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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-08-03 07:37:42 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2021-08-03 07:37:42 +0200 |
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diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex index be837ac..089c28e 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil0.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex @@ -1,48 +1,48 @@ -\section{Einachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Einachsiger Spannungsustand}} -\rhead{Einachsiger Spannungszustand} -Ein Spannungszustand beschreibt alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken (siehe Abbildung 1.4). +\section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}} +\rhead{Der Spannungszustand} +Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung~\ref{fig:Bild2}). Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material. -Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt. -Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist. +Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, +stellt man sich modellhaft ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels vor. +Man spricht auch von einem Elementarwürfel. \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png} + \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png} \caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen} - \label{fig:infintesimaler-wurfel} + \label{fig:Bild2} \end{figure} -Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten die selben Spannungen aufweisen. -Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$ muss sich zwingend im Gleichgewicht befinden. -So sind insgesamt 9 verschiedene Spannungen möglich, wobei 3 Normal- und 6 Schubspannungen sind. -Normalspannung wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche. -Alle Beträge dieser 9 Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand. -Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden. +Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten im Betrag die selben Spannungen aufweisen, +sodass der Elementarwürfel im Gleichgewicht ist. +Wäre dieses Gleichgewicht nicht vorhanden, käme es zu Verschiebungen und Drehungen. +Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinatenachsen $1$, $2$, $3$. +Veränderungen der Normalspannungen können durch Schubspannungen kompensiert werden und umgekehrt. +So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, konkret sind dies drei Normal- und sechs Schubspannungen. +Normalspannungen wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche. +Alle Beträge dieser neun Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand. +Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetzes berechnet werden. +Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand. -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png} - \caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe} - \label{fig:infintesimaler-wurfel} -\end{figure} -Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung). +\section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}} +\rhead{Spannungszustand} + +Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung~\ref{fig:Bild1}). Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand. Nach Hooke gilt: \[ F \sim \Delta l -\] . -Teilt man beide Seiten mit den Konstanten $A$ und $l_0$ erhält man +\] +Teilt man beide Seiten durch die Konstanten $A$ und $l_0$, erhält man \[ \frac{F}{A} = \sigma \sim -\] -\[ \varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0} @@ -52,22 +52,21 @@ und somit \sigma \sim \varepsilon +, \] -. -Mit: -\[ -l_0 -= -\text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} -\] -\[ -A -= -\text{Fläche [\si{\meter\squared}]} -\] - -Diese Beziehung gilt bei linear elastischen Materialien, welche reversibel sind und nicht dauerhaft verformt werden. -Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$. +mit +\begin{align*} + l_0 &= \text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} \\ + A &= \text{Fläche [\si{\meter\squared}].} +\end{align*} +Diese Beziehung gilt bei linear-elastischen Materialien, welche reversible Verformungen zulassen. +Es ist praktisch, die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png} + \caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe} + \label{fig:Bild1} +\end{figure} Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit \[ \sigma @@ -75,10 +74,10 @@ Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich E\cdot\varepsilon \] beschreiben. -Im Falle, dass der E-Modul nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise mit +Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, wird dieser durch \[ E = -\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon} +\frac{\text{d}\sigma}{\text{d}\varepsilon} \] -ausgedrückt werden.
\ No newline at end of file +ausgedrückt.
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