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Rationale Zahlen als Paare (a, b).

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index 8a13de8..4809e29 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -3,11 +3,13 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
+% !TeX spellcheck = de_CH
 \section{Ganze Zahlen
 \label{buch:section:ganze-zahlen}}
 \rhead{Ganze Zahlen}
-Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede ganzzahlige
-Gleichung der Form $x+a=b$ eine Lösung hat.
+Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede
+Gleichung der Form $x+a=b$ mit $a, b \in \mathbb N$
+eine Lösung $x \in \mathbb N$ hat.
 Dazu ist erforderlich, den natürlichen Zahlen die negativen Zahlen
 hinzuzufügen, also wieder die Existenz neuer Objekte zu postulieren,
 die die Rechenregeln weiterhin erfüllen.
@@ -15,9 +17,9 @@ die die Rechenregeln weiterhin erfüllen.
 \subsubsection{Paare von natürlichen Zahlen}
 Die ganzen Zahlen können konstruiert werden als Paare $(u,v)$ von 
 natürlichen Zahlen $u,v\in\mathbb{N}$.
-Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichn Zahlen, die
+Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichen Zahlen, die
 Paare $(0,v)$ sind die negativen Zahlen.
-Die Rechenoperatioen sind wie folgt definiert:
+Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert:
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 (a,b)+(u,v) &= (a+u,b+v)
@@ -30,8 +32,8 @@ Die Rechenoperatioen sind wie folgt definiert:
 \subsubsection{Äquivalenzrelation}
 Die Definition~\eqref{buch:zahlen:ganze-rechenregeln}
 erzeugt neue Paare, die wir noch nicht interpretieren können.
-Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$, die Paare $(u,u)$ 
-müssen daher alle mit der ganzen Zahl $0$ identifiziert werden.
+Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$.
+Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden.
 Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit 
 ``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen,
 allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz
@@ -40,7 +42,7 @@ Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn
 \begin{equation}
 (a,b) \sim (c,d)
 \qquad\Leftrightarrow\qquad
-a+d = c+d
+a+d = c+b
 \label{buch:zahlen:ganz-aquivalenz}
 \end{equation}
 gilt.
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index 086658f..3863191 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -3,6 +3,7 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
+% !TeX spellcheck = de_CH
 \section{Natürlich Zahlen
 \label{buch:section:natuerliche-zahlen}}
 \rhead{Natürliche Zahlen}
@@ -42,7 +43,7 @@ Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung
 die vertrautere Addition konstruieren.
 \index{Addition!in $\mathbb{N}$}%
 Um die Zahl $n\in\mathbb{N}$ um $m\in\mathbb{N}$ zu vermehren, also
-$n+m$ auszurechnen, kann man rekursiven Regeln
+$n+m$ auszurechnen, kann man rekursive Regeln
 \begin{align*}
 n+0&=n\\
 n+m'&=(n+m)'
@@ -102,7 +103,7 @@ legen jedes Produkt von natürlichen Zahlen fest, zum Beispiel
 5 + 5 + 5.
 \]
 Doch auch bezüglich der Multiplikation ist $\mathbb{N}$ unvollständig,
-die Beispielgleichung $3x=1$ hat eine Lösung in $\mathbb{N}$.
+die Beispielgleichung $3x=1$ hat keine Lösung in $\mathbb{N}$.
 
 \subsubsection{Rechenregeln}
 Aus den Definitionen lassen sich auch die Rechenregeln ableiten,
@@ -146,24 +147,27 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac
 (a+b)c = ac+bc
 \]
 gelten.
-Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des
+Bei einem nicht-kommutativen Produkt ist es hierbei notwendig,
+zwischen Links- und Rechts-Distributivgesetz zu unterscheiden.
+
+Die Distributivgesetze drücken die wohlbekannte Regel des
 Ausmultiplizierens aus.
 Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den
 Objekten so rechnen kann, wie man das in der elementaren Algebra 
 gelernt hat.
-Auch das Distributivgesetz ist daher eine Rechenregel, die wir in
+Auch die Distributivgesetze sind daher Rechenregeln, die wir in
 Zukunft immer dann fordern werden, wenn Addition und Multiplikation
 definiert sind.
-Es gilt immer für Matrizen.
+Sie gelten immer für Matrizen.
 
 \subsubsection{Teilbarkeit}
 Die Lösbarkeit von Gleichungen der Form $ax=b$ mit $a,b\in\mathbb{N}$
-gibt aber Anlass zu dem sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit.
+gibt Anlass zum sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit.
 \index{Teilbarkeit}%
 Die Zahl $b$ heisst teilbar durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine
 Lösung in $\mathbb{N}$ hat.
 \index{teilbar}%
-Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst,
+Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ und durch sich selbst teilbar,
 denn $n\cdot 1 = n$.
 Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich.
 Die Zahlen
@@ -183,11 +187,13 @@ Die Peano-Axiome postulieren, dass es natürliche Zahlen gibt.
 Es werden keine Anstrengungen unternommen, die natürlichen Zahlen
 aus noch grundlegenderen mathematischen Objekten zu konstruieren.
 Die Mengenlehre bietet eine solche Möglichkeit.
+
 Da die natürlichen Zahlen das Konzept der Anzahl der Elemente einer
 Menge abstrahieren, gehört die leere Menge zur Zahl $0$.
 Die Zahl $0$ kann also durch die leere Menge $\emptyset = \{\}$
-wiedergegeeben werden.
-Der Nachfolger muss jetzt als eine Menge mit zwei Elementen konstruiert
+wiedergegeben werden.
+
+Der Nachfolger muss jetzt als eine Menge mit einem Element konstruiert
 werden.
 Das einzige mit Sicherheit existierende Objekt, das für diese Menge
 zur Verfügung steht, ist $\emptyset$.
@@ -195,22 +201,23 @@ Zur Zahl $1$ gehört daher die Menge $\{\emptyset\}$, eine Menge mit
 genau einem Element.
 Stellt die Menge $N$ die Zahl $n$ dar, dann können wir die zu $n+1$
 gehörige Menge $N'$ dadurch konstruieren, dass wir zu den Elemente
-von $N$ in zusätzliches Element hinzufügen, das noch nicht in $N$ ist,
-zum Beispiel $N$:
+von $N$ ein zusätzliches Element hinzufügen, das noch nicht in $N$ ist,
+zum Beispiel $\{N\}$:
 \[
 N' = N \cup \{ N \}.
 \]
+
 Die natürlichen Zahlen existieren also, wenn wir akzeptieren, dass es
 Mengen gibt.
-Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen
+Die natürlichen Zahlen sind dann nacheinander die Mengen
 \begin{align*}
 0 &= \emptyset 
 \\
 1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\}
 \\
-2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\}
+2 &= 1 \cup \{1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\}
 \\
-3 &= 2 \cup \{ 2\} = \{0,1\}\cup \{2\} = \{0,1,2\}
+3 &= 2 \cup \{2\} = \{0,1\}\cup \{2\} = \{0,1,2\}
 \\
 &\phantom{n}\vdots
 \\
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
index aeb0b6b..5c76896 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
@@ -3,6 +3,7 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
+% !TeX spellcheck = de_CH
 \section{Rationale Zahlen
 \label{buch:section:rationale-zahlen}}
 \rhead{Rationale Zahlen}
@@ -11,34 +12,86 @@ lösbar, es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$.
 Die nötige Erweiterung der ganzen Zahlen lernen Kinder noch bevor sie
 die negativen Zahlen kennenlernen.
 
+Wir können hierbei denselben Trick anwenden,
+wie schon beim Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen.
+Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente nennen wir \emph{Zähler} und
+\emph{Nenner}, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$.
+Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten
+\[
+(a, b) + (c, d)
+=
+(ad + bc, bd)
+\qquad \text{und} \qquad
+(a, b) \cdot (c, d)
+=
+(ac, bd)
+.
+\]
+Die ganzen Zahlen lassen sich als in dieser Darstellung als
+$z \mapsto (z, 1)$ einbetten.
+
+Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung
+aber nicht eindeutig.
+Zwei Paare sind äquivalent, wenn sich deren beide Elemente um denselben Faktor
+unterscheiden,
+\[
+(a, b)
+\sim
+(c, d)
+\quad \Leftrightarrow \quad
+\exists \lambda \in \mathbb Z \colon
+\lambda a = c
+\wedge
+\lambda b = d
+.
+\]
+Dass es sich hierbei wieder um eine Äquivalenzrelation handelt, lässt sich
+einfach nachprüfen.
+
+Durch die neuen Regen gibt es nun zu jedem Paar $(a, b)$ mit $a \ne 0$
+ein Inverses $(b, a)$ bezüglich der Multiplikation,
+wie man anhand der folgenden Rechnung sieht,
+\[
+(a, b) \cdot (b, a)
+=
+(a \cdot b, b \cdot a)
+=
+(a \cdot b, a \cdot b)
+\sim
+(1, 1)
+.
+\]
+
 \subsubsection{Brüche}
-Rationale Zahlen sind Paare von ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$,
-die in der speziellen Schreibweise $\frac{a}{b}$ dargestellt werden.
-Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation sind
-\begin{align*}
+Rationale Zahlen sind genau die Äquivalenzklassen dieser Paare $(a, b)$ von
+ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$.
+Da diese Schreibweise recht unhandlich ist, wird normalerweise die Notation
+als Bruch $\frac{a}{b}$ verwendet.
+Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten
+\[
 \frac{a}{b}+\frac{c}{d}
-&=
+=
 \frac{ad+bc}{bd},
-\\
+\qquad\text{und}\qquad
 \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}
-&=
-\frac{ac}{bd}.
-\end{align*}
-Die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die
+=
+\frac{ac}{bd}
+\]
+und die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die
 Regeln
-\begin{align*}
-\frac{a}{b}+\frac{0}{d} &= \frac{ad}{bd}
-\\
-\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} &= \frac{0}{bc}
-\\
-\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} &= \frac{a}{b}.
-\end{align*}
+\[
+\frac{a}{b}+\frac{0}{d} = \frac{ad}{bd} \sim \frac{a}{b},
+\qquad
+\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} = \frac{0}{bc}
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}.
+\]
 Wir sind uns gewohnt, die Brüche $\frac{0}{b}$ mit der Zahl $0$ und
 $\frac{1}{1}$ mit der Zahl $1$ zu identifizieren.
 
 \subsubsection{Kürzen}
 Wie bei den ganzen Zahlen entstehen durch die Rechenregeln viele Brüche,
-denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten
+denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten.
 Zum Beispiel folgt
 \[
 \frac{ac}{bc} - \frac{a}{b} 
@@ -50,8 +103,8 @@ Zum Beispiel folgt
 wir müssen also die beiden Brüche als gleichwertig betrachten.
 Allgemein gelten die zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$
 als äquivalent, wenn $ad-bc= 0$ gilt.
-
-Die Definition bestätigt, dass die beiden Brüche
+Dies ist gleichbedeutend mit der früher definierten Äquivalenzrelation
+und bestätigt, dass die beiden Brüche
 \[
 \frac{ac}{bc} 
 \qquad\text{und}\qquad
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex
index f027932..6e8e59b 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex
@@ -17,7 +17,7 @@ dann Beziehungen zwischen diesen Objekten.
 \label{subsection:definition-von-graphen}}
 In der Einleitung zu diesem Abschnitt wurde bereits eine informelle
 Beschreibung des Konzeptes eines Graphen gegeben.
-Um zu einer Beschreibung mit Hilfe von Matrizen kommen können,
+Um zu einer Beschreibung mit Hilfe von Matrizen zu kommen,
 wird eine exakte Definition benötigt.
 Dabei werden sich einige Feinheiten zeigen, die für Anwendungen wichtig
 sind und sich in Unterschieden in der Definition der zugehörigen Matrix 
@@ -29,7 +29,7 @@ auch {\em Vertices} genannt.
 \index{Knoten}%
 \index{Vertex}%
 Die Unterschiede zeigen sich in der Art und Weise, wie die Knoten
-mit sogenannten die Kanten 
+mit sogenannten Kanten
 \index{Kante}%
 verbunden werden.
 Bei einen ungerichteten Graphen sind die beiden Endpunkte einer Kante
@@ -63,9 +63,10 @@ durch die Widerstände ab.
 Will man Spannungen und Ströme in einem solchen Netzwerk berechnen,
 ist auch das Fehlen von Schleifen, die von $a$ zu $a$ führen, kein
 Verlust.
-Die Endpunkte solcher Widerstände wären immer auf gleichem Potential,
-es würde daher kein Strom fliessen, sie haben daher keinen Einfluss auf
-das Verhalten des Netzwerkes und können weggelassen werden.
+Die Endpunkte solcher Widerstände wären immer auf dem gleichen Potential.
+Folglich würde kein Strom fliessen und sie hätten keinen Einfluss auf
+das Verhalten des Netzwerkes.
+Sie können einfach weggelassen werden.
 
 \subsubsection{Gerichtete Graphen}
 In vielen Anwendungen sind die Endpunkte einer Kante nicht austauschbar.
@@ -98,7 +99,7 @@ In einem gerichteten Graphen gehört also zu jeder Kante auch eine Richtung
 und die Unterscheidung von Anfangs- und Endpunkt einer Kante ist sinnvoll
 geworden.
 Ausderdem ist eine Kante $(a,a)$ wohldefiniert, also eine Kante, die vom
-Knoten $a$ wieder zu $a$ zurückführen.
+Knoten $a$ wieder zu $a$ zurückführt.
 
 Man kann einen ungerichteten Graphen in einen gerichteten Graphen
 verwandeln, indem wir jede Kante $\{a,b\}$ durch zwei Kanten 
@@ -115,11 +116,11 @@ E'
 \{a,e\}\in E
 \}.
 \end{equation*}
-Eine umgekehrte Zuordnung eines ungerichteten Graphen zu einem gerichteten
-Graphen ist nicht möglich, da eine ``Schleife'' $(a,a)$ nicht in Kante
+Eine umgekehrte Zuordnung eines gerichteten zu einem ungerichteten
+Graphen ist nicht möglich, da eine ``Schleife'' $(a,a)$ nicht in eine Kante
 des ungerichteten Graphen abgebildet werden kann.
 
-In einem gerichteten Graphen kann man sinnvoll von gerichteten Pfad
+In einem gerichteten Graphen kann man sinnvoll von gerichteten Pfaden
 sprechen.
 \index{Pfad}%
 Ein {\em Pfad} $\gamma$ in einem gerichteten Graphen $(V,E)$ ist eine Folge
@@ -158,7 +159,7 @@ Der gerichtete Graph $([n],E)$ werde beschrieben durch die Matrix $G$.
 Dann gibt das Element in Zeile $j$ und Spalte $i$ von $G^n$ die Anzahl
 der Wege der Länge $n$ an, die von Knoten $i$ zu Knoten $j$ führen.
 Insbesondere kann man die Definition~\eqref{buch:graphen:eqn:linkmatrix}
-formulieruen als in Zeile $j$ und Spalte $i$ der Matrix steht die Anzahl
+formulieren als: In Zeile $j$ und Spalte $i$ der Matrix steht die Anzahl
 der Pfade der Länge $1$, die $i$ mit $j$ verbinden.
 \end{satz}
 
@@ -334,10 +335,10 @@ Die Beschreibung mit der Matrix~\eqref{buch:graphen:eqn:linkmatrix}
 Knoten herstellt.
 Damit ist sie keine geeignete Grundlage, um beschriftete Graphen einer
 Matrixbeschreibung zuzuführen.
-Eine solche muss eine Matrix verwenden, nicht nur das Vorhandensein einer
+Eine solche muss eine Matrix verwenden, die nicht nur das Vorhandensein einer
 Verbindung wiedergibt, sondern ausdrückt, welche Kante welche beiden
 Knoten miteinander verbindet.
-Dies führt auf die sogenannte Ajazenz-Matrix.
+Dies führt zur sogenannten Adjazenz-Matrix.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:def:adjazenz-matrix}
@@ -358,11 +359,11 @@ a_{ik}
 \end{equation}
 \end{definition}
 
-Der wesentliche Unterschied dieser Definition von der Matrix $H$ 
+Der wesentliche Unterschied dieser Definition von der Matrix $G$
 liegt in der Bedeutung der Einträge.
-Für $H$ drückt ein nicht verschwindendes Matrixelement das Vorhandensein
+Für $G$ drückt ein nicht verschwindendes Matrixelement das Vorhandensein
 einer Kante aus, in $A$ ist es die Tatsache, dass in diesem Knoten
-eine Kante endet.
+eine Kante beginnt oder endet.
 
 Es ist natürlich möglich, aus der Adjazenz-Matrix auch die Link-Matrix
 zu rekonstruieren.
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex b/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex
index ae1bb9c..b6e02c9 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex
@@ -14,18 +14,19 @@ aber auch viele andere Datenstrukturen.
 \index{Graph}%
 Die Knoten können einzelne Objekte beschreiben, die Kanten beschreiben
 dann Beziehungen zwischen diesen Objekten.
-Graphen haben zwar nur eine eindimensionale Geometrie, sie können aber als
-erste Approximation auch dreidimensionaler Objekte dienen.
+Graphen haben zwar nur eine eindimensionale Geometrie, sie können aber auch als
+erste Approximation dreidimensionaler Objekte dienen.
 
 Die Bedeutung des Graphenkozeptes wird unterstrichen von der Vielzahl
-von Fragestellungen, die über Graphen gestellt worden sind und der
+von Fragestellungen, die über Graphen gestellt, und der
 zugehöriten Lösungsalgorithmen, die zu ihrer Beantwortung gefunden
 worden sind.
 Die Komplexitätstheorie hat sogar gezeigt, dass sich jedes diskrete
 Problem in ein Graphenproblem umformulieren lässt.
 \index{Komplexitätstheorie}%
+
 Das Problem, einen Stundenplan zu finden, der sicherstellt, dass
-alle Studierenden an jedes Fach besuchen können, für die sie sich
+alle Studierenden jedes Fach besuchen können, für die sie sich
 angemeldet haben, lässt sich zum Beispiel wie folgt als ein
 Graphenproblem formulieren.
 Die Fächer betrachten wir als Knoten des Graphen.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
index 2d40e07..95ecb79 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
@@ -9,8 +9,8 @@
 \rhead{}
 Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben
 und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen.
-Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden,
-es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines
+Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden:
+Es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines
 Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}.
 \begin{figure}
 \centering
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
index 6a4a571..5ca2ca8 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
@@ -66,7 +66,7 @@ t\vec{p} + (1-t) \vec{q}
 t_0 \vec{p} + t_1\vec{q},
 \end{equation}
 wobei die beiden positiven reellen Zahlen $t_0,t_1\in\mathbb{R}$ die
-Bedingung $t_0+t_1$ erfüllen.
+Bedingung $t_0 + t_1 = 1$ erfüllen.
 Für ein eindimensionales Objekt brauchen wir also zwei Punkte und zwei
 positive Parameter, die sich zu $1$ summieren.
 Die Mengen $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\,|t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also
@@ -195,8 +195,9 @@ und hat in den oben beschriebenden Basen die Matrix
 
 \subsubsection{Rand eines Simplex}
 Einem Simplex muss auch der Rand zugeordnet werden können.
-Setzt man in $\triangle_2$ den Parameter $t_k=0$, dann erhalt man die Kante,
-die der Ecke mit der Nummer $k$ gegenüberliegt.
+Setzt man in $\triangle_2$ den Parameter $t_k=0$, dann erhält
+man die Kante,
+die der Ecke mit Nummer $k$ gegenüberliegt.
 Für jedes $k$ gibt es also eine Abbildung
 \[
 i_k
@@ -207,19 +208,20 @@ i_k
 \mapsto
 (t_0,\dots,t_{k-1},0,t_{k},\dots,t_n),
 \]
-die die Kante gegenüber der Ecke $e_k$.
+in die Kante gegenüber der Ecke $e_k$.
 Dies ist auch die Art, wie Kanten des Dreiecks $\triangle$ 
 in Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}
 orientiert wurden.
 
 Für den Rand des $2$-Simplexes mussten die Kanten mit alternierenden
 Vorzeichen zugeordnet werden.
-Damit wird erreicht, dass jeder Punkt sowohl Endpunkt einer Kante ist und
-ausserdem Anfangspunkt der nächsten kannte ist.
+Damit wird erreicht, dass jeder Punkt sowohl Endpunkt einer 
+Kante und
+ausserdem Anfangspunkt der nächsten Kannte ist.
 Diese Eigenschaft soll auch in höheren Dimensionen erhalten bleiben.
-Die vier Dreiecke, die den Rand eines $3$-Simplex ausmachen, müssen 
-derart müssen so orientiert werden, dass jede Kante in beiden Richtungen
-durchlaufen wird.
+Die vier Dreiecke, die den Rand eines $3$-Simplex ausmachen,
+müssen so orientiert werden,
+dass jede Kante in beiden Richtungen durchlaufen wird.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:def:randoperator}