aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/spannung/teil3.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-07-27 11:24:08 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-07-27 11:24:08 +0200
commit95d84c7bf68e89e24c5c6155b5ae8d59f219b521 (patch)
treea607d87d9309d021c98893b16d46411b2df4de74 /buch/papers/spannung/teil3.tex
parentinduzierte Abbildung (diff)
parentMerge pull request #47 from TReichlin/master (diff)
downloadSeminarMatrizen-95d84c7bf68e89e24c5c6155b5ae8d59f219b521.tar.gz
SeminarMatrizen-95d84c7bf68e89e24c5c6155b5ae8d59f219b521.zip
Merge branch 'master' of github.com:AndreasFMueller/SeminarMatrizen
Diffstat (limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')
-rw-r--r--buch/papers/spannung/teil3.tex32
1 files changed, 17 insertions, 15 deletions
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 3e456c3..a9080ea 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -30,7 +30,7 @@ q
\label{spannung:Invariante_q}
.
\end{equation}
-Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
+Diese Zusammenhänge werden im Skript \cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik} aufgezeigt.
Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als
\[
p
@@ -38,28 +38,28 @@ p
\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
\]
vereinfacht werden.
-Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q}als
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q} als
\[
q
=
\sigma_{11}-\sigma_{33}
\]
-vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
+vereinfacht. Man kann $p$ als Druck und $q$ als Schub betrachten.
-Die Invarianten können mit der Spannungsformel \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
+Die Invarianten $p$ und $q$ können mit der Spannungsgleichung \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
So ergibt sich
\[
-\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{\displaystyle{p}}
=
-\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\displaystyle{{\varepsilon_{v}}}}
\]
und
\[
-\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{\displaystyle{q}}
=
-\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\displaystyle{\varepsilon_{s}}}
.
\]
Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
@@ -79,8 +79,8 @@ eingeführt werden, mit
\varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
\varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
\end{align*}
-Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
-Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
+Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression und
+die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ mit einer Verzerrung verglichen werden.
Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
\begin{equation}
@@ -90,8 +90,8 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- \frac{3E}{2(1+\nu)} & 0 \\
- 0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+ \displaystyle{\frac{3E}{2(1+\nu)}} & 0 \\
+ 0 & \displaystyle{\frac{E}{3(1-2\nu)}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{s}\\
@@ -100,9 +100,11 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
\label{spannung:Matrixschreibweise}
\end{equation}
vereinfachen.
-Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
-Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
+Änderungen des Spannungszustandes können mit diesen Gleichungen vollumfänglich erfasst werden.
+Diese Spannungsgleichung mit den zwei Einträgen ($p$ und $q$) ist gleichwertig
+wie die ursprüngliche Spannungsgleichung mit den neun Einträgen
+($\sigma_{11}$, $\sigma_{12}$, $\sigma_{13}$, $\sigma_{21}$, $\sigma_{22}$, $\sigma_{23}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{32}$, $\sigma_{33}$).
Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
-Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
+Ein solcher Versuch, der oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.