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-% spektral.tex
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-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Spektrale Graphentheorie
-\label{buch:section:spektrale-graphentheorie}}
-\rhead{Spektrale Graphentheorie}
-Die Laplace-Matrix codiert alle wesentliche Information eines
-ungerichteten Graphen.
-Sie operiert auf Vektoren, die für jeden Knoten des Graphen eine
-Komponente haben.
-Dies eröffnet die Möglichkeit, den Graphen über die linearalgebraischen
-Eigenschaften der Laplace-Matrix zu studieren.
-
-\subsection{Grapheigenschaften und Spektrum von $L$
-\label{buch:subsection:grapheigenschaften-und-spektrum-von-l}}
-TODO XXX 
-
-\subsection{Wärmeleitung auf einem Graphen
-\label{buch:subsection:waermeleitung-auf-einem-graphen}}
-Die Vektoren, auf denen die Laplace-Matrix operiert, können betrachtet
-werden als Funktionen, die jedem Knoten einen Wert zuordnen.
-Eine mögliche physikalische Interpretation davon ist die Temperaturverteilung
-auf dem Graphen.
-Die Kanten zwischen den Knoten erlauben der Wärmeenergie, von einem Knoten
-zu einem anderen zu fliessen.
-Je grösser die Temperaturdifferenz zwischen zwei Knoten ist, desto
-grösser ist der Wärmefluss und desto schneller ändert sich die Temperatur
-der beteiligten Knoten.
-Die zeitliche Änderung der Temperatur $T_i$ im Knoten $i$ ist proportional
-\[
-\frac{dT_i}{dt}
-=
-\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} \kappa (T_j-T_i)
-=
--
-\kappa
-\biggl(
-d_iT_i
--
-\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} T_j
-\biggr)
-\]
-Der Term auf der rechten Seite ist genau die Wirkung der 
-Laplace-Matrix auf dem Vektor $T$ der Temperaturen:
-\begin{equation}
-\frac{dT}{dt}
-=
--\kappa L T.
-\label{buch:graphen:eqn:waermeleitung}
-\end{equation}
-Der Wärmefluss, der durch die
-Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} beschrieben
-wird, codiert ebenfalls wesentliche Informationen über den Graphen.
-Je mehr Kanten es zwischen verschiedenen Teilen eines Graphen gibt,
-desto schneller findet der Wärmeaustausch zwischen diesen Teilen
-statt.
-Die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung liefern also Informationen 
-über den Graphen.
-
-\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren
-\label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}}
-Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} 
-ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten,
-die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden.
-Die Lösung ist
-\[
-f(t) = e^{-\kappa Lt}f(0).
-\]
-
-Die Berechnung der Lösung mit der Matrixexponentialreihe ist ziemlich
-ineffizient, da grosse Matrizenprodukte berechnet werden müssen.
-Da die Matrix $L$ symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus 
-orthonormierten Eigenvektoren und die Eigenwerte sind reell.
-Wir bezeichnen die Eigenvektoren mit $f_1,\dots,f_n$  und die
-zugehörigen Eigenwerte mit $\lambda_i$.
-Die Funktion $f_i(t)= e^{-\kappa\lambda_it}f_i$ ist dann eine Lösung
-der Wärmeleitungsgleichung, denn die beiden Seiten
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt}f_i(t)
-&=
--\kappa\lambda_ie^{-\kappa\lambda_it}f_i
-=
--\kappa\lambda_i f_i(t)
-\\
--\kappa Lf_i(t)
-&=
--\kappa e^{-\kappa\lambda_it} Lf_i
-=
--\kappa e^{-\kappa\lambda_it} \lambda_i f_i
-=
--\kappa \lambda_i f_i(t)
-\end{align*}
-von \eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} stimmen überein.
-
-Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu einer beliebigen
-Anfangstemperaturverteilung $f$ kann durch Linearkombination aus 
-den Lösungen $f_i(t)$ zusammengesetzt werden.
-Dazu ist nötig, $f$ aus den Vektoren $f_i$ linear zu kombinieren.
-Da aber die $f_i$ orthonormiert sind, ist dies besonders einfach,
-die Koeffizienten sind die Skalarprodukte mit den Eigenvektoren:
-\[
-f=\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i.
-\]
-Daraus kann man die allgmeine Lösungsformel
-\begin{equation}
-f(t)
-=
-\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i(t)
-=
-\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle e^{-\kappa\lambda_i t}f_i
-\label{buch:graphen:eqn:eigloesung}
-\end{equation}
-ableiten.
-
-\subsection{Beispiel: Ein zyklischer Graph}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}
-\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem
-Graphen.
-\label{buch:graphen:fig:kreis}}
-\end{figure}
-Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen
-von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.
-Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-s_m(k)
-&=
-\sin\frac{2\pi mk}{n}
-\\
-c_m(k)
-&=
-\cos\frac{2\pi mk}{n}
-\end{aligned}
-\;
-\right\}
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-e_m(k)
-=
-e^{2\pi imk/n}
-=
-c_m(k) + is_m(k).
-\]
-Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist
-\[
-\langle e_m, e_{m'}\rangle
-=
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-\overline{e^{2\pi i km/n}}
-e^{2\pi ikm'/n}
-=
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}
-=
-\delta_{mm'}
-\]
-Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der
-Funktionen auf $G$.
-Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$
-die Funktionen
-\[
-c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}
-\]
-eine orthonormierte Basis.
-
-
-Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen
-Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.
-Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit
-Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.
-Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch
-\[
-(Lf)(v)
-=
-\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').
-\]
-
-\subsection{Standardbasis und Eigenbasis
-\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}
-Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear
-kombinieren lassen, ist die Standardbasis.
-Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten
-\[
-e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}
-1\qquad&v=v'\\
-0\qquad&\text{sonst.}
-\end{cases}
-\]
-
-
+%

+% spektral.tex

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Spektrale Graphentheorie

+\label{buch:section:spektrale-graphentheorie}}

+\rhead{Spektrale Graphentheorie}

+Die Laplace-Matrix codiert alle wesentliche Information eines

+ungerichteten Graphen.

+Sie operiert auf Vektoren, die für jeden Knoten des Graphen eine

+Komponente haben.

+Dies eröffnet die Möglichkeit, den Graphen über die linearalgebraischen

+Eigenschaften der Laplace-Matrix zu studieren.

+

+\subsection{Grapheigenschaften und Spektrum von $L$

+\label{buch:subsection:grapheigenschaften-und-spektrum-von-l}}

+TODO XXX 

+

+\subsection{Wärmeleitung auf einem Graphen

+\label{buch:subsection:waermeleitung-auf-einem-graphen}}

+Die Vektoren, auf denen die Laplace-Matrix operiert, können betrachtet

+werden als Funktionen, die jedem Knoten einen Wert zuordnen.

+Eine mögliche physikalische Interpretation davon ist die Temperaturverteilung

+auf dem Graphen.

+Die Kanten zwischen den Knoten erlauben der Wärmeenergie, von einem Knoten

+zu einem anderen zu fliessen.

+Je grösser die Temperaturdifferenz zwischen zwei Knoten ist, desto

+grösser ist der Wärmefluss und desto schneller ändert sich die Temperatur

+der beteiligten Knoten.

+Die zeitliche Änderung der Temperatur $T_i$ im Knoten $i$ ist proportional

+\[

+\frac{dT_i}{dt}

+=

+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} \kappa (T_j-T_i)

+=

+-

+\kappa

+\biggl(

+d_iT_i

+-

+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} T_j

+\biggr)

+\]

+Der Term auf der rechten Seite ist genau die Wirkung der 

+Laplace-Matrix auf dem Vektor $T$ der Temperaturen:

+\begin{equation}

+\frac{dT}{dt}

+=

+-\kappa L T.

+\label{buch:graphen:eqn:waermeleitung}

+\end{equation}

+Der Wärmefluss, der durch die

+Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} beschrieben

+wird, codiert ebenfalls wesentliche Informationen über den Graphen.

+Je mehr Kanten es zwischen verschiedenen Teilen eines Graphen gibt,

+desto schneller findet der Wärmeaustausch zwischen diesen Teilen

+statt.

+Die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung liefern also Informationen 

+über den Graphen.

+

+\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren

+\label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}}

+Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} 

+ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten,

+die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden.

+Die Lösung ist

+\[

+f(t) = e^{-\kappa Lt}f(0).

+\]

+

+Die Berechnung der Lösung mit der Matrixexponentialreihe ist ziemlich

+ineffizient, da grosse Matrizenprodukte berechnet werden müssen.

+Da die Matrix $L$ symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus 

+orthonormierten Eigenvektoren und die Eigenwerte sind reell.

+Wir bezeichnen die Eigenvektoren mit $f_1,\dots,f_n$  und die

+zugehörigen Eigenwerte mit $\lambda_i$.

+Die Funktion $f_i(t)= e^{-\kappa\lambda_it}f_i$ ist dann eine Lösung

+der Wärmeleitungsgleichung, denn die beiden Seiten

+\begin{align*}

+\frac{d}{dt}f_i(t)

+&=

+-\kappa\lambda_ie^{-\kappa\lambda_it}f_i

+=

+-\kappa\lambda_i f_i(t)

+\\

+-\kappa Lf_i(t)

+&=

+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} Lf_i

+=

+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} \lambda_i f_i

+=

+-\kappa \lambda_i f_i(t)

+\end{align*}

+von \eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} stimmen überein.

+

+Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu einer beliebigen

+Anfangstemperaturverteilung $f$ kann durch Linearkombination aus 

+den Lösungen $f_i(t)$ zusammengesetzt werden.

+Dazu ist nötig, $f$ aus den Vektoren $f_i$ linear zu kombinieren.

+Da aber die $f_i$ orthonormiert sind, ist dies besonders einfach,

+die Koeffizienten sind die Skalarprodukte mit den Eigenvektoren:

+\[

+f=\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i.

+\]

+Daraus kann man die allgmeine Lösungsformel

+\begin{equation}

+f(t)

+=

+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i(t)

+=

+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle e^{-\kappa\lambda_i t}f_i

+\label{buch:graphen:eqn:eigloesung}

+\end{equation}

+ableiten.

+

+\subsection{Beispiel: Ein zyklischer Graph}

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}

+\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem

+Graphen.

+\label{buch:graphen:fig:kreis}}

+\end{figure}

+Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen

+von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.

+Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:

+\[

+\left.

+\begin{aligned}

+s_m(k)

+&=

+\sin\frac{2\pi mk}{n}

+\\

+c_m(k)

+&=

+\cos\frac{2\pi mk}{n}

+\end{aligned}

+\;

+\right\}

+\quad

+\Rightarrow

+\quad

+e_m(k)

+=

+e^{2\pi imk/n}

+=

+c_m(k) + is_m(k).

+\]

+Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist

+\[

+\langle e_m, e_{m'}\rangle

+=

+\frac1n

+\sum_{k=1}^n

+\overline{e^{2\pi i km/n}}

+e^{2\pi ikm'/n}

+=

+\frac1n

+\sum_{k=1}^n

+e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}

+=

+\delta_{mm'}

+\]

+Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der

+Funktionen auf $G$.

+Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$

+die Funktionen

+\[

+c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}

+\]

+eine orthonormierte Basis.

+

+

+Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen

+Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.

+Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit

+Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.

+Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch

+\[

+(Lf)(v)

+=

+\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').

+\]

+

+\subsection{Standardbasis und Eigenbasis

+\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}

+Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear

+kombinieren lassen, ist die Standardbasis.

+Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten

+\[

+e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}

+1\qquad&v=v'\\

+0\qquad&\text{sonst.}

+\end{cases}

+\]

+

+