange]
-					(0,{\y*\s})
-					--
-					({1*\s},{\y*\s});
-			}
-		\end{scope}
-	\end{scope}
-
-	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
-		\draw[color=blue,line width=1.4pt]
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-	}
-	\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
-		\draw[color=red,line width=1.4pt]
-			(0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});
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-
-	\draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}];
-	\draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}];
-
-	\node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$};
-
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=-8cm]
-	\begin{scope}
-		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
-		% x = - [ (sqrt(3)/2)*0.6+(1/2)*0.2 ] = -0.6196
-		% y = - [ (-1/2)*0.6 + (sqrt(3)/2)*0.2 ] = 
-		\begin{scope}[xshift=-1.8588cm,yshift=0.3804cm,rotate=-30]
-			\fill[color=gray!20]
-				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
-				\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
-					\draw[color=blue]
-						({\x*\s},{-0.2*\s})
-						--
-						({\x*\s},{1.2*\s});
-				}
-				\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
-					\draw[color=red]
-						(0,{\y*\s})
-						--
-						({1*\s},{\y*\s});
-				}
-		\end{scope}
-	\end{scope}
-
-	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
-		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
-			({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s});
-	}
-	\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
-		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});
-	}
-	\draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}];
-	\draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}];
-	\node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$};
-\end{scope}
-
-\draw[<-,color=white,opacity=0.8,line width=5pt] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
-\draw[<-,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
-
-\node at (0,-5.9)
-	{$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$};
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%

+% karten.tex -- template for standalon tikz images

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}

+

+\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{torus.png}};

+

+\def\s{3}

+

+\node at (-3.5,-0.4) {$U_\alpha$};

+\node at (2.0,-0.4) {$U_\beta$};

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+\draw[->] (-2,-2.2) -- (-3,-4.3);

+\node at (-2.5,-3.25) [left] {$\varphi_\alpha$};

+

+\draw[->] (1.4,-1.7) -- (3,-4.3);

+\node at (2.5,-3.25) [right] {$\varphi_\beta$};

+

+\begin{scope}[xshift=-4.5cm,yshift=-8cm]

+	\begin{scope}

+		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});

+		\begin{scope}[xshift=1.8cm,yshift=0.6cm,rotate=30]

+			\fill[color=gray!20]

+				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});

+			\foreach \x in {0,0.2,...,1}{

+				\draw[color=darkgreen]

+					({\x*\s},{-0.2*\s})

+					--

+					({\x*\s},{1.2*\s});

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+			\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{

+				\draw[color=orange]

+					(0,{\y*\s})

+					--

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+		\end{scope}

+	\end{scope}

+

+	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{

+		\draw[color=blue,line width=1.4pt]

+			({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s});

+	}

+	\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{

+		\draw[color=red,line width=1.4pt]

+			(0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});

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+

+	\draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}];

+	\draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}];

+

+	\node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$};

+

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=-8cm]

+	\begin{scope}

+		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});

+		% x = - [ (sqrt(3)/2)*0.6+(1/2)*0.2 ] = -0.6196

+		% y = - [ (-1/2)*0.6 + (sqrt(3)/2)*0.2 ] = 

+		\begin{scope}[xshift=-1.8588cm,yshift=0.3804cm,rotate=-30]

+			\fill[color=gray!20]

+				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});

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+					\draw[color=blue]

+						({\x*\s},{-0.2*\s})

+						--

+						({\x*\s},{1.2*\s});

+				}

+				\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{

+					\draw[color=red]

+						(0,{\y*\s})

+						--

+						({1*\s},{\y*\s});

+				}

+		\end{scope}

+	\end{scope}

+

+	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{

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+\end{scope}

+

+\draw[<-,color=white,opacity=0.8,line width=5pt] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);

+\draw[<-,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);

+

+\node at (0,-5.9)

+	{$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$};

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
index 4f19937..ff6331e 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
@@ -1,189 +1,189 @@
-%
-% kartenkreis.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{3}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
-
-\fill[color=red!20] (0,-1) rectangle (1.5,1);
-\fill[color=blue!20] (-1.5,-1) rectangle (0,1);
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-\fill[color=white] (0,0) circle[radius=1];
-
-\fill[color=gray!20]
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-	-- cycle;
-\fill[color=gray!20]
-	(0,1.5) -- (0.02,1.6) -- (0.5,1.8) -- (0.98,1.6) -- (1,1.5)
-	-- cycle;
-\fill[color=gray!20]
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-\fill[color=gray!20]
-	(0,1.5) -- (-0.02,1.6) -- (-0.5,1.8) -- (-0.98,1.6) -- (-1,1.5)
-	-- cycle;
-
-\fill[color=gray!20]
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-\fill[color=gray!20]
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-	-- cycle;
-\fill[color=gray!20]
-	(1.5,0) -- (1.6,-0.02) -- (1.8,-0.5) -- (1.6,-0.98) -- (1.5,-1)
-	-- cycle;
-\fill[color=gray!20]
-	(-1.5,0) -- (-1.6,-0.02) -- (-1.8,-0.5) -- (-1.6,-0.98) -- (-1.5,-1)
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-
-\draw[->] (0.5,-1.8) arc (-180:-90:0.1) arc (-90:0:1.3) arc (0:90:0.1);
-\draw[->] (1.8,0.5) arc (-90:0:0.1) arc (0:90:1.3) arc (90:180:0.1);
-\draw[->] (-0.5,1.8) arc (0:90:0.1) arc (90:180:1.3) arc (180:270:0.1);
-\draw[->] (-1.8,-0.5) arc (90:180:0.1) arc (180:270:1.3) arc (270:360:0.1);
-
-\node at (1.01,1.32)
-	[right] {$\varphi_3\circ \varphi_1^{-1}(y)=\sqrt{1-y^2}$};
-\node at (1.6,1.6) {$\varphi_{31}$};
-
-\node at (1.01,-1.28)
-	[right] {$\varphi_1\circ \varphi_4^{-1}(x)=-\sqrt{1-x^2}$};
-\node at (1.6,-1.6) {$\varphi_{14}$};
-
-\node at (-1.24,1.32)
-	[left] {$\varphi_2\circ\varphi_3^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$};
-\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$};
-
-\node at (-1.18,-1.28)
-	[left] {$\varphi_4\circ\varphi_2^{-1}(y)=-\sqrt{1-y^2}$};
-\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$};
-
-
-\foreach \y in {0.1,0.3,...,0.9}{
-	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (1.5,\y);
-	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (1.5,-\y);
-	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({-sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (-1.5,\y);
-	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({-sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (-1.5,-\y);
-}
-\foreach \x in {0.1,0.3,...,0.9}{
-	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},1.5);
-	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({-\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},1.5);
-	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},-1.5);
-	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({-\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},-1.5);
-}
-
-%\draw[color=gray!50,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
-\draw[color=yellow!30,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
-\node[color=yellow] at ({1/sqrt(2)},{1/sqrt(2)}) [above right] {$S^1$};
-
-\def\r{1.02}
-
-\begin{scope}
-	\clip (0,-1.1) rectangle (1.1,1.1);
-	\draw[color=red,line width=1.4pt] (-89:\r) arc (-89:89:\r);
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-	\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\begin{scope}
-	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (0,1.1);
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-	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];
-	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\xdef\r{0.98}
-
-\begin{scope} 
-	\clip (-1.1,0) rectangle (1.1,1.1);
-	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1:\r) arc (1:179:\r);
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-\end{scope}
-
-\begin{scope} 
-	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (1.1,0);
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-	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=1.5cm]
-	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$\mathbb{R}$}];
-	\begin{scope}
-		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
-		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);
-		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-1,0)
-			circle[radius=0.02];
-		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1,0)
-			circle[radius=0.02];
-	\end{scope}
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=-1.5cm]
-	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={below:$\mathbb{R}$}];
-	\begin{scope}
-		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
-		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);
-		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-1,0) circle[radius=0.02];
-		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (1,0) circle[radius=0.02];
-	\end{scope}
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=1.5cm]
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$\mathbb{R}$}];
-	\begin{scope}
-		\clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);
-		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);
-		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];
-		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
-	\end{scope}
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=-1.5cm]
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={left:$\mathbb{R}$}];
-	\begin{scope}
-		\clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);
-		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);
-		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];
-		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
-	\end{scope}
-\end{scope}
-
-\node[color=red] at (23:1) [right] {$U_{x>0}$};
-\node[color=red] at (1.25,0) [right] {$\varphi_1$};
-
-\node[color=blue] at (157:1) [left] {$U_{x<0}$};
-\node[color=blue] at (-1.25,0) [left] {$\varphi_2$};
-
-\node[color=darkgreen] at (115:1) [below right] {$U_{y>0}$};
-\node[color=darkgreen] at (0,1.25) [above] {$\varphi_3$};
-
-\node[color=orange] at (-115:1) [above right] {$U_{y<0}$};
-\node[color=orange] at (0,-1.25) [below] {$\varphi_4$};
-
-\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$y$}];
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%

+% kartenkreis.tex -- template for standalon tikz images

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{3}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}

+

+\fill[color=red!20] (0,-1) rectangle (1.5,1);

+\fill[color=blue!20] (-1.5,-1) rectangle (0,1);

+\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5] (-1,0) rectangle (1,1.5);

+\fill[color=orange!40,opacity=0.5] (-1,-1.5) rectangle (1,0);

+\fill[color=white] (0,0) circle[radius=1];

+

+\fill[color=gray!20]

+	(0,-1.5) -- (0.02,-1.6) -- (0.5,-1.8) -- (0.98,-1.6) -- (1,-1.5)

+	-- cycle;

+\fill[color=gray!20]

+	(0,1.5) -- (0.02,1.6) -- (0.5,1.8) -- (0.98,1.6) -- (1,1.5)

+	-- cycle;

+\fill[color=gray!20]

+	(0,-1.5) -- (-0.02,-1.6) -- (-0.5,-1.8) -- (-0.98,-1.6) -- (-1,-1.5)

+	-- cycle;

+\fill[color=gray!20]

+	(0,1.5) -- (-0.02,1.6) -- (-0.5,1.8) -- (-0.98,1.6) -- (-1,1.5)

+	-- cycle;

+

+\fill[color=gray!20]

+	(1.5,0) -- (1.6,0.02) -- (1.8,0.5) -- (1.6,0.98) -- (1.5,1)

+	-- cycle;

+\fill[color=gray!20]

+	(-1.5,0) -- (-1.6,0.02) -- (-1.8,0.5) -- (-1.6,0.98) -- (-1.5,1)

+	-- cycle;

+\fill[color=gray!20]

+	(1.5,0) -- (1.6,-0.02) -- (1.8,-0.5) -- (1.6,-0.98) -- (1.5,-1)

+	-- cycle;

+\fill[color=gray!20]

+	(-1.5,0) -- (-1.6,-0.02) -- (-1.8,-0.5) -- (-1.6,-0.98) -- (-1.5,-1)

+	-- cycle;

+

+\draw[->] (0.5,-1.8) arc (-180:-90:0.1) arc (-90:0:1.3) arc (0:90:0.1);

+\draw[->] (1.8,0.5) arc (-90:0:0.1) arc (0:90:1.3) arc (90:180:0.1);

+\draw[->] (-0.5,1.8) arc (0:90:0.1) arc (90:180:1.3) arc (180:270:0.1);

+\draw[->] (-1.8,-0.5) arc (90:180:0.1) arc (180:270:1.3) arc (270:360:0.1);

+

+\node at (1.01,1.32)

+	[right] {$\varphi_3\circ \varphi_1^{-1}(y)=\sqrt{1-y^2}$};

+\node at (1.6,1.6) {$\varphi_{31}$};

+

+\node at (1.01,-1.28)

+	[right] {$\varphi_1\circ \varphi_4^{-1}(x)=-\sqrt{1-x^2}$};

+\node at (1.6,-1.6) {$\varphi_{14}$};

+

+\node at (-1.24,1.32)

+	[left] {$\varphi_2\circ\varphi_3^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$};

+\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$};

+

+\node at (-1.18,-1.28)

+	[left] {$\varphi_4\circ\varphi_2^{-1}(y)=-\sqrt{1-y^2}$};

+\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$};

+

+

+\foreach \y in {0.1,0.3,...,0.9}{

+	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]

+		({sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (1.5,\y);

+	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]

+		({sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (1.5,-\y);

+	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]

+		({-sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (-1.5,\y);

+	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]

+		({-sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (-1.5,-\y);

+}

+\foreach \x in {0.1,0.3,...,0.9}{

+	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]

+		({\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},1.5);

+	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]

+		({-\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},1.5);

+	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]

+		({\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},-1.5);

+	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]

+		({-\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},-1.5);

+}

+

+%\draw[color=gray!50,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];

+\draw[color=yellow!30,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];

+\node[color=yellow] at ({1/sqrt(2)},{1/sqrt(2)}) [above right] {$S^1$};

+

+\def\r{1.02}

+

+\begin{scope}

+	\clip (0,-1.1) rectangle (1.1,1.1);

+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (-89:\r) arc (-89:89:\r);

+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];

+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];

+\end{scope}

+

+\begin{scope}

+	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (0,1.1);

+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (91:\r) arc (91:269:\r);

+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];

+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];

+\end{scope}

+

+\xdef\r{0.98}

+

+\begin{scope} 

+	\clip (-1.1,0) rectangle (1.1,1.1);

+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1:\r) arc (1:179:\r);

+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02];

+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];

+\end{scope}

+

+\begin{scope} 

+	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (1.1,0);

+	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (181:\r) arc (181:359:\r);

+	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02];

+	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=1.5cm]

+	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$\mathbb{R}$}];

+	\begin{scope}

+		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);

+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);

+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-1,0)

+			circle[radius=0.02];

+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1,0)

+			circle[radius=0.02];

+	\end{scope}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-1.5cm]

+	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={below:$\mathbb{R}$}];

+	\begin{scope}

+		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);

+		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);

+		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-1,0) circle[radius=0.02];

+		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (1,0) circle[radius=0.02];

+	\end{scope}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=1.5cm]

+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$\mathbb{R}$}];

+	\begin{scope}

+		\clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);

+		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);

+		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];

+		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];

+	\end{scope}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=-1.5cm]

+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={left:$\mathbb{R}$}];

+	\begin{scope}

+		\clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);

+		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);

+		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];

+		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];

+	\end{scope}

+\end{scope}

+

+\node[color=red] at (23:1) [right] {$U_{x>0}$};

+\node[color=red] at (1.25,0) [right] {$\varphi_1$};

+

+\node[color=blue] at (157:1) [left] {$U_{x<0}$};

+\node[color=blue] at (-1.25,0) [left] {$\varphi_2$};

+

+\node[color=darkgreen] at (115:1) [below right] {$U_{y>0}$};

+\node[color=darkgreen] at (0,1.25) [above] {$\varphi_3$};

+

+\node[color=orange] at (-115:1) [above right] {$U_{y<0}$};

+\node[color=orange] at (0,-1.25) [below] {$\varphi_4$};

+

+\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$x$}];

+\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$y$}];

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex
index 2bccc27..2305b26 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex
@@ -1,93 +1,93 @@
-%
-% phasenraum.tex -- 
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\def\m{1}
-\def\K{0.444}
-
-\pgfmathparse{sqrt(\K/\m)}
-\xdef\o{\pgfmathresult}
-
-\def\punkt#1#2{ ({#2*cos(#1)},{\o*#2*sin(#1)}) }
-
-\foreach \r in {0.5,1,...,6}{
-	\draw plot[domain=0:359,samples=360]
-			({\r*cos(\x)},{\o*\r*sin(\x)}) -- cycle;
-}
-
-\def\tangente#1#2{
-		\pgfmathparse{#2/\m}
-		\xdef\u{\pgfmathresult}
-
-		\pgfmathparse{-#1*\K}
-		\xdef\v{\pgfmathresult}
-
-		\pgfmathparse{sqrt(\u*\u+\v*\v)}
-		\xdef\l{\pgfmathresult}
-
-		\fill[color=blue] (#1,#2) circle[radius=0.03];
-		\draw[color=blue,line width=0.5pt]
-			({#1-0.2*\u/\l},{#2-0.2*\v/\l})
-			--
-			({#1+0.2*\u/\l},{#2+0.2*\v/\l});
-}
-
-\foreach \x in {-6.25,-5.75,...,6.3}{
-	\foreach \y in {-4.25,-3.75,...,4.3}{
-		\tangente{\x}{\y}
-	}
-}
-
-%\foreach \x in {0.5,1,...,5.5,6}{
-%	\tangente{\x}{0}
-%	\tangente{-\x}{0}
-%	\foreach \y in {0.5,1,...,4}{
-%		\tangente{\x}{\y}
-%		\tangente{-\x}{\y}
-%		\tangente{\x}{-\y}
-%		\tangente{-\x}{-\y}
-%	}
-%}
-%\foreach \y in {0.5,1,...,4}{
-%	\tangente{0}{\y}
-%	\tangente{0}{-\y}
-%}
-
-\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{60}{4} rectangle \punkt{59}{5.8};
-\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{0}{4} rectangle \punkt{18}{4.9};
-
-\draw[->,color=red,line width=1.4pt]
-	plot[domain=0:60,samples=360]
-		({4*cos(\x)},{\o*4*sin(\x)});
-
-\draw[->] (-6.5,0) -- (6.7,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.7) coordinate[label={right:$p$}];
-
-\fill[color=red] \punkt{60}{4} circle[radius=0.08];
-\node[color=red] at \punkt{60}{4} [above right]
-	{$\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}$};
-
-\fill[color=red] \punkt{0}{4} circle[radius=0.08];
-\node[color=red] at \punkt{0}{4} [above right]
-	{$\begin{pmatrix}x_0\\0\end{pmatrix}$};
-
-\fill[color=white] (4,0) circle[radius=0.05];
-\node at (3.9,0) [below right] {$x_0$};
-\fill (0,{\o*4}) circle[radius=0.05];
-\node at (0.1,{\o*4+0.05}) [below left] {$\omega x_0$};
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%

+% phasenraum.tex -- 

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\def\m{1}

+\def\K{0.444}

+

+\pgfmathparse{sqrt(\K/\m)}

+\xdef\o{\pgfmathresult}

+

+\def\punkt#1#2{ ({#2*cos(#1)},{\o*#2*sin(#1)}) }

+

+\foreach \r in {0.5,1,...,6}{

+	\draw plot[domain=0:359,samples=360]

+			({\r*cos(\x)},{\o*\r*sin(\x)}) -- cycle;

+}

+

+\def\tangente#1#2{

+		\pgfmathparse{#2/\m}

+		\xdef\u{\pgfmathresult}

+

+		\pgfmathparse{-#1*\K}

+		\xdef\v{\pgfmathresult}

+

+		\pgfmathparse{sqrt(\u*\u+\v*\v)}

+		\xdef\l{\pgfmathresult}

+

+		\fill[color=blue] (#1,#2) circle[radius=0.03];

+		\draw[color=blue,line width=0.5pt]

+			({#1-0.2*\u/\l},{#2-0.2*\v/\l})

+			--

+			({#1+0.2*\u/\l},{#2+0.2*\v/\l});

+}

+

+\foreach \x in {-6.25,-5.75,...,6.3}{

+	\foreach \y in {-4.25,-3.75,...,4.3}{

+		\tangente{\x}{\y}

+	}

+}

+

+%\foreach \x in {0.5,1,...,5.5,6}{

+%	\tangente{\x}{0}

+%	\tangente{-\x}{0}

+%	\foreach \y in {0.5,1,...,4}{

+%		\tangente{\x}{\y}

+%		\tangente{-\x}{\y}

+%		\tangente{\x}{-\y}

+%		\tangente{-\x}{-\y}

+%	}

+%}

+%\foreach \y in {0.5,1,...,4}{

+%	\tangente{0}{\y}

+%	\tangente{0}{-\y}

+%}

+

+\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{60}{4} rectangle \punkt{59}{5.8};

+\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{0}{4} rectangle \punkt{18}{4.9};

+

+\draw[->,color=red,line width=1.4pt]

+	plot[domain=0:60,samples=360]

+		({4*cos(\x)},{\o*4*sin(\x)});

+

+\draw[->] (-6.5,0) -- (6.7,0) coordinate[label={$x$}];

+\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.7) coordinate[label={right:$p$}];

+

+\fill[color=red] \punkt{60}{4} circle[radius=0.08];

+\node[color=red] at \punkt{60}{4} [above right]

+	{$\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}$};

+

+\fill[color=red] \punkt{0}{4} circle[radius=0.08];

+\node[color=red] at \punkt{0}{4} [above right]

+	{$\begin{pmatrix}x_0\\0\end{pmatrix}$};

+

+\fill[color=white] (4,0) circle[radius=0.05];

+\node at (3.9,0) [below right] {$x_0$};

+\fill (0,{\o*4}) circle[radius=0.05];

+\node at (0.1,{\o*4+0.05}) [below left] {$\omega x_0$};

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex
index 893bd12..f6df172 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex
@@ -1,157 +1,157 @@
-%
-% scherungen.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{blau}{rgb}{0,0.8,1}
-\definecolor{blau}{rgb}{0,0.6,0}
-\def\s{1.1}
-
-\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
-
-	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,\s) -- (2,{2+\s}) -- (0,2)
-		-- cycle;
-
-	\foreach \x in {-1,...,3}{
-		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
-		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);
-	}
-
-	\begin{scope}
-		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);
-		\foreach \x in {-1,...,3}{
-			\draw[color=orange] (\x,-1) -- (\x,3);
-			\draw[color=orange] (-1,{\x-0.5*\s}) -- (3,{\x+1.5*\s});
-		}
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
-	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (2,\s);
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (0,2);
-
-	\node[color=red] at (2,\s) [below right] {$(1,t)$};
-
-	\node at (0,0) [below right] {$O$};
-	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
-		\begin{aligned}
-		M &= \begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix}
-		\\
-		e^{Mt}
-		&=
-		\begin{pmatrix}1&0\\t&1 \end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-	$};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}
-	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,0) -- ({2+\s},2) -- (\s,2)
-		-- cycle;
-
-	\foreach \x in {-1,...,3}{
-		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
-		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);
-	}
-
-	\begin{scope}
-		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);
-		\foreach \x in {-1,...,3}{
-			\draw[color=orange] (-1,\x) -- (3,\x);
-			\draw[color=orange] ({\x-0.5*\s},-1) -- ({\x+1.5*\s},3);
-		}
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
-	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (2,0);
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (\s,2);
-
-	\node[color=red] at (\s,2) [above left] {$(t,1)$};
-
-	\node at (0,0) [below right] {$O$};
-	
-	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
-		\begin{aligned} N &= \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}
-		\\
-		e^{Nt}
-		&=
-		\begin{pmatrix}1&t\\0&1 \end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-	$};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=0cm]
-	\def\punkt#1#2{({1.6005*(#1)+0.4114*(#2)},{-0.2057*(#1)+0.5719*(#2)})}
-	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
-		(0,0) -- \punkt{2}{0} -- \punkt{2}{2} -- \punkt{0}{2} -- cycle;
-
-	\foreach \x in {0,...,4}{
-		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
-	}
-	\foreach \y in {-1,...,3}{
-		\draw[color=blau]  (0,\y) -- (4,\y);
-	}
-
-	\begin{scope}
-		\clip (-0,-1) rectangle (4,3);
-		\foreach \x in {-1,...,6}{
-			\draw[color=orange] \punkt{\x}{-3} -- \punkt{\x}{6};
-			\draw[color=orange] \punkt{-3}{\x} -- \punkt{6}{\x};
-		}
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
-	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{2}{0};
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{0}{2};
-
-	\node at (0,0) [below right] {$O$};
-	
-	\node at (2,-1.1) [below] {$\displaystyle
-		\begin{aligned} D &= \begin{pmatrix}0.5&0.4\\-0.2&-0.5 \end{pmatrix}
-		\\
-		e^{D\cdot 1}
-		&=
-		\begin{pmatrix}
-			   1.6005 & 0.4114\\
-			  -0.2057 & 0.5719
-		\end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-	$};
-\end{scope}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%

+% scherungen.tex -- template for standalon tikz images

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\definecolor{blau}{rgb}{0,0.8,1}

+\definecolor{blau}{rgb}{0,0.6,0}

+\def\s{1.1}

+

+\begin{scope}[xshift=-4.6cm]

+

+	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);

+	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,\s) -- (2,{2+\s}) -- (0,2)

+		-- cycle;

+

+	\foreach \x in {-1,...,3}{

+		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);

+		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);

+	}

+

+	\begin{scope}

+		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);

+		\foreach \x in {-1,...,3}{

+			\draw[color=orange] (\x,-1) -- (\x,3);

+			\draw[color=orange] (-1,{\x-0.5*\s}) -- (3,{\x+1.5*\s});

+		}

+	\end{scope}

+

+	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];

+

+	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};

+	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);

+

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (2,\s);

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (0,2);

+

+	\node[color=red] at (2,\s) [below right] {$(1,t)$};

+

+	\node at (0,0) [below right] {$O$};

+	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle

+		\begin{aligned}

+		M &= \begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix}

+		\\

+		e^{Mt}

+		&=

+		\begin{pmatrix}1&0\\t&1 \end{pmatrix}

+		\end{aligned}

+	$};

+\end{scope}

+

+\begin{scope}

+	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);

+	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,0) -- ({2+\s},2) -- (\s,2)

+		-- cycle;

+

+	\foreach \x in {-1,...,3}{

+		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);

+		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);

+	}

+

+	\begin{scope}

+		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);

+		\foreach \x in {-1,...,3}{

+			\draw[color=orange] (-1,\x) -- (3,\x);

+			\draw[color=orange] ({\x-0.5*\s},-1) -- ({\x+1.5*\s},3);

+		}

+	\end{scope}

+

+	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];

+

+	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};

+	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);

+

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (2,0);

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (\s,2);

+

+	\node[color=red] at (\s,2) [above left] {$(t,1)$};

+

+	\node at (0,0) [below right] {$O$};

+	

+	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle

+		\begin{aligned} N &= \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}

+		\\

+		e^{Nt}

+		&=

+		\begin{pmatrix}1&t\\0&1 \end{pmatrix}

+		\end{aligned}

+	$};

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=0cm]

+	\def\punkt#1#2{({1.6005*(#1)+0.4114*(#2)},{-0.2057*(#1)+0.5719*(#2)})}

+	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);

+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]

+		(0,0) -- \punkt{2}{0} -- \punkt{2}{2} -- \punkt{0}{2} -- cycle;

+

+	\foreach \x in {0,...,4}{

+		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);

+	}

+	\foreach \y in {-1,...,3}{

+		\draw[color=blau]  (0,\y) -- (4,\y);

+	}

+

+	\begin{scope}

+		\clip (-0,-1) rectangle (4,3);

+		\foreach \x in {-1,...,6}{

+			\draw[color=orange] \punkt{\x}{-3} -- \punkt{\x}{6};

+			\draw[color=orange] \punkt{-3}{\x} -- \punkt{6}{\x};

+		}

+	\end{scope}

+

+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];

+

+	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};

+	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);

+

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{2}{0};

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{0}{2};

+

+	\node at (0,0) [below right] {$O$};

+	

+	\node at (2,-1.1) [below] {$\displaystyle

+		\begin{aligned} D &= \begin{pmatrix}0.5&0.4\\-0.2&-0.5 \end{pmatrix}

+		\\

+		e^{D\cdot 1}

+		&=

+		\begin{pmatrix}

+			   1.6005 & 0.4114\\

+			  -0.2057 & 0.5719

+		\end{pmatrix}

+		\end{aligned}

+	$};

+\end{scope}

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
index 0e44aa9..c41308c 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
@@ -1,146 +1,146 @@
-%
-% sl2.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
-
-\begin{scope}[xshift=-4.5cm]
-	\fill[color=blue!20]
-		(1.4,0) -- (0,1.4) -- (-1.4,0) -- (0,-1.4) -- cycle;
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
-		(1.96,0) -- (0,1) -- (-1.96,0) -- (0,-1) -- cycle;
-
-	\begin{scope}
-		\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.3,2.3);
-		\draw[color=darkgreen]
-			plot[domain=-1:1,samples=100]
-				({(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
-		\draw[color=darkgreen]
-			plot[domain=-1:1,samples=100]
-				({(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
-		\draw[color=darkgreen]
-			plot[domain=-1:1,samples=100]
-				({-(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
-		\draw[color=darkgreen]
-			plot[domain=-1:1,samples=100]
-				({-(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (1.96,0);
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (0,1);
-	\node at (0,-3.2) 
-		{$\displaystyle
-		\begin{aligned}
-		A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-		\\
-		e^{At}
-		&=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-		$};
-	
-\end{scope}
-
-
-\begin{scope}
-	\fill[color=blue!20]
-		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
-		(33:1.4) -- (123:1.4) -- (213:1.4) -- (303:1.4) -- cycle;
-
-	\draw[color=darkgreen] (0,0) circle[radius=1.4];
-
-	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (33:1.4);
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (123:1.4);
-
-	\node at (0,-3.2)
-		{$\displaystyle
-		\begin{aligned}
-		B
-		&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}
-		\\
-		e^{Bt}
-		&=
-		\begin{pmatrix}
-		\cos t&-\sin t\\
-		\sin t& \cos t
-		\end{pmatrix}
-		\end{aligned}$};
-\end{scope}
-
-
-\begin{scope}[xshift=4.5cm]
-	\fill[color=blue!20]
-		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
-	\def\x{0.5}
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
-		({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x})
-		--
-		({1.4*sinh(\x},{1.4*cosh(\x)})
-		--
-		({-1.4*cosh(\x)},{-1.4*sinh(\x})
-		--
-		({-1.4*sinh(\x},{-1.4*cosh(\x)})
-		-- cycle;
-
-	\begin{scope}
-	\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.2,2.2);
-	\draw[color=darkgreen]
-		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
-	\draw[color=darkgreen]
-		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
-	\draw[color=darkgreen]
-		plot[domain=-1:1,samples=100] ({-1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
-	\draw[color=darkgreen]
-		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{-1.4*cosh(\x)});
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
-
-	\node at (0,-3.2) {$\displaystyle
-		\begin{aligned}
-		C&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-		\\
-		e^{Ct}
-		&=
-		\begin{pmatrix}
-		\cosh t&\sinh t\\
-		\sinh t&\cosh t
-		\end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-		$};
-\end{scope}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%

+% sl2.tex -- template for standalon tikz images

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}

+

+\begin{scope}[xshift=-4.5cm]

+	\fill[color=blue!20]

+		(1.4,0) -- (0,1.4) -- (-1.4,0) -- (0,-1.4) -- cycle;

+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]

+		(1.96,0) -- (0,1) -- (-1.96,0) -- (0,-1) -- cycle;

+

+	\begin{scope}

+		\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.3,2.3);

+		\draw[color=darkgreen]

+			plot[domain=-1:1,samples=100]

+				({(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});

+		\draw[color=darkgreen]

+			plot[domain=-1:1,samples=100]

+				({(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});

+		\draw[color=darkgreen]

+			plot[domain=-1:1,samples=100]

+				({-(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});

+		\draw[color=darkgreen]

+			plot[domain=-1:1,samples=100]

+				({-(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});

+	\end{scope}

+

+	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];

+

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);

+

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (1.96,0);

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (0,1);

+	\node at (0,-3.2) 

+		{$\displaystyle

+		\begin{aligned}

+		A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

+		\\

+		e^{At}

+		&=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}

+		\end{aligned}

+		$};

+	

+\end{scope}

+

+

+\begin{scope}

+	\fill[color=blue!20]

+		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;

+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]

+		(33:1.4) -- (123:1.4) -- (213:1.4) -- (303:1.4) -- cycle;

+

+	\draw[color=darkgreen] (0,0) circle[radius=1.4];

+

+	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];

+

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);

+

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (33:1.4);

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (123:1.4);

+

+	\node at (0,-3.2)

+		{$\displaystyle

+		\begin{aligned}

+		B

+		&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}

+		\\

+		e^{Bt}

+		&=

+		\begin{pmatrix}

+		\cos t&-\sin t\\

+		\sin t& \cos t

+		\end{pmatrix}

+		\end{aligned}$};

+\end{scope}

+

+

+\begin{scope}[xshift=4.5cm]

+	\fill[color=blue!20]

+		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;

+	\def\x{0.5}

+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]

+		({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x})

+		--

+		({1.4*sinh(\x},{1.4*cosh(\x)})

+		--

+		({-1.4*cosh(\x)},{-1.4*sinh(\x})

+		--

+		({-1.4*sinh(\x},{-1.4*cosh(\x)})

+		-- cycle;

+

+	\begin{scope}

+	\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.2,2.2);

+	\draw[color=darkgreen]

+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});

+	\draw[color=darkgreen]

+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});

+	\draw[color=darkgreen]

+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({-1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});

+	\draw[color=darkgreen]

+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{-1.4*cosh(\x)});

+	\end{scope}

+

+	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];

+

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);

+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);

+

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});

+	\draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});

+

+	\node at (0,-3.2) {$\displaystyle

+		\begin{aligned}

+		C&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

+		\\

+		e^{Ct}

+		&=

+		\begin{pmatrix}

+		\cosh t&\sinh t\\

+		\sinh t&\cosh t

+		\end{pmatrix}

+		\end{aligned}

+		$};

+\end{scope}

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov
index 3a8e327..ee09c36 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov
@@ -1,189 +1,189 @@
-//
-// diffusion.pov
-//
-// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostscheizer Fachhochschule
-//
-#version 3.7;
-#include "colors.inc"
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-global_settings {
-	assumed_gamma 1
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-#declare R = 1;
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-
-#macro rotiere(phi, vv)
-	< cos(phi) * vv.x - sin(phi) * vv.z, vv.y, sin(phi) * vv.x + cos(phi) * vv.z >
-#end
-
-#macro punkt(phi,theta)
-	rotiere(phi, < R + r * cos(theta), r * sin(theta), 0 >)
-#end
-
-mesh {
-	#declare phistep = 2 * pi / N;
-	#declare thetastep = 2 * 2 * pi / N;
-	#declare phi = 0;
-	#while (phi < 2 * pi - phistep/2)
-		#declare theta = 0;
-		#while (theta < 2 * pi - thetastep/2)
-			triangle {
-				punkt(phi          , theta            ), 
-				punkt(phi + phistep, theta            ), 
-				punkt(phi + phistep, theta + thetastep)
-			}
-			triangle {
-				punkt(phi          , theta            ), 
-				punkt(phi + phistep, theta + thetastep), 
-				punkt(phi          , theta + thetastep)
-			}
-			#declare theta = theta + thetastep;
-		#end
-		#declare phi = phi + phistep;
-	#end
-	pigment {
-		color Gray
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
-
-#declare thetastart = -0.2;
-#declare thetaend = 1.2;
-#declare phistart = 5;
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-
-union {
-	#declare thetastep = 0.2;
-	#declare theta = thetastart;
-	#while (theta < thetaend + thetastep/2)
-		#declare phistep = (phiend-phistart)/N;
-		#declare phi = phistart;
-		#while (phi < phiend - phistep/2)
-			sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
-			cylinder {
-				punkt(phi,theta),
-				punkt(phi+phistep,theta),
-				0.01
-			}
-			#declare phi = phi + phistep;
-		#end
-		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
-		#declare theta = theta + thetastep;
-	#end
-
-	pigment {
-		color Red
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
-
-union {
-	#declare phistep = 0.2;
-	#declare phi = phistart;
-	#while (phi < phiend + phistep/2)
-		#declare thetastep = (thetaend-thetastart)/N;
-		#declare theta = thetastart;
-		#while (theta < thetaend - thetastep/2)
-			sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
-			cylinder {
-				punkt(phi,theta),
-				punkt(phi,theta+thetastep),
-				0.01
-			}
-			#declare theta = theta + thetastep;
-		#end
-		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
-		#declare phi = phi + phistep;
-	#end
-	pigment {
-		color Blue
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
-
-#macro punkt2(a,b)
-	punkt(5.6+a*sqrt(3)/2-b/2,0.2+a/2 + b*sqrt(3)/2)
-#end
-
-#declare darkgreen = rgb<0,0.6,0>;
-
-#declare astart = 0;
-#declare aend = 1;
-#declare bstart = -0.2;
-#declare bend = 1.2;
-union {
-	#declare a = astart;
-	#declare astep = 0.2;
-	#while (a < aend + astep/2)
-		#declare b = bstart;
-		#declare bstep = (bend - bstart)/N;
-		#while (b < bend - bstep/2)
-			sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
-			cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a,b+bstep), 0.01 }
-			#declare b = b + bstep;
-		#end
-		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
-		#declare a = a + astep;
-	#end
-	pigment {
-		color darkgreen
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
-union {
-	#declare b = bstart;
-	#declare bstep = 0.2;
-	#while (b < bend + bstep/2)
-		#declare a = astart;
-		#declare astep = (aend - astart)/N;
-		#while (a < aend - astep/2)
-			sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
-			cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a+astep,b), 0.01 }
-			#declare a = a + astep;
-		#end
-		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
-		#declare b = b + bstep;
-	#end
-	pigment {
-		color Orange
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
+//

+// diffusion.pov

+//

+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostscheizer Fachhochschule

+//

+#version 3.7;

+#include "colors.inc"

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+	assumed_gamma 1

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+#macro rotiere(phi, vv)

+	< cos(phi) * vv.x - sin(phi) * vv.z, vv.y, sin(phi) * vv.x + cos(phi) * vv.z >

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+#macro punkt(phi,theta)

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+#end

+

+mesh {

+	#declare phistep = 2 * pi / N;

+	#declare thetastep = 2 * 2 * pi / N;

+	#declare phi = 0;

+	#while (phi < 2 * pi - phistep/2)

+		#declare theta = 0;

+		#while (theta < 2 * pi - thetastep/2)

+			triangle {

+				punkt(phi          , theta            ), 

+				punkt(phi + phistep, theta            ), 

+				punkt(phi + phistep, theta + thetastep)

+			}

+			triangle {

+				punkt(phi          , theta            ), 

+				punkt(phi + phistep, theta + thetastep), 

+				punkt(phi          , theta + thetastep)

+			}

+			#declare theta = theta + thetastep;

+		#end

+		#declare phi = phi + phistep;

+	#end

+	pigment {

+		color Gray

+	}

+	finish {

+		specular 0.9

+		metallic

+	}

+}

+

+#declare thetastart = -0.2;

+#declare thetaend = 1.2;

+#declare phistart = 5;

+#declare phiend = 6;

+

+union {

+	#declare thetastep = 0.2;

+	#declare theta = thetastart;

+	#while (theta < thetaend + thetastep/2)

+		#declare phistep = (phiend-phistart)/N;

+		#declare phi = phistart;

+		#while (phi < phiend - phistep/2)

+			sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }

+			cylinder {

+				punkt(phi,theta),

+				punkt(phi+phistep,theta),

+				0.01

+			}

+			#declare phi = phi + phistep;

+		#end

+		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }

+		#declare theta = theta + thetastep;

+	#end

+

+	pigment {

+		color Red

+	}

+	finish {

+		specular 0.9

+		metallic

+	}

+}

+

+union {

+	#declare phistep = 0.2;

+	#declare phi = phistart;

+	#while (phi < phiend + phistep/2)

+		#declare thetastep = (thetaend-thetastart)/N;

+		#declare theta = thetastart;

+		#while (theta < thetaend - thetastep/2)

+			sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }

+			cylinder {

+				punkt(phi,theta),

+				punkt(phi,theta+thetastep),

+				0.01

+			}

+			#declare theta = theta + thetastep;

+		#end

+		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }

+		#declare phi = phi + phistep;

+	#end

+	pigment {

+		color Blue

+	}

+	finish {

+		specular 0.9

+		metallic

+	}

+}

+

+#macro punkt2(a,b)

+	punkt(5.6+a*sqrt(3)/2-b/2,0.2+a/2 + b*sqrt(3)/2)

+#end

+

+#declare darkgreen = rgb<0,0.6,0>;

+

+#declare astart = 0;

+#declare aend = 1;

+#declare bstart = -0.2;

+#declare bend = 1.2;

+union {

+	#declare a = astart;

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+	#while (a < aend + astep/2)

+		#declare b = bstart;

+		#declare bstep = (bend - bstart)/N;

+		#while (b < bend - bstep/2)

+			sphere { punkt2(a,b), 0.01 }

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+			#declare b = b + bstep;

+		#end

+		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }

+		#declare a = a + astep;

+	#end

+	pigment {

+		color darkgreen

+	}

+	finish {

+		specular 0.9

+		metallic

+	}

+}

+union {

+	#declare b = bstart;

+	#declare bstep = 0.2;

+	#while (b < bend + bstep/2)

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+			#declare a = a + astep;

+		#end

+		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }

+		#declare b = b + bstep;

+	#end

+	pigment {

+		color Orange

+	}

+	finish {

+		specular 0.9

+		metallic

+	}

+}

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
index cee8510..482ba6f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
@@ -1,647 +1,647 @@
-%
-% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Lie-Algebren
-\label{buch:section:lie-algebren}}
-\rhead{Lie-Algebren}
-Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
-Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
-Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
-Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
-Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer 
-Mannigfaltigkeit.
-Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen.
-
-Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven
-innerhalb der Gruppe angesehen werden.
-In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen
-Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass
-der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann.
-Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren
-erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren,
-die sogenannte Lie-Algebra.
-Sie ist charakteristisch für die Gruppe.
-Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ 
-und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
-Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
-übereinstimmt.
-
-%
-% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
-%
-\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe
-\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}}
-Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es
-eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion
-$e^{At}$ konstruiert werden kann.
-Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein
-Tangentialvektor ist.
-Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren,
-dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen
-$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert.
-
-\subsubsection{Lie-Klammer}
-Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und
-$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen
-$e^{At}$ und $e^{Bt}$.
-Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen 
-$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen 
-$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein.
-Die zugehörigen Potenzreihen sind:
-\begin{align*}
-e^{At}
-&=
-I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots
-\\
-e^{Bt}
-&=
-I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots
-\\
-e^{At}e^{Bt}
-&=
-\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\\
-&=
-I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
-\\
-e^{Bt}e^{At}
-&=
-\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\\
-&=
-I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
-\intertext{%
-Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen
-Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden
-sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der
-Einparameteruntergruppe von $A+B$}
-e^{(A+B)t}
-&=
-I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots
-\intertext{Für die Unterschiede finden wir}
-e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
-&=
-\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
-+\ldots
-=
-(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots
-=
-[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots
-\\
-e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t}
-&=
-\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
-+\ldots
-=
-(BA-AB)
-\frac{t^2}{2}
-+\ldots
-=
--[A,B]\frac{t^2}{2}
-\\
-e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
-&=
-(AB-BA)t^2+\ldots
-=
-\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
-\end{align*}
-wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:gruppen:def:kommutator}
-Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
-$[A,B]=AB-BA$.
-\end{definition}
-
-Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da
-\begin{align*}
-[\lambda A+\mu B,C]
-&=
-\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB
-=
-\lambda[A,C]+\mu[B,C]
-\\
-[A,\lambda B+\mu C]
-&=
-\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA
-=
-\lambda[A,B]+\mu[A,C]
-\\
-[A,B]
-&=
-AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].
-\end{align*}
-Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$
-
-Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied
-zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.
-Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die
-Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.
-
-
-\subsubsection{Die Jacobi-Identität}
-Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:
-\begin{align*}
-[A,[B,C]]
-+
-[B,[C,A]]
-+
-[C,[A,B]]
-&=
-[A,BC-CB]
-+
-[B,CA-AC]
-+
-[C,AB-BA]
-\\
-&=\phantom{+}
-ABC-ACB-BCA+CBA
-\\
-&\phantom{=}+
-BCA-BAC-CAB+ACB
-\\
-&\phantom{=}+
-CAB-CBA-ABC+BAC
-\\
-&=0.
-\end{align*}
-Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel
-bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen 
-betrachten kann.
-Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder
-$X$ und $Y$ definieren.
-Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche
-Identität.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:gruppen:def:jacobi}
-Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum
-erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn 
-\[
-[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0
-\]
-ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$.
-\end{definition}
-
-\subsubsection{Lie-Algebra}
-Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator
-eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
-
-\begin{definition}
-Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
-\[
-[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
-\]
-welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
-erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
-\end{definition}
-
-Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.
-$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.
-Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
-ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.
-Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine
-Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.
-
-Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden
-sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der
-Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.
-Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also
-$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,
-die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist
-$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.
-
-
-%
-% Die Lie-Algebra von SO(3)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$
-\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}}
-Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra
-$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen.
-Solche Matrizen haben die Form
-\[
-\Omega
-=
-\begin{pmatrix}
-    0    & \omega_3&-\omega_2\\
--\omega_3&   0     & \omega_1\\
- \omega_2&-\omega_1&    0
-\end{pmatrix}
-\]
-Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
-
-Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist
-\[
-(I+t\Omega)
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-    1     & t\omega_3&-t\omega_2\\
--t\omega_3&   1      & t\omega_1\\
- t\omega_2&-t\omega_1&    1
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
-x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
-x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
-\end{pmatrix}
-=
-x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
-=
-x+ tx\times \omega.
-\]
-Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung
-um die Achse $\omega$.
-
-Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und
-Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor
-in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$
-mit Hilfe der Abbildung
-\[
-\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3)
-:
-\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
-\end{pmatrix}.
-\]
-Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$
-konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist:
-\begin{align*}
-[U,V]
-&=
-UV-VU
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-  0 & u_3&-u_1\\
--u_3&  0 & u_2\\
- u_1&-u_2&  0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-  0 & u_3&-u_1\\
--u_3&  0 & u_2\\
- u_1&-u_2&  0
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1
-        & u_1v_2 - u_2v_1
-                & u_3v_2 - u_2v_3
-\\
-u_2v_1 - u_1v_2
-        & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2
-                & u_3v_1 - u_1v_3
-\\
-u_2v_3 - u_3v_2
-        & u_1v_3 - u_3v_1
-                &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-0
-        & u_1v_2 - u_2v_1
-                &-(u_2v_3-u_3v_2)
-\\
--( u_1v_2 - u_2v_1)
-        & 0
-                & u_3v_1 - u_1v_3
-\\
-u_2v_3 - u_3v_2
-        &-( u_3v_1 - u_1v_3)
-                & 0
-\end{pmatrix}
-\end{align*}
-Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.
-Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
-\[
-\vec u\times(\vec v\times w)
-+
-\vec v\times(\vec w\times u)
-+
-\vec w\times(\vec u\times v)
-=0
-\]
-für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.
-Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$
-mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.
-In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation
-$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der
-Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel
-das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
-von Landau und Lifschitz.
-
-Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt
-keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren.
-Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:
-es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur
-möglich ist.
-
-Die antisymmetrischen Matrizen
-\[
-\omega_{23}
-=
-\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{31}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{12}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}
-\]
-haben die Kommutatoren
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-[\omega_{23},\omega_{31}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&-1&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{12}
-\\
-[\omega_{31},\omega_{12}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&1&0\\
--1&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{23}
-\\
-[\omega_{12},\omega_{23}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-1&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{31}
-\end{aligned}
-\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
-\end{equation}
-
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}
-Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den
-spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.
-Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt
-\[
-\operatorname{Spur}([A,B])
-=
-\operatorname{Spur}(AB-BA)
-=
-\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA)
-=
-0,
-\]
-somit ist 
-\[
-\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0
-\}
-\]
-mit dem Kommutator eine Lie-Algebra.
-
-%
-% Die Lie-Algebra von U(n)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$}
-Die Lie-Gruppe
-\[
-U(n)
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{C}
-\;|\;
-AA^*=I
-\}
-\]
-heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
-das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
-Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
-Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
-derart, dass $\gamma(0)=I$.
-Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf 
-\begin{align*}
-0
-=
-\frac{d}{dt}
-\gamma(t)\gamma(t)^*
-\bigg|_{t=0}
-=
-\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^*
-+
-\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^*
-=
-\dot{\gamma}(0)
-+
-\dot{\gamma}(0)^*
-\quad\Rightarrow\quad
-\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.
-A&=-A^*
-\end{align*}
-Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen
-Matrizen.
-
-Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen
-Matrizen wieder anithermitesch ist:
-\begin{align*}
-[A,B]^*
-&=
-(AB-BA)^*
-=
-B^*A^*-A^*B^*
-=
-BA - AB
-=
--[B,A].
-\end{align*}
-
-Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,
-für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$
-oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.
-Der Realteil von $a_{ii}$ ist
-\[
-\Re a_{ii}
-=
-\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2
-=
-0,
-\]
-die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein
-imaginär.
-
-
-%
-% Die Lie-Algebra SU(2)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
-Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
-spurlosen antihermiteschen Matrizen.
-Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
-\[
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\qquad
-\text{mit}
-\qquad
-\left\{
-\begin{aligned}
-a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d
-\\
-b^*&=-c
-\end{aligned}
-\right.
-\]
-Damit hat $A$ die Form
-\begin{align*}
-A=\begin{pmatrix}
-is&u+iv\\
--u+iv&-is
-\end{pmatrix}
-&=
-s
-\begin{pmatrix}
-i&0\\
-0&-i
-\end{pmatrix}
-+
-u
-\begin{pmatrix}
- 0&1\\
--1&0
-\end{pmatrix}
-+
-v
-\begin{pmatrix}
-0&i\\
-i&0
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1}
-+
-iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}
-+
-is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}
-\end{align*}
-Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
-\begin{align*}
-[\sigma_1,\sigma_2]
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_3,
-\\
-[\sigma_2,\sigma_3]
-&=
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-=
-2
-\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_1.
-\\
-[\sigma_1,\sigma_3]
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2i
-\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_2,
-\end{align*}
-Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten
-der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$
-in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}.
-Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
-\begin{align*}
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_3
-\\
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_1
-\\
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_2
-\end{align*}
-Die lineare Abbildung, die
-\begin{align*}
-\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\
-\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
-\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
-\end{align*}
-abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
-auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
-Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$
-haben also die gleiche Lie-Algebra.
-
-Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$
-als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der
-Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden.
-Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt.
-
-
-
-
-
+%

+% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Lie-Algebren

+\label{buch:section:lie-algebren}}

+\rhead{Lie-Algebren}

+Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen

+Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen

+Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.

+Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer

+Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer 

+Mannigfaltigkeit.

+Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen.

+

+Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven

+innerhalb der Gruppe angesehen werden.

+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen

+Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass

+der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann.

+Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren

+erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren,

+die sogenannte Lie-Algebra.

+Sie ist charakteristisch für die Gruppe.

+Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ 

+und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die

+Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$

+übereinstimmt.

+

+%

+% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe

+%

+\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe

+\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}}

+Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es

+eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion

+$e^{At}$ konstruiert werden kann.

+Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe

+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein

+Tangentialvektor ist.

+Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren,

+dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen

+$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert.

+

+\subsubsection{Lie-Klammer}

+Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und

+$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen

+$e^{At}$ und $e^{Bt}$.

+Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen 

+$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen 

+$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein.

+Die zugehörigen Potenzreihen sind:

+\begin{align*}

+e^{At}

+&=

+I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots

+\\

+e^{Bt}

+&=

+I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots

+\\

+e^{At}e^{Bt}

+&=

+\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)

+\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)

+\\

+&=

+I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots

+\\

+e^{Bt}e^{At}

+&=

+\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)

+\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)

+\\

+&=

+I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots

+\intertext{%

+Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen

+Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden

+sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der

+Einparameteruntergruppe von $A+B$}

+e^{(A+B)t}

+&=

+I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots

+\intertext{Für die Unterschiede finden wir}

+e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}

+&=

+\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2

++\ldots

+=

+(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots

+=

+[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots

+\\

+e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t}

+&=

+\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2

++\ldots

+=

+(BA-AB)

+\frac{t^2}{2}

++\ldots

+=

+-[A,B]\frac{t^2}{2}

+\\

+e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}

+&=

+(AB-BA)t^2+\ldots

+=

+\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots

+\end{align*}

+wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.

+

+\begin{definition}

+\label{buch:gruppen:def:kommutator}

+Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix

+$[A,B]=AB-BA$.

+\end{definition}

+

+Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da

+\begin{align*}

+[\lambda A+\mu B,C]

+&=

+\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB

+=

+\lambda[A,C]+\mu[B,C]

+\\

+[A,\lambda B+\mu C]

+&=

+\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA

+=

+\lambda[A,B]+\mu[A,C]

+\\

+[A,B]

+&=

+AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].

+\end{align*}

+Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$

+

+Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied

+zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.

+Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die

+Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.

+

+

+\subsubsection{Die Jacobi-Identität}

+Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:

+\begin{align*}

+[A,[B,C]]

++

+[B,[C,A]]

++

+[C,[A,B]]

+&=

+[A,BC-CB]

++

+[B,CA-AC]

++

+[C,AB-BA]

+\\

+&=\phantom{+}

+ABC-ACB-BCA+CBA

+\\

+&\phantom{=}+

+BCA-BAC-CAB+ACB

+\\

+&\phantom{=}+

+CAB-CBA-ABC+BAC

+\\

+&=0.

+\end{align*}

+Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel

+bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen 

+betrachten kann.

+Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder

+$X$ und $Y$ definieren.

+Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche

+Identität.

+

+\begin{definition}

+\label{buch:gruppen:def:jacobi}

+Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum

+erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn 

+\[

+[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0

+\]

+ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$.

+\end{definition}

+

+\subsubsection{Lie-Algebra}

+Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator

+eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.

+

+\begin{definition}

+Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt

+\[

+[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],

+\]

+welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}

+erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.

+\end{definition}

+

+Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.

+$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.

+Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$

+ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.

+Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine

+Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.

+

+Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden

+sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der

+Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.

+Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also

+$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,

+die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist

+$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.

+

+

+%

+% Die Lie-Algebra von SO(3)

+%

+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$

+\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}}

+Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra

+$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen.

+Solche Matrizen haben die Form

+\[

+\Omega

+=

+\begin{pmatrix}

+    0    & \omega_3&-\omega_2\\

+-\omega_3&   0     & \omega_1\\

+ \omega_2&-\omega_1&    0

+\end{pmatrix}

+\]

+Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.

+

+Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist

+\[

+(I+t\Omega)

+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+    1     & t\omega_3&-t\omega_2\\

+-t\omega_3&   1      & t\omega_1\\

+ t\omega_2&-t\omega_1&    1

+\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\

+x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\

+x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)

+\end{pmatrix}

+=

+x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x

+=

+x+ tx\times \omega.

+\]

+Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung

+um die Achse $\omega$.

+

+Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und

+Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor

+in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$

+mit Hilfe der Abbildung

+\[

+\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3)

+:

+\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}

+\mapsto

+\begin{pmatrix}

+  0 & v_3&-v_1\\

+-v_3&  0 & v_2\\

+ v_1&-v_2&  0

+\end{pmatrix}.

+\]

+Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$

+konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist:

+\begin{align*}

+[U,V]

+&=

+UV-VU

+\\

+&=

+\begin{pmatrix}

+  0 & u_3&-u_1\\

+-u_3&  0 & u_2\\

+ u_1&-u_2&  0

+\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}

+  0 & v_3&-v_1\\

+-v_3&  0 & v_2\\

+ v_1&-v_2&  0

+\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}

+  0 & v_3&-v_1\\

+-v_3&  0 & v_2\\

+ v_1&-v_2&  0

+\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}

+  0 & u_3&-u_1\\

+-u_3&  0 & u_2\\

+ u_1&-u_2&  0

+\end{pmatrix}

+\\

+&=

+\begin{pmatrix}

+u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1

+        & u_1v_2 - u_2v_1

+                & u_3v_2 - u_2v_3

+\\

+u_2v_1 - u_1v_2

+        & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2

+                & u_3v_1 - u_1v_3

+\\

+u_2v_3 - u_3v_2

+        & u_1v_3 - u_3v_1

+                &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2

+\end{pmatrix}

+\\

+&=

+\begin{pmatrix}

+0

+        & u_1v_2 - u_2v_1

+                &-(u_2v_3-u_3v_2)

+\\

+-( u_1v_2 - u_2v_1)

+        & 0

+                & u_3v_1 - u_1v_3

+\\

+u_2v_3 - u_3v_2

+        &-( u_3v_1 - u_1v_3)

+                & 0

+\end{pmatrix}

+\end{align*}

+Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.

+Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass

+\[

+\vec u\times(\vec v\times w)

++

+\vec v\times(\vec w\times u)

++

+\vec w\times(\vec u\times v)

+=0

+\]

+für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.

+Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$

+mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.

+In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation

+$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der

+Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel

+das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}

+von Landau und Lifschitz.

+

+Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt

+keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren.

+Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:

+es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur

+möglich ist.

+

+Die antisymmetrischen Matrizen

+\[

+\omega_{23}

+=

+\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

+\quad

+\omega_{31}

+=

+\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}

+\quad

+\omega_{12}

+=

+\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}

+\]

+haben die Kommutatoren

+\begin{equation}

+\begin{aligned}

+[\omega_{23},\omega_{31}]

+&=

+\begin{pmatrix}

+0&0&0\\

+0&0&1\\

+0&-1&0

+\end{pmatrix}

+=

+\omega_{12}

+\\

+[\omega_{31},\omega_{12}]

+&=

+\begin{pmatrix}

+0&1&0\\

+-1&0&0\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+=

+\omega_{23}

+\\

+[\omega_{12},\omega_{23}]

+&=

+\begin{pmatrix}

+0&0&-1\\

+0&0&0\\

+1&0&0

+\end{pmatrix}

+=

+\omega_{31}

+\end{aligned}

+\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}

+\end{equation}

+

+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}

+Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den

+spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.

+Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt

+\[

+\operatorname{Spur}([A,B])

+=

+\operatorname{Spur}(AB-BA)

+=

+\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA)

+=

+0,

+\]

+somit ist 

+\[

+\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})

+=

+\{

+A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0

+\}

+\]

+mit dem Kommutator eine Lie-Algebra.

+

+%

+% Die Lie-Algebra von U(n)

+%

+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$}

+Die Lie-Gruppe

+\[

+U(n)

+=

+\{

+A\in M_n(\mathbb{C}

+\;|\;

+AA^*=I

+\}

+\]

+heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die

+das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen

+Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.

+Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$

+derart, dass $\gamma(0)=I$.

+Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf 

+\begin{align*}

+0

+=

+\frac{d}{dt}

+\gamma(t)\gamma(t)^*

+\bigg|_{t=0}

+=

+\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^*

++

+\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^*

+=

+\dot{\gamma}(0)

++

+\dot{\gamma}(0)^*

+\quad\Rightarrow\quad

+\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.

+A&=-A^*

+\end{align*}

+Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen

+Matrizen.

+

+Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen

+Matrizen wieder anithermitesch ist:

+\begin{align*}

+[A,B]^*

+&=

+(AB-BA)^*

+=

+B^*A^*-A^*B^*

+=

+BA - AB

+=

+-[B,A].

+\end{align*}

+

+Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,

+für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$

+oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.

+Der Realteil von $a_{ii}$ ist

+\[

+\Re a_{ii}

+=

+\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2

+=

+0,

+\]

+die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein

+imaginär.

+

+

+%

+% Die Lie-Algebra SU(2)

+%

+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}

+Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den

+spurlosen antihermiteschen Matrizen.

+Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:

+\[

+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

+\qquad

+\text{mit}

+\qquad

+\left\{

+\begin{aligned}

+a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d

+\\

+b^*&=-c

+\end{aligned}

+\right.

+\]

+Damit hat $A$ die Form

+\begin{align*}

+A=\begin{pmatrix}

+is&u+iv\\

+-u+iv&-is

+\end{pmatrix}

+&=

+s

+\begin{pmatrix}

+i&0\\

+0&-i

+\end{pmatrix}

++

+u

+\begin{pmatrix}

+ 0&1\\

+-1&0

+\end{pmatrix}

++

+v

+\begin{pmatrix}

+0&i\\

+i&0

+\end{pmatrix}

+\\

+&=

+iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1}

++

+iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}

++

+is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}

+\end{align*}

+Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren

+\begin{align*}

+[\sigma_1,\sigma_2]

+&=

+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

+=

+2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix}

+=

+2i\sigma_3,

+\\

+[\sigma_2,\sigma_3]

+&=

+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}

+=

+2

+\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}

+=

+2i\sigma_1.

+\\

+[\sigma_1,\sigma_3]

+&=

+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

+=

+2i

+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

+=

+2i\sigma_2,

+\end{align*}

+Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten

+der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$

+in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}.

+Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte

+\begin{align*}

+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr]

+&=

+-{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2]

+=

+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3

+=

+-{\textstyle\frac12}i\sigma_3

+\\

+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr]

+&=

+-{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3]

+=

+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1

+=

+-{\textstyle\frac12}i\sigma_1

+\\

+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr]

+&=

+-{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1]

+=

+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2

+=

+-{\textstyle\frac12}i\sigma_2

+\end{align*}

+Die lineare Abbildung, die

+\begin{align*}

+\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\

+\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\

+\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3

+\end{align*}

+abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$

+auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.

+Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$

+haben also die gleiche Lie-Algebra.

+

+Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$

+als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der

+Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden.

+Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt.

+

+

+

+

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
index d6fc007..2c88b76 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -1,881 +1,881 @@
-%
-% lie-gruppen.tex -- Lie-Gruppebn
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Lie-Gruppen
-\label{buch:section:lie-gruppen}}
-\rhead{Lie-Gruppen}
-Die in bisherigen Beispielen untersuchten Matrizengruppen zeichnen sich
-durch zusätzliche Eigenschaften aus.
-Die Gruppe
-\[
-\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) 
-=
-\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\}
-\]
-besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist.
-Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge
-in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,
-sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.
-Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem
-Abschnitt genauer untersucht werden sollen.
-
-\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
-\label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}}
-Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit,
-wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements
-zu finden.
-Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes
-andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt.
-Sei also $\varphi_e\colon U_e\mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung
-$U_e\subset G$ von $e\in G$.
-Für $g\in G$ ist dann die Abbildung
-\[
-\varphi_g
-\colon
-U_g
-=
-gU_e
-\to
-\mathbb{R}
-:
-h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h)
-\]
-eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$.
-schreibt man $l_{g}$ für  die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
-kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$
-schreiben.
-
-\subsubsection{Kartenwechsel}
-Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$
-und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung
-\[
-\varphi_{g_1,g_2}
-=
-\varphi_{g_1}\circ \varphi_{g_2}^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ (\varphi_e\circ l_{g_2^{-1}})^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2^{-1}}^{-1} \varphi_e^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2}\varphi_e^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}g_2}\varphi_e^{-1}
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} D\varphi_e^{-1}
-=
-D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} (D\varphi_e)^{-1}.
-\]
-Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit
-einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel
-nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation
-$l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist.
-Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt,
-die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
-
-Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine
-Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen
-reicht, wenn man die Elemente in einer Umgebung des neutralen
-Elementes parametrisieren kann.
-Dies ist jedoch nicht nur für die Matrizengruppen möglich.
-Wenn eine Gruppe gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
-ist, dann können Karten über die ganze Gruppe transportiert werden,
-wenn die Multiplikation mit Gruppenelementen eine differenzierbare
-Abbildung ist.
-Solche Gruppen heissen auch Lie-Gruppen gemäss der folgenden Definition.
-
-\begin{definition}
-\index{Lie-Gruppe}%
-Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
-Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen
-\begin{align*}
-G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2
-\\
-G\to G &: g \mapsto g^{-1}
-\end{align*}
-differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.
-\end{definition}
-
-Die Abstraktheit dieser Definition täuscht etwas über die 
-Tatsache hinweg, dass sich mit Hilfe der Darstellungstheorie
-jede beliebige Lie-Gruppe als Untermannigfaltigkeit einer 
-Matrizengruppe verstehen lässt.
-Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse
-Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen
-zu entwickeln.
-
-\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung}
-Die Matrizengruppen sind alle in der
-$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
-enthalten.
-Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
-haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in
-$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
-Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der
-Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch
-\[
-\frac{d}{dt}
-\gamma(t)
-=
-\begin{pmatrix}
-\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\
-\vdots              &\ddots&\vdots              \\
-\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t)
-\end{pmatrix}
-\]
-gegeben.
-
-Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten
-einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen.
-Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt,
-transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in 
-Tangentialvektoren im Punkt $g$.
-
-\begin{aufgabe}
-Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit
-$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$
-für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert
-durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$?
-\end{aufgabe}
-
-Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\frac{d}{dt}\gamma(t)
-=
-\gamma(t)\cdot A
-\label{buch:gruppen:eqn:expdgl}
-\end{equation}
-erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor
-in $e=I$ ist.
-
-Die Matrixexponentialfunktion
-\[
-e^{At}
-=
-1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots
-\]
-liefert eine Einparametergruppe
-$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung
-\[
-\frac{d}{dt} e^{At}
-=
-\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}
-=
-\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h}
-=
-e^{At} A.
-\]
-Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
-
-\subsection{Drehungen in der Ebene
-\label{buch:gruppen:drehungen2d}}
-Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
-des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
-als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
-Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
-beschrieben werden kann.
-
-\subsubsection{Die Untergruppe
-$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
-Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch
-Matrizen der Form
-\[
-D_{\alpha}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix}
-\]
-dargestellt werden.
-Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit
-$\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
-Die Abbildung
-\[
-D_{\bullet}
-\colon
-\mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2)
-:
-\alpha \mapsto D_{\alpha}
-\]
-hat die Eigenschaften
-\begin{align*}
-D_{\alpha+\beta}&= D_{\alpha}D_{\beta}
-\\
-D_0&=I
-\\
-D_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}.
-\end{align*}
-Daraus folgt zum Beispiel, dass $D_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische
-Funktion ist.
-$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf
-die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab.
-
-Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge
-$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar,
-die Umkehrung kann als Karte verwendet werden.
-Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und
-$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$
-in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die 
-$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt.
-Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$
-mit $k\in \mathbb{Z}$.
-In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein.
-Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen
-von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung.
-Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen.
-
-\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$}
-Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen
-Ebene $\mathbb{C}$ erhalten.
-Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine
-Drehung der komplexen Ebene um den Winkel $\alpha$.
-Die Zahlen der Form $e^{i\alpha}$ haben den Betrag $1$ und die Abbildung
-\[
-f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}:\alpha \mapsto e^{i\alpha}
-\]
-hat die Eigenschaften
-\begin{align*}
-f(\alpha+\beta) &= f(\alpha)f(\beta)
-\\
-f(0)&=1
-\\
-f(2\pi k)&=1\qquad\forall k\in\mathbb{Z},
-\end{align*}
-die zu den Eigenschaften der Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ 
-analog sind.
-
-Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form
-$z=e^{i\alpha}$, die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des
-Einheitskreises in der Ebene.
-Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom
-Betrag $1$.
-$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für jede Zahl
-$z,w\in S^1$ gilt
-$|z^{-1}|=1$ und $|zw|=1$ und damit $z^{-1}\in S^1$ und $zw\in S^1$.
-
-Zu einer komplexen Zahl $z\in S^1$ gibt es einen bis auf Vielfache
-von $2\pi$ eindeutigen Winkel $\alpha(z)$ derart, dass $e^{i\alpha(z)}=z$.
-Damit kann man jetzt die Abbildung
-\[
-\varphi
-\colon
-S^1\to \operatorname{SO}(2)
-:
-z\mapsto  D_{\alpha(z)}
-\]
-konstruieren.
-Da $D_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache
-von $2\pi$ verschiedene Wahlen von $\alpha(z)$ die gleiche
-Matrix $D_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher
-wohldefiniert.
-$\varphi$ erfüllt ausserdem die Bedingungen
-\begin{align*}
-\varphi(z_1z_2)
-&=
-D_{\alpha(z_1z_2)}
-=
-D_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)}
-=
-D_{\alpha(z_1)}D_{\alpha(z_2)}
-=
-\varphi(z_1)\varphi(z_2)
-\\
-\varphi(1)
-&=
-D_{\alpha(1)}
-=
-D_0
-=
-I
-\end{align*}
-Die Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $S^1$
-in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$.
-Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis
-in der komplexen Ebene identifiziert werden.
-
-\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$}
-Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe
-ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$
-mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden.
-Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt} \gamma(t)
-&=
-\frac{d}{d\alpha}
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
-\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\frac{d\alpha}{dt}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
--\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\
- \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t)
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\dot{\alpha}(t)
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
-\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-0&-1\\
-1&0
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\dot{\alpha}(t)
-=
-D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t).
-\end{align*}
-Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$
-entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung
-mit $\dot{\alpha}(t)$.
-
-%
-% Isometrien von R^n
-%
-\subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$
-\label{buch:gruppen:isometrien}}
-
-\subsubsection{Skalarprodukt}
-Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch
-$n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
-Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten,
-bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
-Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn
-für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt
-$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$.
-Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden:
-\[
-\langle Ax,Ay\rangle
-=
-(Ax)^tAy
-=
-x^tA^tAy
-=
-x^ty
-=
-\langle x,y\rangle
-\]
-für jedes Paar von Vektoren $x,y\in\mathbb{R}$.
-
-Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix
-einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen.
-Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion
-des Vektors $v$ auf die Richtung $e_i$.
-Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$.
-Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente
-$a_{ij}=e_i^tAe_j$.
-
-\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$}
-Die Matrixelemente von $A^tA$ sind
-$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$
-sind diejenigen der Einheitsmatrix,
-die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$.
-Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen.
-Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht
-daher aus den Matrizen
-\[
-\operatorname{O}(n)
-=
-\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}.
-\]
-Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen,
-die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen
-Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen.
-Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher
-die Dimension
-\[
-n^2 - \frac{n(n+1)}{2}
-=
-\frac{2n^2-n^2-n}{2}
-=
-\frac{n(n-1)}2.
-\]
-Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional.
-
-\subsubsection{Tangentialvektoren}
-Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
-von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$ 
-kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein.
-Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage
-kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$
-von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$.
-Orthogonal bedeutet 
-\[
-\begin{aligned}
-&&
-0
-&=
-\frac{d}{dt}I
-=
-\frac{d}{dt}
-(\gamma(t)^t\gamma(t))
-=
-\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t))
-+
-\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t))
-\\
-&\Rightarrow&
-0
-&=
-\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)}
-=
-\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0)
-=
-A^t+A=0
-\\
-&\Rightarrow&
-A^t&=-A
-\end{aligned}
-\]
-Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau
-die antisymmetrischen Matrizen.
-
-Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix
-$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d}
-gezeigt wurde.
-
-Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen
-$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$
-antisymmetrisch.
-Für $n=2$ ist $A_{12}=J$.
-Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des
-$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$.
-
-Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$
-haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist.
-Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch,
-zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$.
-
-\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$}
-Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die
-die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen.
-Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante
-einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein.
-Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$.
-
-Die Gruppe
-\[
-\operatorname{SO}(n)
-=
-\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\}
-\]
-heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}.
-Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$.
-
-\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$}
-Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen
-Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$.
-Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den
-Drehwinkel.
-Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt
-auf der zweidimensionalen Kugel.
-Der Drehwinkel ist der dritte Parameter.
-
-Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden
-aus den Matrizen
-\begin{align*}
-D_{x,\alpha}
-&=
-\begin{pmatrix}
-1&0&0\\
-0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-0&\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix},
-&
-D_{y,\beta}
-&=
-\begin{pmatrix}
- \cos\beta&0&\sin\beta\\
-      0    &1&     0    \\
--\sin\beta&0&\cos\beta
-\end{pmatrix},
-&
-D_{z,\gamma}
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\
-\sin\gamma& \cos\gamma&0\\
-    0     &     0     &1
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-e^{A_{23}t}
-&
-&=
-e^{-A_{13}t}
-&
-&=
-e^{A_{21}t}
-\end{align*}
-die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$
-beschreiben.
-Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die
-drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$
-angesehen werden.
-
-%
-% Spezielle lineare Gruppe
-%
-\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und
-die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
-\label{buch:gruppen:sl}}
-Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die
-Orientierung, also auch das Volumen.
-Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel
-nicht notwendigerweise erhalten.
-Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten,
-haben die Determinante $\det A=1$.
-Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit
-Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe.
-
-\begin{definition}
-Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe
-\[
-\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{R})
-\;|\;
-\det (A) = 1
-\}
-\]
-sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}.
-\end{definition}
-
-Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
-bestimmen.
-Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
-mit $A(0)=I$.
-Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung
-\[
-\frac{d}{dt} \det A(t) = 0
-\quad\text{an der Stelle $t=0$.}
-\]
-Für $n=2$ ist
-\begin{align*}
-A(t)
-&=
-\begin{pmatrix}
-a(t)&b(t)\\
-c(t)&d(t)
-\end{pmatrix}
-\in
-\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{dt}
-\det A(t)\bigg|_{t=0}
-&=
-\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0)
--
-\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0)
-\\
-&&&&
-&=
-\dot{a}(0) + \dot{d}(0)
-\\
-&&&&
-&=
-\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}.
-\end{align*}
-Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige
-$n\times n$-Matrizen.
-
-\begin{satz}
-Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$
-mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist
-\[
-\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
-\]
-Die Ableitung nach $t$ ist
-\[
-\frac{d}{dt} \det A(t)
-=
-\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
-+
-\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t).
-\]
-An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$
-eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten
-Summe ist daher der erste.
-In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$
-jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$
-\begin{equation}
-\frac{d}{dt} \det A(t)
-=
-\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t).
-+
-\frac{d}{dt}\det A_{11}(t)
-=
-\dot{a}_{11}(0) 
-+
-\frac{d}{dt}\det A_{11}(t).
-\label{buch:gruppen:eqn:detspur}
-\end{equation}
-Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit
-vollständiger Induktion verwendet werden.
-
-Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$
-genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$
-ist.
-Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix
-$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante
-\[
-\frac{d}{dt}\tilde{A}(0)
-=
-\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0)
-\]
-ist, folgt jetzt mit
-\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass
-\[
-\frac{d}{dt}A(0)
-=
-\dot{a}_{11}(0)
-+
-\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0}
-=
-\dot{a}_{11}(0)
-+
-\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0)
-=
-\operatorname{Spur}\dot{A}(0).
-\]
-Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$.
-\end{proof}
-
-\begin{beispiel}
-Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind 
-die spurlosen Matrizen
-\[
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{Spur}A=a+d=0
-\quad\Rightarrow\quad
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.
-\]
-Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
-Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden:
-\begin{align*}
-A
-&=
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-&&\Rightarrow&
-e^{At}
-&=
-\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}
-\\
-B
-&=
-\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
-&&\Rightarrow&
-e^{Bt}
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos t & -\sin t\\
-\sin t &  \cos t
-\end{pmatrix}
-\\
-C
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-&&\Rightarrow&
-e^{Ct}
-&=
-I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots
-\\
-&&&&
-&=
-I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)
-+
-C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr)
-\\
-&&&&
-&=
-I\cosh t + C \sinh t
-=
-\begin{pmatrix}
-\cosh t & \sinh t\\
-\sinh t & \cosh t
-\end{pmatrix},
-\end{align*}
-wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde,
-dass $C^2=I$.
-
-Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und
-Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt.
-Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und
-damit erst recht den Flächeninhalt erhalten.
-Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als
-Eigenvektoren:
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-&\mapsto
-e^{Ct}
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-=
-(\cosh t +\sinh t)
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-=
-\biggl(
-\frac{e^t+e^{-t}}2
-+
-\frac{e^t-e^{-t}}2
-\biggr)
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-=
-e^t
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-\\
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-&\mapsto
-e^{Ct}
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-=
-(\cosh t -\sinh t)
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-=
-\biggl(
-\frac{e^t+e^{-t}}2
--
-\frac{e^t-e^{-t}}2
-\biggr)
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-=
-e^{-t}
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-\end{align*}
-Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und
-die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$.
-Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation,
-auch diese Matrizen sind flächenerhaltend.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf}
-\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen
-für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
-linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
-In allen drei Fällen wird ein blauer Rhombus mit den Ecken in den
-Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu
-zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten.
-In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen
-der Bilder der Standardbasisvektoren dar.
-\label{buch:gruppen:fig:sl2}}
-\end{figure}%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf}
-\caption{Weitere Matrizen mit Spur $0$ und ihre Wirkung 
-Die inken beiden Beispiele $M$ und $N$ sind nilpotente Matrizen,
-die zugehörigen Einparameter-Untergruppen beschreiben Schwerungen.
-\label{buch:gruppen:fig:scherungen}}
-\end{figure}
-\end{beispiel}
-
-%
-% Die Gruppe SU(2)
-%
-\subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$
-\label{buch:gruppen:su2}}
-Die Menge der Matrizen
-\[
-\operatorname{SU}(2)
-=
-\left\{
-\left.
-A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\;\right|\;
-a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I
-\right\}
-\]
-heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}.
-Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist 
-$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$.
-Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte
-von $a$ und $b$ weiter ein.
-Aus 
-\[
-A^*
-=
-\begin{pmatrix}
-\overline{a}&\overline{c}\\
-\overline{b}&\overline{d}
-\end{pmatrix}
-\]
-und den Bedingungen führen die Gleichungen
-\[
-\begin{aligned}
-a\overline{a}+b\overline{b}&=1
-&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1
-\\
-a\overline{c}+b\overline{d}&=0
-&&\Rightarrow&
-\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}}
-\\
-c\overline{a}+d\overline{b}&=0
-&&\Rightarrow&
-\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}}
-\\
-c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1
-\\
-ad-bc&=1
-\end{aligned}
-\]
-Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$
-gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$.
-Damit wird die Bedingung an die Determinante zu
-\[
-1
-=
-ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b})
-=
-t(|a|^2+|b|^2)
-=
-t,
-\]
-also muss die Matrix $A$ die Form haben
-\[
-A
-=
-\begin{pmatrix}
-a&b\\
--\overline{b}&\overline{a}
-\end{pmatrix}
-\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1.
-\]
-Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$,
-dann besteht $SU(2)$  aus den Matrizen der Form
-\[
-A=
-\begin{pmatrix}
- a_1+ia_2&b_1+ib_2\\
--b_1+ib_2&a_1-ia_2
-\end{pmatrix}
-\]
-mit der zusätzlichen Bedingung
-\[
-|a|^2+|b|^2
-=
-a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1.
-\]
-Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer
-eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$
-eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$.
-Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen
-Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist.
-
-
-
+%

+% lie-gruppen.tex -- Lie-Gruppebn

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Lie-Gruppen

+\label{buch:section:lie-gruppen}}

+\rhead{Lie-Gruppen}

+Die in bisherigen Beispielen untersuchten Matrizengruppen zeichnen sich

+durch zusätzliche Eigenschaften aus.

+Die Gruppe

+\[

+\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) 

+=

+\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\}

+\]

+besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist.

+Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge

+in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist

+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,

+sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.

+Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem

+Abschnitt genauer untersucht werden sollen.

+

+\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen

+\label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}}

+Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit,

+wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements

+zu finden.

+Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes

+andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt.

+Sei also $\varphi_e\colon U_e\mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung

+$U_e\subset G$ von $e\in G$.

+Für $g\in G$ ist dann die Abbildung

+\[

+\varphi_g

+\colon

+U_g

+=

+gU_e

+\to

+\mathbb{R}

+:

+h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h)

+\]

+eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$.

+schreibt man $l_{g}$ für  die Abbildung $h\mapsto gh$, dann

+kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$

+schreiben.

+

+\subsubsection{Kartenwechsel}

+Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$

+und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung

+\[

+\varphi_{g_1,g_2}

+=

+\varphi_{g_1}\circ \varphi_{g_2}^{-1}

+=

+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ (\varphi_e\circ l_{g_2^{-1}})^{-1}

+=

+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2^{-1}}^{-1} \varphi_e^{-1}

+=

+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2}\varphi_e^{-1}

+=

+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}g_2}\varphi_e^{-1}

+\]

+mit der Ableitung

+\[

+D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} D\varphi_e^{-1}

+=

+D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} (D\varphi_e)^{-1}.

+\]

+Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit

+einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel

+nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation

+$l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist.

+Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt,

+die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten.

+

+Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine

+Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen

+reicht, wenn man die Elemente in einer Umgebung des neutralen

+Elementes parametrisieren kann.

+Dies ist jedoch nicht nur für die Matrizengruppen möglich.

+Wenn eine Gruppe gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit

+ist, dann können Karten über die ganze Gruppe transportiert werden,

+wenn die Multiplikation mit Gruppenelementen eine differenzierbare

+Abbildung ist.

+Solche Gruppen heissen auch Lie-Gruppen gemäss der folgenden Definition.

+

+\begin{definition}

+\index{Lie-Gruppe}%

+Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare

+Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen

+\begin{align*}

+G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2

+\\

+G\to G &: g \mapsto g^{-1}

+\end{align*}

+differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.

+\end{definition}

+

+Die Abstraktheit dieser Definition täuscht etwas über die 

+Tatsache hinweg, dass sich mit Hilfe der Darstellungstheorie

+jede beliebige Lie-Gruppe als Untermannigfaltigkeit einer 

+Matrizengruppe verstehen lässt.

+Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse

+Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen

+zu entwickeln.

+

+\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung}

+Die Matrizengruppen sind alle in der

+$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$

+enthalten.

+Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$

+haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in

+$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.

+Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der

+Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch

+\[

+\frac{d}{dt}

+\gamma(t)

+=

+\begin{pmatrix}

+\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\

+\vdots              &\ddots&\vdots              \\

+\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t)

+\end{pmatrix}

+\]

+gegeben.

+

+Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten

+einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen.

+Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt,

+transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in 

+Tangentialvektoren im Punkt $g$.

+

+\begin{aufgabe}

+Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit

+$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$

+für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert

+durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$?

+\end{aufgabe}

+

+Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung

+\begin{equation}

+\frac{d}{dt}\gamma(t)

+=

+\gamma(t)\cdot A

+\label{buch:gruppen:eqn:expdgl}

+\end{equation}

+erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor

+in $e=I$ ist.

+

+Die Matrixexponentialfunktion

+\[

+e^{At}

+=

+1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots

+\]

+liefert eine Einparametergruppe

+$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung

+\[

+\frac{d}{dt} e^{At}

+=

+\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}

+=

+\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h}

+=

+e^{At} A.

+\]

+Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.

+

+\subsection{Drehungen in der Ebene

+\label{buch:gruppen:drehungen2d}}

+Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien

+des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}

+als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.

+Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix

+beschrieben werden kann.

+

+\subsubsection{Die Untergruppe

+$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}

+Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch

+Matrizen der Form

+\[

+D_{\alpha}

+=

+\begin{pmatrix}

+\cos\alpha&-\sin\alpha\\

+\sin\alpha& \cos\alpha

+\end{pmatrix}

+\]

+dargestellt werden.

+Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit

+$\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.

+Die Abbildung

+\[

+D_{\bullet}

+\colon

+\mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2)

+:

+\alpha \mapsto D_{\alpha}

+\]

+hat die Eigenschaften

+\begin{align*}

+D_{\alpha+\beta}&= D_{\alpha}D_{\beta}

+\\

+D_0&=I

+\\

+D_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}.

+\end{align*}

+Daraus folgt zum Beispiel, dass $D_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische

+Funktion ist.

+$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf

+die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab.

+

+Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge

+$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar,

+die Umkehrung kann als Karte verwendet werden.

+Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und

+$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$

+in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die 

+$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt.

+Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$

+mit $k\in \mathbb{Z}$.

+In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein.

+Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen

+von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung.

+Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen.

+

+\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$}

+Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen

+Ebene $\mathbb{C}$ erhalten.

+Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine

+Drehung der komplexen Ebene um den Winkel $\alpha$.

+Die Zahlen der Form $e^{i\alpha}$ haben den Betrag $1$ und die Abbildung

+\[

+f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}:\alpha \mapsto e^{i\alpha}

+\]

+hat die Eigenschaften

+\begin{align*}

+f(\alpha+\beta) &= f(\alpha)f(\beta)

+\\

+f(0)&=1

+\\

+f(2\pi k)&=1\qquad\forall k\in\mathbb{Z},

+\end{align*}

+die zu den Eigenschaften der Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ 

+analog sind.

+

+Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form

+$z=e^{i\alpha}$, die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des

+Einheitskreises in der Ebene.

+Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom

+Betrag $1$.

+$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für jede Zahl

+$z,w\in S^1$ gilt

+$|z^{-1}|=1$ und $|zw|=1$ und damit $z^{-1}\in S^1$ und $zw\in S^1$.

+

+Zu einer komplexen Zahl $z\in S^1$ gibt es einen bis auf Vielfache

+von $2\pi$ eindeutigen Winkel $\alpha(z)$ derart, dass $e^{i\alpha(z)}=z$.

+Damit kann man jetzt die Abbildung

+\[

+\varphi

+\colon

+S^1\to \operatorname{SO}(2)

+:

+z\mapsto  D_{\alpha(z)}

+\]

+konstruieren.

+Da $D_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache

+von $2\pi$ verschiedene Wahlen von $\alpha(z)$ die gleiche

+Matrix $D_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher

+wohldefiniert.

+$\varphi$ erfüllt ausserdem die Bedingungen

+\begin{align*}

+\varphi(z_1z_2)

+&=

+D_{\alpha(z_1z_2)}

+=

+D_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)}

+=

+D_{\alpha(z_1)}D_{\alpha(z_2)}

+=

+\varphi(z_1)\varphi(z_2)

+\\

+\varphi(1)

+&=

+D_{\alpha(1)}

+=

+D_0

+=

+I

+\end{align*}

+Die Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $S^1$

+in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$.

+Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis

+in der komplexen Ebene identifiziert werden.

+

+\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$}

+Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe

+ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$

+mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden.

+Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist

+\begin{align*}

+\frac{d}{dt} \gamma(t)

+&=

+\frac{d}{d\alpha}

+\begin{pmatrix}

+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\

+\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)

+\end{pmatrix}

+\cdot

+\frac{d\alpha}{dt}

+\\

+&=

+\begin{pmatrix}

+-\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\

+ \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t)

+\end{pmatrix}

+\cdot

+\dot{\alpha}(t)

+\\

+&=

+\begin{pmatrix}

+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\

+\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)

+\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}

+0&-1\\

+1&0

+\end{pmatrix}

+\cdot

+\dot{\alpha}(t)

+=

+D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t).

+\end{align*}

+Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$

+entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung

+mit $\dot{\alpha}(t)$.

+

+%

+% Isometrien von R^n

+%

+\subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$

+\label{buch:gruppen:isometrien}}

+

+\subsubsection{Skalarprodukt}

+Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch

+$n\times n$-Matrizen beschrieben werden.

+Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten,

+bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.

+Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn

+für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt

+$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$.

+Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden:

+\[

+\langle Ax,Ay\rangle

+=

+(Ax)^tAy

+=

+x^tA^tAy

+=

+x^ty

+=

+\langle x,y\rangle

+\]

+für jedes Paar von Vektoren $x,y\in\mathbb{R}$.

+

+Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix

+einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen.

+Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion

+des Vektors $v$ auf die Richtung $e_i$.

+Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$.

+Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente

+$a_{ij}=e_i^tAe_j$.

+

+\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$}

+Die Matrixelemente von $A^tA$ sind

+$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$

+sind diejenigen der Einheitsmatrix,

+die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$.

+Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen.

+Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht

+daher aus den Matrizen

+\[

+\operatorname{O}(n)

+=

+\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}.

+\]

+Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen,

+die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen

+Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen.

+Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher

+die Dimension

+\[

+n^2 - \frac{n(n+1)}{2}

+=

+\frac{2n^2-n^2-n}{2}

+=

+\frac{n(n-1)}2.

+\]

+Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional.

+

+\subsubsection{Tangentialvektoren}

+Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit

+von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$ 

+kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein.

+Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage

+kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$

+von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$.

+Orthogonal bedeutet 

+\[

+\begin{aligned}

+&&

+0

+&=

+\frac{d}{dt}I

+=

+\frac{d}{dt}

+(\gamma(t)^t\gamma(t))

+=

+\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t))

++

+\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t))

+\\

+&\Rightarrow&

+0

+&=

+\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)}

+=

+\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0)

+=

+A^t+A=0

+\\

+&\Rightarrow&

+A^t&=-A

+\end{aligned}

+\]

+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau

+die antisymmetrischen Matrizen.

+

+Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix

+$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d}

+gezeigt wurde.

+

+Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen

+$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$

+antisymmetrisch.

+Für $n=2$ ist $A_{12}=J$.

+Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des

+$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$.

+

+Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$

+haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist.

+Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch,

+zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$.

+

+\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$}

+Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die

+die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen.

+Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante

+einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein.

+Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$.

+

+Die Gruppe

+\[

+\operatorname{SO}(n)

+=

+\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\}

+\]

+heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}.

+Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$.

+

+\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$}

+Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen

+Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$.

+Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den

+Drehwinkel.

+Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt

+auf der zweidimensionalen Kugel.

+Der Drehwinkel ist der dritte Parameter.

+

+Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden

+aus den Matrizen

+\begin{align*}

+D_{x,\alpha}

+&=

+\begin{pmatrix}

+1&0&0\\

+0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\

+0&\sin\alpha& \cos\alpha

+\end{pmatrix},

+&

+D_{y,\beta}

+&=

+\begin{pmatrix}

+ \cos\beta&0&\sin\beta\\

+      0    &1&     0    \\

+-\sin\beta&0&\cos\beta

+\end{pmatrix},

+&

+D_{z,\gamma}

+&=

+\begin{pmatrix}

+\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\

+\sin\gamma& \cos\gamma&0\\

+    0     &     0     &1

+\end{pmatrix}

+\\

+&=

+e^{A_{23}t}

+&

+&=

+e^{-A_{13}t}

+&

+&=

+e^{A_{21}t}

+\end{align*}

+die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$

+beschreiben.

+Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die

+drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$

+angesehen werden.

+

+%

+% Spezielle lineare Gruppe

+%

+\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und

+die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$

+\label{buch:gruppen:sl}}

+Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die

+Orientierung, also auch das Volumen.

+Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel

+nicht notwendigerweise erhalten.

+Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten,

+haben die Determinante $\det A=1$.

+Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit

+Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe.

+

+\begin{definition}

+Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe

+\[

+\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})

+=

+\{

+A\in M_n(\mathbb{R})

+\;|\;

+\det (A) = 1

+\}

+\]

+sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}.

+\end{definition}

+

+Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$

+bestimmen.

+Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$

+mit $A(0)=I$.

+Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung

+\[

+\frac{d}{dt} \det A(t) = 0

+\quad\text{an der Stelle $t=0$.}

+\]

+Für $n=2$ ist

+\begin{align*}

+A(t)

+&=

+\begin{pmatrix}

+a(t)&b(t)\\

+c(t)&d(t)

+\end{pmatrix}

+\in

+\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})

+&&\Rightarrow&

+\frac{d}{dt}

+\det A(t)\bigg|_{t=0}

+&=

+\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0)

+-

+\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0)

+\\

+&&&&

+&=

+\dot{a}(0) + \dot{d}(0)

+\\

+&&&&

+&=

+\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}.

+\end{align*}

+Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige

+$n\times n$-Matrizen.

+

+\begin{satz}

+Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$

+mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$.

+\end{satz}

+

+\begin{proof}[Beweis]

+Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist

+\[

+\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t).

+\]

+Die Ableitung nach $t$ ist

+\[

+\frac{d}{dt} \det A(t)

+=

+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t).

++

+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t).

+\]

+An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$

+eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten

+Summe ist daher der erste.

+In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$

+jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$

+\begin{equation}

+\frac{d}{dt} \det A(t)

+=

+\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t).

++

+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t)

+=

+\dot{a}_{11}(0) 

++

+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t).

+\label{buch:gruppen:eqn:detspur}

+\end{equation}

+Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit

+vollständiger Induktion verwendet werden.

+

+Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$

+genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$

+ist.

+Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix

+$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante

+\[

+\frac{d}{dt}\tilde{A}(0)

+=

+\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0)

+\]

+ist, folgt jetzt mit

+\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass

+\[

+\frac{d}{dt}A(0)

+=

+\dot{a}_{11}(0)

++

+\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0}

+=

+\dot{a}_{11}(0)

++

+\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0)

+=

+\operatorname{Spur}\dot{A}(0).

+\]

+Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$.

+\end{proof}

+

+\begin{beispiel}

+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind 

+die spurlosen Matrizen

+\[

+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

+\quad\Rightarrow\quad

+\operatorname{Spur}A=a+d=0

+\quad\Rightarrow\quad

+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.

+\]

+Der Tangentialraum ist also dreidimensional.

+Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden:

+\begin{align*}

+A

+&=

+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

+&&\Rightarrow&

+e^{At}

+&=

+\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}

+\\

+B

+&=

+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

+&&\Rightarrow&

+e^{Bt}

+&=

+\begin{pmatrix}

+\cos t & -\sin t\\

+\sin t &  \cos t

+\end{pmatrix}

+\\

+C

+&=

+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

+&&\Rightarrow&

+e^{Ct}

+&=

+I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots

+\\

+&&&&

+&=

+I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)

++

+C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr)

+\\

+&&&&

+&=

+I\cosh t + C \sinh t

+=

+\begin{pmatrix}

+\cosh t & \sinh t\\

+\sinh t & \cosh t

+\end{pmatrix},

+\end{align*}

+wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde,

+dass $C^2=I$.

+

+Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und

+Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt.

+Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und

+damit erst recht den Flächeninhalt erhalten.

+Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als

+Eigenvektoren:

+\begin{align*}

+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

+&\mapsto

+e^{Ct}

+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

+=

+(\cosh t +\sinh t)

+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

+=

+\biggl(

+\frac{e^t+e^{-t}}2

++

+\frac{e^t-e^{-t}}2

+\biggr)

+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

+=

+e^t

+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

+\\

+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}

+&\mapsto

+e^{Ct}

+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}

+=

+(\cosh t -\sinh t)

+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}

+=

+\biggl(

+\frac{e^t+e^{-t}}2

+-

+\frac{e^t-e^{-t}}2

+\biggr)

+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}

+=

+e^{-t}

+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}

+\end{align*}

+Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und

+die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$.

+Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation,

+auch diese Matrizen sind flächenerhaltend.

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf}

+\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen

+für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden

+linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.

+In allen drei Fällen wird ein blauer Rhombus mit den Ecken in den

+Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu

+zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten.

+In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen

+der Bilder der Standardbasisvektoren dar.

+\label{buch:gruppen:fig:sl2}}

+\end{figure}%

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf}

+\caption{Weitere Matrizen mit Spur $0$ und ihre Wirkung 

+Die inken beiden Beispiele $M$ und $N$ sind nilpotente Matrizen,

+die zugehörigen Einparameter-Untergruppen beschreiben Schwerungen.

+\label{buch:gruppen:fig:scherungen}}

+\end{figure}

+\end{beispiel}

+

+%

+% Die Gruppe SU(2)

+%

+\subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$

+\label{buch:gruppen:su2}}

+Die Menge der Matrizen

+\[

+\operatorname{SU}(2)

+=

+\left\{

+\left.

+A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}

+\;\right|\;

+a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I

+\right\}

+\]

+heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}.

+Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist 

+$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$.

+Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte

+von $a$ und $b$ weiter ein.

+Aus 

+\[

+A^*

+=

+\begin{pmatrix}

+\overline{a}&\overline{c}\\

+\overline{b}&\overline{d}

+\end{pmatrix}

+\]

+und den Bedingungen führen die Gleichungen

+\[

+\begin{aligned}

+a\overline{a}+b\overline{b}&=1

+&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1

+\\

+a\overline{c}+b\overline{d}&=0

+&&\Rightarrow&

+\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}}

+\\

+c\overline{a}+d\overline{b}&=0

+&&\Rightarrow&

+\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}}

+\\

+c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1

+\\

+ad-bc&=1

+\end{aligned}

+\]

+Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$

+gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$.

+Damit wird die Bedingung an die Determinante zu

+\[

+1

+=

+ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b})

+=

+t(|a|^2+|b|^2)

+=

+t,

+\]

+also muss die Matrix $A$ die Form haben

+\[

+A

+=

+\begin{pmatrix}

+a&b\\

+-\overline{b}&\overline{a}

+\end{pmatrix}

+\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1.

+\]

+Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$,

+dann besteht $SU(2)$  aus den Matrizen der Form

+\[

+A=

+\begin{pmatrix}

+ a_1+ia_2&b_1+ib_2\\

+-b_1+ib_2&a_1-ia_2

+\end{pmatrix}

+\]

+mit der zusätzlichen Bedingung

+\[

+|a|^2+|b|^2

+=

+a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1.

+\]

+Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer

+eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$

+eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$.

+Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen

+Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist.

+

+

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
index 7364c85..c0a0fb8 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
@@ -1,725 +1,725 @@
-%
-% symmetrien.tex -- Geometrische Beschreibung von Symmetrien, O(n), SO(n),
-%                   Spiegelungen
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Symmetrien
-\label{buch:section:symmetrien}}
-\rhead{Symmetrien}
-Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines
-geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst
-abgebildet wird.
-Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass}
-bedeutet.
-Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus,
-dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen
-der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch
-Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des
-Begriffs verständlich macht.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg}
-\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen
-Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut.
-Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes
-ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken
-in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt.
-\label{buch:lie:bild:castlehoward}}
-\end{figure}
-In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte
-Bedeutung gegeben.
-Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht
-verändert, wird als Symmetrie bezeichnet.
-Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den
-den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt,
-eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des
-Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist
-eine Symmetrie des Systems.
-
-Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat.
-Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon
-ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden.
-Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die
-durch Matrizen beschrieben weren.
-Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine
-Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der
-invertierbaren Matrizen.
-Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen,
-denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen.
-Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine
-zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare
-Mannigfaltigkeit.
-Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit}
-eingeführt.
-Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der
-Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen,
-die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind.
-
-Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
-Mannigfaltigkeit ist.
-Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren
-ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht
-und verstanden werden können.
-Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu
-schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren}
-durchgeführt werden soll.
-
-\subsection{Algebraische Symmetrien
-\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}}
-Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem
-oder in einem physikalischen System beschreiben.
-Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die
-Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene,
-wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen
-\[
-\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x
-\qquad\text{oder}\qquad
-\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 :
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-\]
-dargestellt werden.
-Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit
-das Skalarprodukt erhalten sind.
-Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen
-zu unterscheiden.
-Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle
-Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden.
-Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die
-Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und
-ihre Normale erhalten.
-Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen
-auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen.
-
-Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der 
-ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ symmetrisch ist, können wir
-sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind.
-Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$
-u.~s.~w., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden,
-ebenfalls Symmetrien.
-Wenn die Symmetrie auch umkehrbar ist, dann gilt dies sogar für alle
-$n\in\mathbb{Z}$.
-Wir erhalten so eine Abbildung
-$\varphi\colon \mathbb{Z}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}):n\mapsto f^n$
-mit den Eigenschaften $\varphi(0)=f^0 = I$ und
-$\varphi(n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m = \varphi(n)\circ\varphi(m)$.
-$\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
-Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}.
-
-\subsection{Kontinuierliche Symmetrien
-\label{buch:subsection:kontinuierliche-symmetrien}}
-Von besonderem Interesse sind kontinuierliche Symmetrien.
-Dies sind Abbildungen eines Systems, die von einem Parameter
-abhängen.
-Zum Beispiel können wir Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den
-Winkel $\alpha$ durch Matrizen 
-\[
-D_{\alpha}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix}
-\]
-beschrieben werden.
-Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant.
-Im Gegensatz dazu sind alle $3n$-Ecke mit Schwerpunkt $0$ nur invariant
-unter der einen Drehung $D_{\frac{2\pi}3}$ invariant.
-Die kleinste Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter
-allen Drehungen $D_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um
-den Nullpunkt.
-
-\begin{definition}
-Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
-von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe
-heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
-\end{definition}
-
-Die Abbildung 
-\[
-\varphi
-\colon
-\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})
-:
-\alpha \mapsto
-D_{\alpha}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix}
-\]
-ist also eine Einparameter-Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
-
-\subsubsection{Der harmonische Oszillator}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf}
-\caption{Die Lösungen der
-Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$.
-\label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}}
-\end{figure}
-Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$
-schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung
-\[
-m\frac{d^2}{dt^2} x(t) =  -Kx(t).
-\]
-Die Kreisfrequenz der Schwingung ist
-\[
-\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}.
-\]
-Das System kann als zweidimensionales System im Phasenraum mit den 
-Koordinaten $x_1=x$ und $x_2=p=m\dot{x}$ beschrieben werden.
-Die zweidimensionale Differentialgleichung ist
-\begin{equation}
-\left.
-\begin{aligned}
-\dot{x}(t) &= \frac{1}{m}p(t)\\
-\dot{p}(t) &= -Kx(t) 
-\end{aligned}
-\quad
-\right\}
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac{d}{dt}
-\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&\frac{1}{m}\\
--K&0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}.
-\label{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-\end{equation}
-Die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangsbedingung $x(0)=1$ und
-$p(0)=0$ ist
-\[
-x(t)
-=
-\cos \omega t
-\qquad\Rightarrow\qquad
-p(t)
-=
--\omega \sin\omega t,
-\]
-die Lösung zur Anfangsbedingung $x(0)=0$ und $p(0)=1$ ist
-\[
-x(t) = \frac{1}{\omega} \sin\omega t,
-\qquad
-p(t) = \cos \omega t.
-\]
-In Matrixform kann man die allgemeine Lösung zur Anfangsbedingun $x(0)=x_0$
-und $p(0)=p_0$
-\begin{equation}
-\begin{pmatrix}
-x(t)\\
-p(t)
-\end{pmatrix}
-=
-\underbrace{
-\begin{pmatrix}
- \cos \omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
--\omega \sin\omega t & \cos\omega t
-\end{pmatrix}
-}_{\displaystyle =\Phi_t}
-\begin{pmatrix}x_0\\p_0\end{pmatrix}
-\label{buch:gruppen:eqn:phi}
-\end{equation}
-schreiben.
-Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameter-Untergruppe von
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da
-\begin{align*}
-\Phi_s\Phi_t
-&=
-\begin{pmatrix}
- \cos\omega s & \frac{1}{\omega} \sin\omega s \\
--\omega \sin\omega s & \cos\omega s
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
- \cos\omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
--\omega \sin\omega t & \cos\omega t
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos\omega s \cos\omega t - \sin\omega s \sin\omega t 
-& \frac{1}{\omega} ( \cos\omega s \sin\omega t + \sin\omega s \cos \omega t)
-\\
--\omega (\sin\omega s \cos\omega t + \cos\omega s \sin\omega t )
-& \cos\omega s \cos\omega t -\sin\omega s \sin\omega t 
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
- \cos\omega(s+t) & \frac{1}{\omega}\sin\omega(s+t) \\
--\omega \sin\omega(s+t) & \cos\omega(s+t)
-\end{pmatrix}
-=
-\Phi_{s+t}
-\end{align*}
-gilt.
-Die Lösungen der 
-Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-sind in Abbildung~\ref{chapter:gruppen:fig:phasenraum}
-Die Matrizen $\Phi_t$ beschreiben eine kontinuierliche Symmetrie
-des Differentialgleichungssystems, welches den harmonischen Oszillator
-beschreibt.
-
-\subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung}
-Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils
-Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
-Der Grund dafür ist, dass die
-Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-linear ist.
-Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$
-die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch
-Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also
-aus der Formel
-\[
-\Phi_t (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda \Phi_t x_1 + \mu \Phi_t x_2.
-\]
-Dies zeigt, dass $\Phi_t$ für jedes $t$ eine lineare Abbildung sein muss.
-
-Für eine beliebige Differentialgleichung kann man immer noch eine Abbildung
-$\Phi$ konstruieren, die aber nicht mehr linear ist.
-Sei dazu die Differentialgleichung erster Ordnung
-\begin{equation}
-\frac{dx}{dt}
-=
-f(t,x)
-\qquad\text{mit}\qquad
-f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
-\label{buch:gruppen:eqn:dgl}
-\end{equation}
-gegeben.
-Für jeden Anfangswert $x_0\in\mathbb{R}^n$ kann man mindestens für eine
-gewisse Zeit $t <\varepsilon$ eine Lösung $x(t,x_0)$ finden mit $x(t,x_0)=x_0$.
-Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist auch
-bekannt, dass $x(t,x_0)$ mindestens in der Nähe von $x_0$ differenzierbar von
-$x_0$ abhängt.
-Dies erlaubt eine Abbildung
-\[
-\Phi\colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
-:
-(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
-\]
-zu definieren, die sowohl von $t$ als auch von $x_0$ differenzierbar
-abhängt.
-Aus der Definition folgt unmittelbar, dass $\Phi_0(x_0)=x_0$ ist, dass
-also $\Phi_0$ die identische Abbildung von $\mathbb{R}^n$ ist.
-
-Aus der Definition lässt sich auch ableiten, dass
-$\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ gilt.
-$\Phi_t(x_0)=x(t,x_0)$ ist der Endpunkt der Bahn, die bei $x_0$ beginnt
-und sich während der Zeit $t$ entwickelt.
-$\Phi_s(x(t,x_0))$ ist dann der Endpunkt der Bahn, die bei $x(t,x_0)$ 
-beginnt und sich während der Zeit $s$ entwickelt.
-Somit ist $\Phi_s\circ \Phi_t(x_0)$ der Endpunkt der Bahn, die bei
-$x_0$ beginnt und sich über die Zeit $s+t$ entwickelt.
-In Formeln bedeutet dies
-\[
-\Phi_{s+t} = \Phi_s\circ \Phi_t.
-\]
-Die Abbildung $t\mapsto \Phi_t$ ist also wieder ein Homomorphismus
-von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in eine Gruppe von differenzierbaren
-Abbildungen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$.
-
-\begin{definition}
-Die Abbildung
-\[
-\Phi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n
-:
-(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
-\]
-heisst der {\em Fluss} der Differentialgleichung
-\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl},
-wenn für jedes $x_0\in\mathbb{R}^n$ die Kurve $t\mapsto \Phi_t(x_0)$
-eine Lösung der Differentialgleichung ist mit Anfangsbedingung $x_0$.
-\end{definition}
-
-Die Abbildung $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} ist also
-der Fluss der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators.
-
-\subsection{Mannigfaltigkeiten
-\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}}
-Eine Differentialgleichung der Form~\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl}
-stellt einen Zusammenhang her zwischen einem Punkt $x$ und der
-Tangentialrichtung einer Bahnkurve $f(t,x)$.
-Die Ableitung liefert die lineare Näherung der Bahkurve
-\[
-x(t_0+h) = x(t_0) + h f(t_0,x_0) + o(h)
-\]
-für $h$ in einer kleinen Umgebung von $0$.
-Das funktioniert auch, weil $f(t_0,x_0)$ selbst ein Vektor von
-$\mathbb{R}^n$ ist, in dem die Bahnkurve verläuft.
-
-Diese Idee funktioniert nicht mehr zum Beispiel für eine
-Differentialgleichung auf einer Kugeloberfläche, weil alle Punkte
-$x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche
-liegen.
-Physikalisch äussert sich das ein einer zusätzlichen Kraft, die nötig
-ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten.
-Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für
-Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind.
-Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor 
-nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert
-werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als
-in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann.
-
-Um die Idee der Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche
-konsistent zu machen ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung
-auf eine Art zu definieren, die nicht von der Einbettung der Fläche
-in den $n$-dimensionalen Raum abhängig ist.
-Das in diesem Abschnitt entwickelte Konzept der {\em Mannigfaltigkeit}
-löst dieses Problem.
-
-\subsubsection{Karten}
-Die Navigation auf der Erdoberfläche verwendet das Koordinatensystem
-der geographischen Länge und Breite.
-Dieses Koordinatensystem funktioniert gut, solange man sich nicht an
-den geographischen Polen befindet, denn deren Koordinaten sind
-nicht mehr eindeutig.
-Alle Punkte mit geographischer Breite $90^\circ$ und beliebiger 
-geographischer Länge beschreiben den Nordpol.
-Auch die Ableitung funktioniert dort nicht mehr.
-Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Nordpol,
-springt die Ableitung der geographischen Breite von einem positiven
-Wert auf einen negativen Wert, sie kann also nicht differenzierbar sein.
-Diese Einschränkungen sind in der Praxis nur ein geringes Problem dar,
-da die meisten Reisen nicht über die Pole erfolgen.
-
-Der Polarforscher, der in unmittelbarer Umgebung des Poles arbeitet,
-kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet
-um den Pol erstellt.
-Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch
-ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben,
-wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite
-umrechnen will.
-Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss
-er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem
-umrechnen können auf die Kugelkoordinaten.
-Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten
-auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein.
-
-Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert.
-Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten,
-die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren
-verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann.
-Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge
-$U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$.
-Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf}
-\caption{Karten
-$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$
-und
-$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$
-auf einem Torus.
-Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$
-ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert
-und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
-entstehen soll.
-\label{buch:gruppen:fig:karten}}
-\end{figure}
-
-\begin{definition}
-Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung
-$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch
-Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}).
-Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$
-derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$
-überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen
-\[
-\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}
-\colon
-\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)
-\to
-\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)
-\]
-als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
-ist.
-Eine {$n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine
-Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas.
-\end{definition}
-
-Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale
-Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen.
-
-\begin{beispiel}
-$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn 
-die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein
-Atlas von $M$.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf}
-\caption{Karten für die Kreislinie $S^1\subset\mathbb{R}^2$.
-\label{buch:gruppen:fig:kartenkreis}}
-\end{figure}
-Die Kreislinie in in der Ebene ist eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
-Natürlich kann sie nicht mit einer einzigen Karte beschrieben werden,
-da es keine umkehrbaren Abbildungen zwischen $\mathbb{R}$ und der Kreislinie
-gibt.
-Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden
-vier Karten:
-\begin{align*}
-\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto y
-\\
-\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto y
-\\
-\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto x
-\\
-\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto x
-\end{align*}
-Die Werte der Kartenabbildungen sind genau die $x$- und $y$-Koordinaten
-auf der in den Raum $\mathbb{R}^2$ eingebetteten Kreislinie.
-
-Für $\varphi_1$ und $\varphi_2$ sind die Definitionsgebiete disjunkt,
-hier gibt es also keine Notwendigkeit, Koordinatenumrechnungen vornehmen
-zu können.
-Dasselbe gilt für $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
-
-Die nichtleeren Schnittmengen der verschiedenen Kartengebiete beschreiben
-jeweils die Punkte der Kreislinie in einem Quadranten.
-Die Umrechnung zwischen den Koordinaten und ihre Ableitung
-ist je nach Quadrant durch
-\begin{align*}
-&\text{1.~Quadrant}&
-\varphi_{31}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{31}
-&=
--\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
-\\
-&\text{2.~Quadrant}&
-\varphi_{24}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{24}
-&=
--\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
-\\
-&\text{3.~Quadrant}&
-\varphi_{42}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{42}
-&=
-\phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
-\\
-&\text{4.~Quadrant}&
-\varphi_{14}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{14}
-&=
-\phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
-\end{align*}
-gegeben.
-Diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar,
-Schwierigkeiten mit der Ableitungen ergeben sich nur an den Stellen
-$x=\pm1$ und $y=\pm 1$, die in einem Überschneidungsgebiet von Karten
-nicht vorkommen können.
-Somit bilden die vier Karten einen differenzierbaren Atlas für
-die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}).
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich
-für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre
-\[
-S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\}
-\]
-immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen
-\[
-\varphi_{i,\pm}
-\colon
-U_{i,\pm}
-=
-\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\}
-\to
-\mathbb{R}^n
-:
-p\mapsto (x_1,\dots,\hat{x}_i,\dots,x_{n+1})
-\]
-konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht.
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Tangentialraum}
-Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$
-kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten 
-$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. 
-Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein
-soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist,
-wird von der Karte in eine Kurve
-$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$ 
-abgebildet,
-deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist.
-
-Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve
-mit der Parametrisierung
-$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ 
-und einem anderen Tangentialvektor.
-Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der
-Koordinatenwechsel-Abbildung
-$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon
-\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$
-ineinander umgerechnet werden.
-Aus
-\[
-\gamma_\beta
-=
-\varphi_\beta\circ \gamma
-=
-(
-\varphi_\beta
-\circ
-\varphi_\alpha^{-1}
-)
-\circ
-\varphi_\alpha\circ\gamma
-=
-\varphi_{\beta\alpha}
-\circ
-\varphi_\alpha\circ\gamma
-=
-\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha
-\]
-folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass
-\[
-\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t)
-=
-D\varphi_{\beta\alpha}
-\cdot
-\frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t).
-\]
-Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$ 
-an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor
-einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der
-Kurve in der Karte $\varphi_\beta$.
-
-Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen
-$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung
-eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen
-Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der
-Mannigfaltigkeit führt.
-Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug,
-mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer
-Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem
-ohne Singularitäten umgangen werden kann.
-
-\begin{beispiel}
-Das Beispiel des Kreises in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
-zeigt, dass die Tangentialvektoren je nach Karte sehr verschieden
-aussehen können.
-Der Tangentialvektor der Kurve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ im Punkt
-$\gamma(t)$ ist $\dot{y}(t)$ in den Karten $\varphi_1$ und $\varphi_2$ 
-und $\dot{x}(t)$ in den Karten $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
-
-Die spezielle Kurve $\gamma(t) = (\cos t,\sin t)$ hat in einem Punkt
-$t\in (0,\frac{\pi}2)$.
-in der Karte $\varphi_1$ den Tangentialvektor $\dot{y}(t)=\cos t$,
-in der Karte $\varphi_3$ aber den Tangentialvektor $\dot{x}=-\sin t$.
-Die Ableitung des Kartenwechsels in diesem Punkt ist die $1\times 1$-Matrix
-\[
-D\varphi_{31}(\gamma(t))
-=
--\frac{y(t)}{\sqrt{1-y(t)^2}}
-=
--\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}
-=
--\frac{\sin t}{\cos t}
-=
--\tan t.
-\]
-Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch
-\[
-\dot{x}(t)
-=
-D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
-\dot{y}(t)
-\]
-wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu
-\[
-D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
-\cdot
-\dot{y}(t)
-=
--\tan t\cdot \cos t
-=
--\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t
-=
--\sin t
-=
-\dot{x}(t).
-\qedhere
-\]
-\end{beispiel}
-
-Betrachtet man die Kreislinie als Kurve in $\mathbb{R}^2$,
-dann ist der Tangentialvektor durch
-$\dot{\gamma}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ gegeben.
-Da die Karten Projektionen auf die $x$- bzw.~$y$-Achsen sind,
-entsteht der Tangentialvektor in der Karte durch Projektion
-von $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ auf die entsprechende Komponente.
-
-Die Tangentialvektoren in zwei verschiedenen Punkten der Kurve können
-im Allgemeinen nicht miteinander verglichen werden.
-Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie
-in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren
-durch Translation miteinander vergleichen lassen.
-Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat, 
-betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente,
-für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht
-der Fall.
-
-Eine Möglichkeit, einen Tangentialvektor in $(1,0)$ mit einem
-Tangentialvektor im Punkt $(\cos t,\sin t)$ zu vergleichen, besteht
-darin, den Vektor um den Winkel $t$ zu drehen.
-Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie,
-nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$
-in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden.
-Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich.
-Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden.
-
-Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, 
-einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie
-Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit
-transportiert werden können.
-Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich
-zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert.
-Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer
-Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben.
-Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter
-Riemannscher Mannigfaltigkeiten.
-
-\subsection{Der Satz von Noether
-\label{buch:subsection:noether}}
-
-
-
-
-
-
-
+%

+% symmetrien.tex -- Geometrische Beschreibung von Symmetrien, O(n), SO(n),

+%                   Spiegelungen

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Symmetrien

+\label{buch:section:symmetrien}}

+\rhead{Symmetrien}

+Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines

+geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst

+abgebildet wird.

+Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass}

+bedeutet.

+Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus,

+dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen

+der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch

+Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des

+Begriffs verständlich macht.

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg}

+\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen

+Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut.

+Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes

+ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken

+in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt.

+\label{buch:lie:bild:castlehoward}}

+\end{figure}

+In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte

+Bedeutung gegeben.

+Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht

+verändert, wird als Symmetrie bezeichnet.

+Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den

+den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt,

+eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des

+Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist

+eine Symmetrie des Systems.

+

+Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat.

+Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon

+ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden.

+Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die

+durch Matrizen beschrieben weren.

+Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine

+Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der

+invertierbaren Matrizen.

+Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen,

+denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen.

+Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine

+zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare

+Mannigfaltigkeit.

+Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit}

+eingeführt.

+Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der

+Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen,

+die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind.

+

+Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare

+Mannigfaltigkeit ist.

+Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren

+ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht

+und verstanden werden können.

+Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu

+schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren}

+durchgeführt werden soll.

+

+\subsection{Algebraische Symmetrien

+\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}}

+Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem

+oder in einem physikalischen System beschreiben.

+Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die

+Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene,

+wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen

+\[

+\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x

+\qquad\text{oder}\qquad

+\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 :

+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

+\mapsto

+\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

+\]

+dargestellt werden.

+Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit

+das Skalarprodukt erhalten sind.

+Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen

+zu unterscheiden.

+Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle

+Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden.

+Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die

+Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und

+ihre Normale erhalten.

+Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen

+auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen.

+

+Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der 

+ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ symmetrisch ist, können wir

+sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind.

+Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$

+u.~s.~w., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden,

+ebenfalls Symmetrien.

+Wenn die Symmetrie auch umkehrbar ist, dann gilt dies sogar für alle

+$n\in\mathbb{Z}$.

+Wir erhalten so eine Abbildung

+$\varphi\colon \mathbb{Z}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}):n\mapsto f^n$

+mit den Eigenschaften $\varphi(0)=f^0 = I$ und

+$\varphi(n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m = \varphi(n)\circ\varphi(m)$.

+$\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe

+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.

+Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}.

+

+\subsection{Kontinuierliche Symmetrien

+\label{buch:subsection:kontinuierliche-symmetrien}}

+Von besonderem Interesse sind kontinuierliche Symmetrien.

+Dies sind Abbildungen eines Systems, die von einem Parameter

+abhängen.

+Zum Beispiel können wir Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den

+Winkel $\alpha$ durch Matrizen 

+\[

+D_{\alpha}

+=

+\begin{pmatrix}

+\cos\alpha&-\sin\alpha\\

+\sin\alpha& \cos\alpha

+\end{pmatrix}

+\]

+beschrieben werden.

+Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant.

+Im Gegensatz dazu sind alle $3n$-Ecke mit Schwerpunkt $0$ nur invariant

+unter der einen Drehung $D_{\frac{2\pi}3}$ invariant.

+Die kleinste Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter

+allen Drehungen $D_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um

+den Nullpunkt.

+

+\begin{definition}

+Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$

+von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe

+heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von

+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.

+\end{definition}

+

+Die Abbildung 

+\[

+\varphi

+\colon

+\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})

+:

+\alpha \mapsto

+D_{\alpha}

+=

+\begin{pmatrix}

+\cos\alpha&-\sin\alpha\\

+\sin\alpha& \cos\alpha

+\end{pmatrix}

+\]

+ist also eine Einparameter-Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.

+

+\subsubsection{Der harmonische Oszillator}

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf}

+\caption{Die Lösungen der

+Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}

+im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$.

+\label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}}

+\end{figure}

+Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$

+schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung

+\[

+m\frac{d^2}{dt^2} x(t) =  -Kx(t).

+\]

+Die Kreisfrequenz der Schwingung ist

+\[

+\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}.

+\]

+Das System kann als zweidimensionales System im Phasenraum mit den 

+Koordinaten $x_1=x$ und $x_2=p=m\dot{x}$ beschrieben werden.

+Die zweidimensionale Differentialgleichung ist

+\begin{equation}

+\left.

+\begin{aligned}

+\dot{x}(t) &= \frac{1}{m}p(t)\\

+\dot{p}(t) &= -Kx(t) 

+\end{aligned}

+\quad

+\right\}

+\qquad\Rightarrow\qquad

+\frac{d}{dt}

+\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+0&\frac{1}{m}\\

+-K&0

+\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}.

+\label{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}

+\end{equation}

+Die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangsbedingung $x(0)=1$ und

+$p(0)=0$ ist

+\[

+x(t)

+=

+\cos \omega t

+\qquad\Rightarrow\qquad

+p(t)

+=

+-\omega \sin\omega t,

+\]

+die Lösung zur Anfangsbedingung $x(0)=0$ und $p(0)=1$ ist

+\[

+x(t) = \frac{1}{\omega} \sin\omega t,

+\qquad

+p(t) = \cos \omega t.

+\]

+In Matrixform kann man die allgemeine Lösung zur Anfangsbedingun $x(0)=x_0$

+und $p(0)=p_0$

+\begin{equation}

+\begin{pmatrix}

+x(t)\\

+p(t)

+\end{pmatrix}

+=

+\underbrace{

+\begin{pmatrix}

+ \cos \omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\

+-\omega \sin\omega t & \cos\omega t

+\end{pmatrix}

+}_{\displaystyle =\Phi_t}

+\begin{pmatrix}x_0\\p_0\end{pmatrix}

+\label{buch:gruppen:eqn:phi}

+\end{equation}

+schreiben.

+Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameter-Untergruppe von

+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da

+\begin{align*}

+\Phi_s\Phi_t

+&=

+\begin{pmatrix}

+ \cos\omega s & \frac{1}{\omega} \sin\omega s \\

+-\omega \sin\omega s & \cos\omega s

+\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}

+ \cos\omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\

+-\omega \sin\omega t & \cos\omega t

+\end{pmatrix}

+\\

+&=

+\begin{pmatrix}

+\cos\omega s \cos\omega t - \sin\omega s \sin\omega t 

+& \frac{1}{\omega} ( \cos\omega s \sin\omega t + \sin\omega s \cos \omega t)

+\\

+-\omega (\sin\omega s \cos\omega t + \cos\omega s \sin\omega t )

+& \cos\omega s \cos\omega t -\sin\omega s \sin\omega t 

+\end{pmatrix}

+\\

+&=

+\begin{pmatrix}

+ \cos\omega(s+t) & \frac{1}{\omega}\sin\omega(s+t) \\

+-\omega \sin\omega(s+t) & \cos\omega(s+t)

+\end{pmatrix}

+=

+\Phi_{s+t}

+\end{align*}

+gilt.

+Die Lösungen der 

+Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}

+sind in Abbildung~\ref{chapter:gruppen:fig:phasenraum}

+Die Matrizen $\Phi_t$ beschreiben eine kontinuierliche Symmetrie

+des Differentialgleichungssystems, welches den harmonischen Oszillator

+beschreibt.

+

+\subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung}

+Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils

+Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.

+Der Grund dafür ist, dass die

+Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}

+linear ist.

+Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$

+die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch

+Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also

+aus der Formel

+\[

+\Phi_t (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda \Phi_t x_1 + \mu \Phi_t x_2.

+\]

+Dies zeigt, dass $\Phi_t$ für jedes $t$ eine lineare Abbildung sein muss.

+

+Für eine beliebige Differentialgleichung kann man immer noch eine Abbildung

+$\Phi$ konstruieren, die aber nicht mehr linear ist.

+Sei dazu die Differentialgleichung erster Ordnung

+\begin{equation}

+\frac{dx}{dt}

+=

+f(t,x)

+\qquad\text{mit}\qquad

+f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

+\label{buch:gruppen:eqn:dgl}

+\end{equation}

+gegeben.

+Für jeden Anfangswert $x_0\in\mathbb{R}^n$ kann man mindestens für eine

+gewisse Zeit $t <\varepsilon$ eine Lösung $x(t,x_0)$ finden mit $x(t,x_0)=x_0$.

+Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist auch

+bekannt, dass $x(t,x_0)$ mindestens in der Nähe von $x_0$ differenzierbar von

+$x_0$ abhängt.

+Dies erlaubt eine Abbildung

+\[

+\Phi\colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

+:

+(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)

+\]

+zu definieren, die sowohl von $t$ als auch von $x_0$ differenzierbar

+abhängt.

+Aus der Definition folgt unmittelbar, dass $\Phi_0(x_0)=x_0$ ist, dass

+also $\Phi_0$ die identische Abbildung von $\mathbb{R}^n$ ist.

+

+Aus der Definition lässt sich auch ableiten, dass

+$\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ gilt.

+$\Phi_t(x_0)=x(t,x_0)$ ist der Endpunkt der Bahn, die bei $x_0$ beginnt

+und sich während der Zeit $t$ entwickelt.

+$\Phi_s(x(t,x_0))$ ist dann der Endpunkt der Bahn, die bei $x(t,x_0)$ 

+beginnt und sich während der Zeit $s$ entwickelt.

+Somit ist $\Phi_s\circ \Phi_t(x_0)$ der Endpunkt der Bahn, die bei

+$x_0$ beginnt und sich über die Zeit $s+t$ entwickelt.

+In Formeln bedeutet dies

+\[

+\Phi_{s+t} = \Phi_s\circ \Phi_t.

+\]

+Die Abbildung $t\mapsto \Phi_t$ ist also wieder ein Homomorphismus

+von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in eine Gruppe von differenzierbaren

+Abbildungen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$.

+

+\begin{definition}

+Die Abbildung

+\[

+\Phi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n

+:

+(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)

+\]

+heisst der {\em Fluss} der Differentialgleichung

+\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl},

+wenn für jedes $x_0\in\mathbb{R}^n$ die Kurve $t\mapsto \Phi_t(x_0)$

+eine Lösung der Differentialgleichung ist mit Anfangsbedingung $x_0$.

+\end{definition}

+

+Die Abbildung $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} ist also

+der Fluss der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators.

+

+\subsection{Mannigfaltigkeiten

+\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}}

+Eine Differentialgleichung der Form~\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl}

+stellt einen Zusammenhang her zwischen einem Punkt $x$ und der

+Tangentialrichtung einer Bahnkurve $f(t,x)$.

+Die Ableitung liefert die lineare Näherung der Bahkurve

+\[

+x(t_0+h) = x(t_0) + h f(t_0,x_0) + o(h)

+\]

+für $h$ in einer kleinen Umgebung von $0$.

+Das funktioniert auch, weil $f(t_0,x_0)$ selbst ein Vektor von

+$\mathbb{R}^n$ ist, in dem die Bahnkurve verläuft.

+

+Diese Idee funktioniert nicht mehr zum Beispiel für eine

+Differentialgleichung auf einer Kugeloberfläche, weil alle Punkte

+$x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche

+liegen.

+Physikalisch äussert sich das ein einer zusätzlichen Kraft, die nötig

+ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten.

+Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für

+Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind.

+Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor 

+nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert

+werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als

+in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann.

+

+Um die Idee der Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche

+konsistent zu machen ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung

+auf eine Art zu definieren, die nicht von der Einbettung der Fläche

+in den $n$-dimensionalen Raum abhängig ist.

+Das in diesem Abschnitt entwickelte Konzept der {\em Mannigfaltigkeit}

+löst dieses Problem.

+

+\subsubsection{Karten}

+Die Navigation auf der Erdoberfläche verwendet das Koordinatensystem

+der geographischen Länge und Breite.

+Dieses Koordinatensystem funktioniert gut, solange man sich nicht an

+den geographischen Polen befindet, denn deren Koordinaten sind

+nicht mehr eindeutig.

+Alle Punkte mit geographischer Breite $90^\circ$ und beliebiger 

+geographischer Länge beschreiben den Nordpol.

+Auch die Ableitung funktioniert dort nicht mehr.

+Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Nordpol,

+springt die Ableitung der geographischen Breite von einem positiven

+Wert auf einen negativen Wert, sie kann also nicht differenzierbar sein.

+Diese Einschränkungen sind in der Praxis nur ein geringes Problem dar,

+da die meisten Reisen nicht über die Pole erfolgen.

+

+Der Polarforscher, der in unmittelbarer Umgebung des Poles arbeitet,

+kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet

+um den Pol erstellt.

+Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch

+ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben,

+wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite

+umrechnen will.

+Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss

+er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem

+umrechnen können auf die Kugelkoordinaten.

+Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten

+auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein.

+

+Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert.

+Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten,

+die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren

+verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann.

+Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge

+$U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$.

+Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}.

+

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf}

+\caption{Karten

+$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$

+und

+$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$

+auf einem Torus.

+Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$

+ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert

+und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit

+entstehen soll.

+\label{buch:gruppen:fig:karten}}

+\end{figure}

+

+\begin{definition}

+Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung

+$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch

+Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}).

+Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$

+derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$

+überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen

+\[

+\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}

+\colon

+\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)

+\to

+\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)

+\]

+als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar

+ist.

+Eine {$n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine

+Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas.

+\end{definition}

+

+Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale

+Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen.

+

+\begin{beispiel}

+$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn 

+die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein

+Atlas von $M$.

+\end{beispiel}

+

+\begin{beispiel}

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf}

+\caption{Karten für die Kreislinie $S^1\subset\mathbb{R}^2$.

+\label{buch:gruppen:fig:kartenkreis}}

+\end{figure}

+Die Kreislinie in in der Ebene ist eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit.

+Natürlich kann sie nicht mit einer einzigen Karte beschrieben werden,

+da es keine umkehrbaren Abbildungen zwischen $\mathbb{R}$ und der Kreislinie

+gibt.

+Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden

+vier Karten:

+\begin{align*}

+\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R}

+:

+(x,y) \mapsto y

+\\

+\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R}

+:

+(x,y) \mapsto y

+\\

+\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R}

+:

+(x,y) \mapsto x

+\\

+\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R}

+:

+(x,y) \mapsto x

+\end{align*}

+Die Werte der Kartenabbildungen sind genau die $x$- und $y$-Koordinaten

+auf der in den Raum $\mathbb{R}^2$ eingebetteten Kreislinie.

+

+Für $\varphi_1$ und $\varphi_2$ sind die Definitionsgebiete disjunkt,

+hier gibt es also keine Notwendigkeit, Koordinatenumrechnungen vornehmen

+zu können.

+Dasselbe gilt für $\varphi_3$ und $\varphi_4$.

+

+Die nichtleeren Schnittmengen der verschiedenen Kartengebiete beschreiben

+jeweils die Punkte der Kreislinie in einem Quadranten.

+Die Umrechnung zwischen den Koordinaten und ihre Ableitung

+ist je nach Quadrant durch

+\begin{align*}

+&\text{1.~Quadrant}&

+\varphi_{31}

+&=

+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut}

+&

+D\varphi_{31}

+&=

+-\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}

+\\

+&\text{2.~Quadrant}&

+\varphi_{24}

+&=

+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut}

+&

+D\varphi_{24}

+&=

+-\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}

+\\

+&\text{3.~Quadrant}&

+\varphi_{42}

+&=

+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut}

+&

+D\varphi_{42}

+&=

+\phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}

+\\

+&\text{4.~Quadrant}&

+\varphi_{14}

+&=

+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut}

+&

+D\varphi_{14}

+&=

+\phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}

+\end{align*}

+gegeben.

+Diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar,

+Schwierigkeiten mit der Ableitungen ergeben sich nur an den Stellen

+$x=\pm1$ und $y=\pm 1$, die in einem Überschneidungsgebiet von Karten

+nicht vorkommen können.

+Somit bilden die vier Karten einen differenzierbaren Atlas für

+die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}).

+\end{beispiel}

+

+\begin{beispiel}

+Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich

+für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre

+\[

+S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\}

+\]

+immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen

+\[

+\varphi_{i,\pm}

+\colon

+U_{i,\pm}

+=

+\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\}

+\to

+\mathbb{R}^n

+:

+p\mapsto (x_1,\dots,\hat{x}_i,\dots,x_{n+1})

+\]

+konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht.

+\end{beispiel}

+

+\subsubsection{Tangentialraum}

+Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$

+kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten 

+$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. 

+Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein

+soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist,

+wird von der Karte in eine Kurve

+$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$ 

+abgebildet,

+deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist.

+

+Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve

+mit der Parametrisierung

+$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ 

+und einem anderen Tangentialvektor.

+Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der

+Koordinatenwechsel-Abbildung

+$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon

+\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$

+ineinander umgerechnet werden.

+Aus

+\[

+\gamma_\beta

+=

+\varphi_\beta\circ \gamma

+=

+(

+\varphi_\beta

+\circ

+\varphi_\alpha^{-1}

+)

+\circ

+\varphi_\alpha\circ\gamma

+=

+\varphi_{\beta\alpha}

+\circ

+\varphi_\alpha\circ\gamma

+=

+\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha

+\]

+folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass

+\[

+\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t)

+=

+D\varphi_{\beta\alpha}

+\cdot

+\frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t).

+\]

+Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$ 

+an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor

+einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der

+Kurve in der Karte $\varphi_\beta$.

+

+Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen

+$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung

+eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen

+Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der

+Mannigfaltigkeit führt.

+Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug,

+mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer

+Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem

+ohne Singularitäten umgangen werden kann.

+

+\begin{beispiel}

+Das Beispiel des Kreises in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}

+zeigt, dass die Tangentialvektoren je nach Karte sehr verschieden

+aussehen können.

+Der Tangentialvektor der Kurve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ im Punkt

+$\gamma(t)$ ist $\dot{y}(t)$ in den Karten $\varphi_1$ und $\varphi_2$ 

+und $\dot{x}(t)$ in den Karten $\varphi_3$ und $\varphi_4$.

+

+Die spezielle Kurve $\gamma(t) = (\cos t,\sin t)$ hat in einem Punkt

+$t\in (0,\frac{\pi}2)$.

+in der Karte $\varphi_1$ den Tangentialvektor $\dot{y}(t)=\cos t$,

+in der Karte $\varphi_3$ aber den Tangentialvektor $\dot{x}=-\sin t$.

+Die Ableitung des Kartenwechsels in diesem Punkt ist die $1\times 1$-Matrix

+\[

+D\varphi_{31}(\gamma(t))

+=

+-\frac{y(t)}{\sqrt{1-y(t)^2}}

+=

+-\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}

+=

+-\frac{\sin t}{\cos t}

+=

+-\tan t.

+\]

+Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch

+\[

+\dot{x}(t)

+=

+D\varphi_{31}(\gamma(t)) 

+\dot{y}(t)

+\]

+wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu

+\[

+D\varphi_{31}(\gamma(t)) 

+\cdot

+\dot{y}(t)

+=

+-\tan t\cdot \cos t

+=

+-\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t

+=

+-\sin t

+=

+\dot{x}(t).

+\qedhere

+\]

+\end{beispiel}

+

+Betrachtet man die Kreislinie als Kurve in $\mathbb{R}^2$,

+dann ist der Tangentialvektor durch

+$\dot{\gamma}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ gegeben.

+Da die Karten Projektionen auf die $x$- bzw.~$y$-Achsen sind,

+entsteht der Tangentialvektor in der Karte durch Projektion

+von $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ auf die entsprechende Komponente.

+

+Die Tangentialvektoren in zwei verschiedenen Punkten der Kurve können

+im Allgemeinen nicht miteinander verglichen werden.

+Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie

+in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren

+durch Translation miteinander vergleichen lassen.

+Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat, 

+betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente,

+für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht

+der Fall.

+

+Eine Möglichkeit, einen Tangentialvektor in $(1,0)$ mit einem

+Tangentialvektor im Punkt $(\cos t,\sin t)$ zu vergleichen, besteht

+darin, den Vektor um den Winkel $t$ zu drehen.

+Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie,

+nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$

+in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden.

+Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich.

+Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden.

+

+Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, 

+einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie

+Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit

+transportiert werden können.

+Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich

+zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert.

+Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer

+Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben.

+Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter

+Riemannscher Mannigfaltigkeiten.

+

+\subsection{Der Satz von Noether

+\label{buch:subsection:noether}}

+

+

+

+

+

+

+

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
index 2acf6f6..5c973fd 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
@@ -1,233 +1,233 @@
-Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$
-um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$
-ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$.
-Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht
-darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation
-schreiben.
-Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden,
-indem zunächst die Ebene mit
-\[
-\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3
-:
-\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}
-\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad
-\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-\]
-in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird.
-Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form
-\[
-\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-\]
-als Matrizenoperation geschrieben werden.
-Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher
-die Gruppe
-\[
-G
-=
-\left\{
-\left.
-A
-=
-\begin{pmatrix}
-D_\alpha&\vec{t}\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\
-\sin\alpha &  \cos\alpha & t_y \\
-     0     &       0     &  1
-\end{pmatrix}
-\;
-\right|
-\;
-\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2
-\right\}
-\]
-Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab.
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen 
-$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$
-wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie
-$\alpha$ und $\vec{t}_j$.
-\item
-Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$.
-\item
-Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$
-und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$.
-Rechnen Sie nach, dass
-\[
-\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix},
-\quad
-t_x\mapsto
-\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix},
-\qquad
-t_y\mapsto
-\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-Einparameteruntergruppen von $G$ sind.
-\item
-Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$,
-die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören.
-\item
-Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren.
-\end{teilaufgaben}
-
-\begin{loesung}
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}.
-\end{align*}
-Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher
-\[
-(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2)
-=
-(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2)
-\]
-geschrieben werden.
-\item
-Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$
-kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$
-auflöst:
-\begin{align*}
-\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}
-&&\Rightarrow&
-D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x}
-\\
-&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t})
-\end{align*}
-Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$.
-\item
-Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist,
-ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe.
-Für die beiden anderen gilt
-\[
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-=
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-\quad\text{und}\quad
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr)
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr)
-=
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr),
-\]
-also sind dies auch Einparameteruntergruppen.
-\item
-Die Ableitungen sind
-\begin{align*}
-D
-&=
-\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0}
-=
-\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&-1&0\\
-1& 0&0\\
-0& 0&0
-\end{pmatrix}
-\\
-X
-&=
-\frac{d}{dt_x}
-\left.
-\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\right|_{t_x=0}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&1\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-&
-Y
-&=
-\frac{d}{dt_y}
-\left.
-\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\right|_{t_y=0}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item
-Die Vertauschungsrelationen sind
-\begin{align*}
-[D,X]
-&=
-DX-XD
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-Y
-\\
-[D,Y]
-&=
-DY-YD
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
--X
-\\
-[X,Y]
-&=
-XY-YX
-=
-0-0=0
-\qedhere
-\end{align*}
-\end{teilaufgaben}
-\end{loesung}
+Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$

+um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$

+ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$.

+Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht

+darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation

+schreiben.

+Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden,

+indem zunächst die Ebene mit

+\[

+\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3

+:

+\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

+\mapsto

+\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}

+\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad

+\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}

+\]

+in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird.

+Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form

+\[

+\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1

+\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}

+\]

+als Matrizenoperation geschrieben werden.

+Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher

+die Gruppe

+\[

+G

+=

+\left\{

+\left.

+A

+=

+\begin{pmatrix}

+D_\alpha&\vec{t}\\

+0&1

+\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\

+\sin\alpha &  \cos\alpha & t_y \\

+     0     &       0     &  1

+\end{pmatrix}

+\;

+\right|

+\;

+\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2

+\right\}

+\]

+Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab.

+\begin{teilaufgaben}

+\item

+Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen 

+$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$

+wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie

+$\alpha$ und $\vec{t}_j$.

+\item

+Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$.

+\item

+Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$

+und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$.

+Rechnen Sie nach, dass

+\[

+\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix},

+\quad

+t_x\mapsto

+\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix},

+\qquad

+t_y\mapsto

+\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}

+\]

+Einparameteruntergruppen von $G$ sind.

+\item

+Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$,

+die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören.

+\item

+Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren.

+\end{teilaufgaben}

+

+\begin{loesung}

+\begin{teilaufgaben}

+\item

+Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist

+\begin{align*}

+\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}

+&=

+\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1

+\end{pmatrix}

+\\

+&=

+\begin{pmatrix}

+D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1

+\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\

+0&1

+\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}.

+\end{align*}

+Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher

+\[

+(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2)

+=

+(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2)

+\]

+geschrieben werden.

+\item

+Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$

+kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$

+auflöst:

+\begin{align*}

+\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}

+&&\Rightarrow&

+D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x}

+\\

+&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t})

+\end{align*}

+Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$.

+\item

+Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist,

+ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe.

+Für die beiden anderen gilt

+\[

+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr)

+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)

+=

+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)

+\quad\text{und}\quad

+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr)

+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr)

+=

+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr),

+\]

+also sind dies auch Einparameteruntergruppen.

+\item

+Die Ableitungen sind

+\begin{align*}

+D

+&=

+\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0}

+=

+\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+0&-1&0\\

+1& 0&0\\

+0& 0&0

+\end{pmatrix}

+\\

+X

+&=

+\frac{d}{dt_x}

+\left.

+\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}

+\right|_{t_x=0}

+=

+\begin{pmatrix}

+0&0&1\\

+0&0&0\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+&

+Y

+&=

+\frac{d}{dt_y}

+\left.

+\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}

+\right|_{t_y=0}

+=

+\begin{pmatrix}

+0&0&0\\

+0&0&1\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+\end{align*}

+\item

+Die Vertauschungsrelationen sind

+\begin{align*}

+[D,X]

+&=

+DX-XD

+=

+\begin{pmatrix}

+0&0&0\\

+0&0&1\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}

+0&0&0\\

+0&0&0\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+=

+Y

+\\

+[D,Y]

+&=

+DY-YD

+=

+\begin{pmatrix}

+0&0&-1\\

+0&0&0\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}

+0&0&0\\

+0&0&0\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+=

+-X

+\\

+[X,Y]

+&=

+XY-YX

+=

+0-0=0

+\qedhere

+\end{align*}

+\end{teilaufgaben}

+\end{loesung}

diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
index 14fbe2b..25ac535 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
@@ -1,162 +1,162 @@
-Die Elemente der Gruppe $G$ der Translationen und Streckungen von
-$\mathbb{R}$ kann durch Paare $(\lambda,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$
-beschrieben werden,
-wobei $\lambda$ durch Streckung und $t$ durch Translation wirkt:
-\[
-(\lambda,t)\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\mapsto \lambda x+t.
-\]
-Dies ist allerdings noch keine Untergruppe einer Matrizengruppe.
-Dazu bettet man $\mathbb{R}$ mit Hilfe der Abbildung
-\[
-\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : x\mapsto \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}
-\]
-in $\mathbb{R}^2$ ein.
-Die Wirkung von $(\lambda,t)$ ist dann
-\[
-\begin{pmatrix}(\lambda,t)\cdot x\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix} \lambda x + t\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.
-\]
-Die Wirkung des Paares $(\lambda,t)$ kann also mit Hilfe einer 
-$2\times 2$-Matrix beschrieben werden.
-Die Abbildung
-\[
-G\to \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})
-:
-(\lambda,t)
-\mapsto
-\begin{pmatrix}\lambda&t\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-bettet die Gruppe $G$ in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ ein.
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Berechnen Sie das Produkt $g_1g_2$ zweier Elemente
-$g_j=(\lambda_j,t_j)$.
-\item 
-Bestimmen Sie das inverse Elemente von $(\lambda,t)$ in $G$.
-\item
-Der sogenannte Kommutator zweier Elemente ist $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$,
-berechnen Sie den Kommutator für die Gruppenelemente von a).
-\item
-Rechnen Sie nach, dass
-\[
-s\mapsto \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}
-,\qquad
-t\mapsto \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-Einparameteruntergruppen von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ sind.
-\item
-Berechnen Sie die Tangentialvektoren $S$ und $T$ dieser beiden
-Einparameteruntergruppen.
-\item
-Berechnen Sie den Kommutator $[S,T]$
-\end{teilaufgaben}
-
-\begin{loesung}
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Die beiden Gruppenelemente wirken auf $x$ nach
-\[
-(\lambda_1,t_1)
-(\lambda_2,t_2)
-\cdot
-x
-=
-(\lambda_1,t_1)(\lambda_2x+t_2)
-=
-\lambda_1(\lambda_2x+t_2)+t_1)
-=
-\lambda_1\lambda_2 x + (\lambda_1t_2+t_1),
-\]
-also ist $g_1g_2=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1t_2+t_1)$.
-\item
-Die Inverse von $(\lambda,t)$ kann erhalten werden, indem man die
-Abbildung $x\mapsto y=\lambda x +t$ nach $x$ auflöst:
-\[
-y=\lambda x+t
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\lambda^{-1}(y-t)
-=
-\lambda^{-1}y - \lambda^{-1}t.
-\]
-Daraus liest man ab, dass $(\lambda,t)^{-1}=(\lambda^{-1},-\lambda^{-1}t)$
-ist.
-\item
-Mit Hilfe der Identität $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=g_1g_2(g_2g_1)^{-1}$
-kann man den Kommutator leichter berechnen
-\begin{align*}
-g_1g_2&=(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
-\\
-g_2g_1&= (\lambda_2\lambda_1,t_2+\lambda_2t_1)
-\\
-(g_2g_1)^{-1}
-&=
-(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
-	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
-\\
-g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}
-&=
-(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
-(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
-	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
-\\
-&=(1,t_1+\lambda_1t_2 + \lambda_1\lambda_2(
-	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
-)
-\\
-&=(1, t_1+\lambda_1t_2 - t_2 -\lambda_2t_1)
-=
-(1,(1-\lambda_2)(t_1-t_2)).
-\end{align*}
-Der Kommutator ist also das neutrale Element, wenn $\lambda_2=1$ ist.
-\item
-Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen:
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
-&
-\begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item
-Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der
-Matrixdarstellung nach dem Parameter
-\begin{align*}
-S
-&=
-\frac{d}{ds} \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{s=0}
-=
-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-\\
-T
-&=
-\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0}
-=
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item Der Kommutator ist
-\[
-[S,T]
-=
-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-T.
-\qedhere
-\]
-\end{teilaufgaben}
-\end{loesung}
-
+Die Elemente der Gruppe $G$ der Translationen und Streckungen von

+$\mathbb{R}$ kann durch Paare $(\lambda,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$

+beschrieben werden,

+wobei $\lambda$ durch Streckung und $t$ durch Translation wirkt:

+\[

+(\lambda,t)\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\mapsto \lambda x+t.

+\]

+Dies ist allerdings noch keine Untergruppe einer Matrizengruppe.

+Dazu bettet man $\mathbb{R}$ mit Hilfe der Abbildung

+\[

+\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : x\mapsto \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}

+\]

+in $\mathbb{R}^2$ ein.

+Die Wirkung von $(\lambda,t)$ ist dann

+\[

+\begin{pmatrix}(\lambda,t)\cdot x\\1\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix} \lambda x + t\\1\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.

+\]

+Die Wirkung des Paares $(\lambda,t)$ kann also mit Hilfe einer 

+$2\times 2$-Matrix beschrieben werden.

+Die Abbildung

+\[

+G\to \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})

+:

+(\lambda,t)

+\mapsto

+\begin{pmatrix}\lambda&t\\0&1\end{pmatrix}

+\]

+bettet die Gruppe $G$ in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ ein.

+\begin{teilaufgaben}

+\item

+Berechnen Sie das Produkt $g_1g_2$ zweier Elemente

+$g_j=(\lambda_j,t_j)$.

+\item 

+Bestimmen Sie das inverse Elemente von $(\lambda,t)$ in $G$.

+\item

+Der sogenannte Kommutator zweier Elemente ist $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$,

+berechnen Sie den Kommutator für die Gruppenelemente von a).

+\item

+Rechnen Sie nach, dass

+\[

+s\mapsto \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}

+,\qquad

+t\mapsto \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}

+\]

+Einparameteruntergruppen von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ sind.

+\item

+Berechnen Sie die Tangentialvektoren $S$ und $T$ dieser beiden

+Einparameteruntergruppen.

+\item

+Berechnen Sie den Kommutator $[S,T]$

+\end{teilaufgaben}

+

+\begin{loesung}

+\begin{teilaufgaben}

+\item

+Die beiden Gruppenelemente wirken auf $x$ nach

+\[

+(\lambda_1,t_1)

+(\lambda_2,t_2)

+\cdot

+x

+=

+(\lambda_1,t_1)(\lambda_2x+t_2)

+=

+\lambda_1(\lambda_2x+t_2)+t_1)

+=

+\lambda_1\lambda_2 x + (\lambda_1t_2+t_1),

+\]

+also ist $g_1g_2=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1t_2+t_1)$.

+\item

+Die Inverse von $(\lambda,t)$ kann erhalten werden, indem man die

+Abbildung $x\mapsto y=\lambda x +t$ nach $x$ auflöst:

+\[

+y=\lambda x+t

+\qquad\Rightarrow\qquad

+\lambda^{-1}(y-t)

+=

+\lambda^{-1}y - \lambda^{-1}t.

+\]

+Daraus liest man ab, dass $(\lambda,t)^{-1}=(\lambda^{-1},-\lambda^{-1}t)$

+ist.

+\item

+Mit Hilfe der Identität $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=g_1g_2(g_2g_1)^{-1}$

+kann man den Kommutator leichter berechnen

+\begin{align*}

+g_1g_2&=(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)

+\\

+g_2g_1&= (\lambda_2\lambda_1,t_2+\lambda_2t_1)

+\\

+(g_2g_1)^{-1}

+&=

+(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},

+	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))

+\\

+g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}

+&=

+(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)

+(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},

+	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))

+\\

+&=(1,t_1+\lambda_1t_2 + \lambda_1\lambda_2(

+	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))

+)

+\\

+&=(1, t_1+\lambda_1t_2 - t_2 -\lambda_2t_1)

+=

+(1,(1-\lambda_2)(t_1-t_2)).

+\end{align*}

+Der Kommutator ist also das neutrale Element, wenn $\lambda_2=1$ ist.

+\item

+Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen:

+\begin{align*}

+\begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}

+&=

+\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}

+&

+\begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix}

+&=

+\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix}

+\end{align*}

+\item

+Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der

+Matrixdarstellung nach dem Parameter

+\begin{align*}

+S

+&=

+\frac{d}{ds} \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{s=0}

+=

+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

+\\

+T

+&=

+\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0}

+=

+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

+\end{align*}

+\item Der Kommutator ist

+\[

+[S,T]

+=

+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

+=

+T.

+\qedhere

+\]

+\end{teilaufgaben}

+\end{loesung}

+