fixes for chapter 10

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diff --git a/buch/chapters/90-crypto/aes.tex b/buch/chapters/90-crypto/aes.tex
index 0ece6b1..66b9b07 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/aes.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/aes.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
 \section{Advanced Encryption Standard -- AES
 \label{buch:section:aes}}
 \rhead{Advanced Encryption Standard}
-Eine wichtige Forderung bei der Konzeption des damals neuen
+Eine wichtige Forderung bei der Konzeption des im Jahre 2001 neuen
 Advanced Encryption Standard war, dass darin keine ``willkürlich''
 erscheinenden Operationen geben darf, bei denen der Verdacht
 entstehen könnte, dass sich dahinter nicht offengelegtes Wissen
@@ -19,7 +19,7 @@ Die Gerüchteküche wollte wissen, dass die NSA die Konstanten aus dem
 ursprünglichen Vorschlag abgeändert habe, und dass dies geschehen sei,
 um den Algorithmus durch die NSA angreifbar zu machen.
 
-Eine weiter Forderung war, dass die Sicherheit des neuen
+Eine weitere Forderung war, dass die Sicherheit des neuen
 Verschlüsselungsstandards ``skalierbar'' sein soll, dass man also
 die Schlüssellänge mit der Zeit von 128~Bit auf 196 oder sogar 256~Bit
 steigern kann.
@@ -142,7 +142,7 @@ und ebenso nur 256 mögliche Werte.
 \label{buch:subsection:block-operationen}}
 Die zu verschlüsselnden Daten werden in in Blöcke aufgeteilt, deren
 Länge Vielfache von $32$ bit sind.
-Die kleinste Blockgrösse ist 128\,Bit, die grösste ist 256\,Bit.
+Die kleinste im Standard spezifizierte Blockgrösse ist 128\,Bit, die grösste ist 256\,Bit.
 Die Bytes eines Blockes werden dann in einem Rechteck angeordnet
 als
 \begin{equation}
@@ -173,7 +173,7 @@ Die bisher beschriebenen Operationen operieren immer nur auf einzelnen
 Bytes während
 die im nächsten Abschnitt beschriebene Spalten-Mischoperation
 nur auf Spalten wirkt.
-Die Zeilen\-misch\-ope\-ra\-tion permutiert die Zeilen in den vier Zeilen
+Die Zeilen\-misch\-ope\-ra\-tion permutiert die vier Zeilen
 eines Blocks zyklisch, die erste Zeile bleibt an Ort, die zweite
 Zeile wird um ein Byte rotiert, die dritte um zwei und die letzte
 um 3 Bytes, wie in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:shift}
@@ -206,7 +206,9 @@ nur multiplizieren zu können, was in diesem Fall sehr leicht möglich ist,
 weil kein Überlauf entsteht.
 Dabei hilft es zu beachten, dass die Multiplikation mit $\texttt{02}_{16}$
 nur eine Einbit-Shiftoperation nach links ist.
-Nur die Multiplikation $\texttt{03}_{16}\cdot\texttt{03}_{16}=\text{05}_{16}$
+Nur die Multiplikation $\texttt{03}_{16}\cdot\texttt{03}_{16}
+=
+\texttt{06}_{16}+\texttt{03}_{16}=\texttt{05}_{16}$
 gibt etwas mehr zu überlegen.
 Mit geeigneten Zeilen-Operationen kann man die Berechnung der Determinante
 von $C$ mit dem Entwicklungssatz etwas vereinfachen.
@@ -420,9 +422,9 @@ Eine einzelne Runde besteht dabei aus folgenden Schritten:
 \begin{enumerate}
 \item Wende die $S$-Box auf alle Bytes des Blocks an.
 \item Führe den Zeilenshift durch.
-\item Mische die Spalten (wird in der letzten Runde)
-\item Erzeuge den nächsten Rundenschlüssel
-\item Addiere den Rundenschlüssel
+\item Mische die Spalten (wird in der letzten Runde).
+\item Erzeuge den nächsten Rundenschlüssel.
+\item Addiere den Rundenschlüssel.
 \end{enumerate}
 Der AES-Verschlüsselungsalgorithmus beginnt damit, dass der Schlüssel
 zum Datenblock addiert wird.
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/arith.tex b/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
index 4b0828b..d3bb542 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
@@ -42,7 +42,7 @@ Für kryptographische Anwendungen ist $G$ die multiplikative Gruppe
 eines endlichen Körpers oder eine elliptische Kurve
 (siehe Abschnitt~\ref{buch:section:elliptische-kurven}).
 
-Zur Berechnung von $a^k$ in $\mathbb{F}_p$ sind bei einer naiven Vorgehen
+Zur Berechnung von $a^k$ in $\mathbb{F}_p$ sind bei einer naiven Vorgehensweise
 $k-1$ Multiplikationen nötig, immer sofort gefolgt
 von einer Reduktion modulo $p$ um sicherzustellen, dass die Resultate
 nicht zu gross werden.
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex b/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
index d7e248a..bcd41db 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
@@ -23,7 +23,7 @@ In diesem Abschnitt soll dies an einigen Beispielen illustriert werden.
 \input{chapters/90-crypto/aes.tex}
 %\input{chapters/90-crypto/rs.tex}
 
-\section*{Übungsaufgaben}
+\section*{Übungsaufgabe}
 \rhead{Übungsaufgaben}
 \aufgabetoplevel{chapters/90-crypto/uebungsaufgaben}
 \begin{uebungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/elliptisch.tex b/buch/chapters/90-crypto/elliptisch.tex
index f5bf579..fb7563a 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/elliptisch.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/elliptisch.tex
@@ -10,7 +10,7 @@
 Das Diffie-Hellman-Verfahren basiert auf der Schwierigkeit, in einem 
 Körper $\mathbb{F}_p$ die Gleichung $a^x=b$ nach $x$ aufzulösen.
 Die Addition in $\mathbb{F}_p$ wird dazu nicht benötigt.
-Es reicht, eine Menge mit einer Multiplikation zu haben, fir die
+Es reicht, eine Menge mit einer Multiplikation zu haben, für die
 die Gleichung $a^x=b$ schwierig nach $x$ aufzulösen ist.
 Ein Halbgruppe wäre also durchaus ausreichend.
 
@@ -33,7 +33,7 @@ Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung $x^2+y^2=1$ für
 reelle Koordinaten $x$ und $y$,
 doch Rundungsunsicherheiten verunmöglichen den Einsatz in einem 
 Verfahren ähnlich dem Diffie-Hellman-Verfahren.
-Dieses Problem kann gelöst werden, indem für die Variablen Werte
+Dieses Problem kann gelöst werden, indem für die Variablen $x$ und $y$ Werte
 aus einem endlichen Körper verwendet werden.
 Gesucht ist also eine Gleichung in zwei Variablen, deren Lösungsmenge
 in einem endlichen Körper eine Gruppenstruktur trägt.
@@ -93,7 +93,7 @@ Y^2 + XY + \frac14X^2 &= X^3+\frac14 X^2 +aX+b
 v^2&=X^3+\frac14X^2+aX+b,
 \label{buch:crypto:eqn:ell2}
 \end{align}
-indem man $v=Y+\frac12X$ setzt.
+wenn man $v=Y+\frac12X$ setzt.
 Man beachte, dass man diese Substition nur machen kann, wenn $\frac12$
 definiert ist.
 In $\mathbb{R}$ ist dies kein Problem, aber genau über den Körpern
@@ -307,7 +307,8 @@ tP(x_1,y_1)
 0.
 \end{align*}
 Die Klammerausdrücke verschwinden, da sie gleichbedeutend damit sind,
-dass die Punkte Lösungen von \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} sind.
+dass die Punkte $g_1$ und $g_2$ Lösungen von
+\eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} sind.
 Dies bestätigt nochmals, dass der Rest $r(t)=0$ ist, dass $p(t)$
 also durch $t(1-t)$ teilbar ist.
 
@@ -354,7 +355,7 @@ Die Gleichungen
 \eqref{buch:crypto:eqn:x3}
 und
 \eqref{buch:crypto:eqn:y3}
-ermöglichen also, das Element $g_1g_2^{-1}$ zu berechnen.
+ermöglichen also, das Element $(g_1g_2)^{-1}$ zu berechnen.
 Interessant daran ist, dass in den Formeln die Konstanten $a$ und $b$ 
 gar nicht vorkommen.
 
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
index 3cdc748..41aa4cb 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
@@ -114,7 +114,8 @@ sie effizient durchführbar.
 
 \begin{beispiel}
 Man berechne die Potenz $7^{2021}$ in $\mathbb{F}_p$.
-Die Binärdarstellung von 2021 ist $2021_{10}=\texttt{11111100101}_2$.
+Die Binärdarstellung der Dezimalzahl 2021 ist
+$2021_{10}=\texttt{11111100101}_2$.
 Wir stellen die nötigen Operationen des
 Algorithmus~\ref{buch:crypto:teile-und-hersche} in der 
 Tabelle~\ref{buch:crypto:fig:f1291}
@@ -132,7 +133,7 @@ $x\mapsto g^x$ in $\mathbb{F}_p$ heisst der {\em diskrete Logarithmus}.
 \index{diskreter Logarithmus}%
 Tatsächlich ist der diskrete Logarithmus ähnlich schwierig zu bestimmen
 wie das Faktorisieren von Zahlen, die das Produkt grosser
-Primafaktoren ähnlicher Grössenordnung wie $p$ sind.
+Primfaktoren ähnlicher Grössenordnung wie $p$ sind.
 Die Funktion $x\mapsto g^x$ ist die gesuchte, schwierig zu invertierende
 Funktion.