review of chapter 8

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diff --git a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex
index f39428a..d066a4e 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex
@@ -150,7 +150,7 @@ Eine naheliegende Beschreibung eines Graphen mit Hilfe einer
 Matrix kann man wie folgt erhalten.
 Zunächst werden die Knoten aus der Menge $V$ durch die Zahlen
 $1,\dots,n$ mit $n=|V|$ ersetzt.
-Diese Zahlen werden dann als Zeilen- uns Spaltenindizes interpretiert.
+Diese Zahlen werden dann als Zeilen- und Spaltenindizes interpretiert.
 Die zum Graphen gehörige sogenannte {\em Adjazenzmatrix} $A(G)$
 enthält die Einträge
 \begin{equation}
@@ -180,7 +180,7 @@ von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:adjazenzu} hervor.
 \label{buch:graphen:fig:adjazenzd}}
 \end{figure}
 Die Adjazenzmatrix kann auch für einen gerichteten Graphen definiert
-werden wie dies in in Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:adjazenzd}
+werden wie dies in Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:adjazenzd}
 illustriert ist.
 Ihre Einträge sind in diesem Fall definiert mit Hilfe der 
 gerichteten Kanten als
@@ -243,7 +243,7 @@ Ob es eine solche Kante gibt, zeigt das Matrixelement $a_{k\!j}$ an.
 Das Element in Zeile $j$ und Spalte $i$ der Matrix $A^{(n-1)}$ gibt
 die Anzahl der Wege von $i$ nach $j$ an.
 Es gibt also $a_{k\!j}\cdot a_{ji}^{(n-1)}$ Wege der Länge $n$, die von $i$
-nach $k$ führen, aber als zweitletzten Knoten über den Knoten $j$ führen.
+nach $k$ führen, und als zweitletzten Knoten über den Knoten $j$ führen.
 Die Gesamtzahl der Wege der Länge $n$ von $i$ nach $k$ ist daher
 \[
 a_{ki}^{(n)}
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
index 9767c71..7b62258 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
@@ -33,7 +33,7 @@ nötig sind, sodass benachbarte Knoten verschiedene Farben haben.
 
 \begin{definition}
 Eine Menge von Knoten eines Graphen heisst {\em unabhängig}, wenn 
-keine zwei Knoten im Graphen verbunden sind.
+keine zwei Knoten der Menge im Graphen verbunden sind.
 Die {\em Unabhängigkeitszahl} $\operatorname{ind}G$ eines Graphen $G$
 ist die maximale Anzahl Knoten einer unabhängigen Menge.
 \index{Unabhängigkeitszahl}
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex b/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex
index ac49880..f627eb4 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex
@@ -50,7 +50,7 @@ statt.
 \label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}}
 Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} 
 ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten,
-die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden.
+die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden kann.
 \index{Matrixexponentialfunktion}%
 Die Lösung ist
 \[
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
index e259512..ec76d24 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
@@ -18,8 +18,8 @@ Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$
 als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung,
 die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$
 konzentriert hat.
-Es werden daher mit der Zeit immer stärkere benachbarte Standardbasisvektoren
-in der Lösung auftreten.
+Es werden daher mit der Zeit benachbarte Standardbasisvektoren
+immer stärker in der Lösung vertreten sein.
 Auch die Eigenbasis hilft nicht, dieses Lösungsverhalten aufzuzeigen:
 sie sind im Definitionsgebiet stark delokalisiert und daher die allmählich
 abnehmende Lokalisierung der Lösung nicht wiedergeben.
@@ -28,7 +28,7 @@ abnehmende Lokalisierung der Lösung nicht wiedergeben.
 Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss
 der partiellen Differentialgleichung
 \[
-\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
+\frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
 \]
 Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die
 Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung
@@ -257,7 +257,7 @@ für $\lambda\to \infty$ der Wert $h(\lambda)$ genügend rasch gegen $0$
 geht.
 Die Matrix $h(L)$ bildet daher den konstanten Vektor nicht auf $0$ ab,
 sondern lokalisiert ihn im Ortsraum.
-Wir erhalten daher in den Spalten von $h(L)$ Vektoren, die um die
+Wir erhalten so in den Spalten von $h(L)$ Vektoren, die um die
 einzelnen Knoten lokalisiert sind.
 
 \subsubsection{Rekonstruktion}