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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 99b576f..5f38570 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -27,7 +27,7 @@ Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem
 \]
 erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
 Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
-ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie  auch als Grundvektoren bekannt sind.
+ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
 \subsection{Translationssymmetrie}
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
@@ -66,9 +66,9 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
      \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
             Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
             Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
-            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
+            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
       \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
-            Da auch die Eigenschaften des Kristallgitter periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
+            Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
             Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
             \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. 
             Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
@@ -78,7 +78,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
             Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
  \end{itemize}  
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
- Wir beginnen indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
+ Wir beginnen, indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
  Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
  Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also 
  \[
@@ -95,7 +95,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
      n = 1 - 2cos\alpha
      \alpha = cos^{-1}(\frac{1-n}{2})
  \]
- Dies  schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
+ Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
  \[
      \alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}
  \]
@@ -115,7 +115,7 @@ Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dre
 nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
 Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
 Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinander gesetzt hat.
+welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
 Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
 Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.