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Spannung

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diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..37c2ec2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
@@ -0,0 +1,118 @@
+\section{Einleitung\label{spannung:section:Einleitung}}
+In diesem Kapitel geht es darum die Matrix im dreidimensionalen Spannungszustand genauer zu untersuchen.
+In der Geotechnik wendet man solche Matrizen an, um Spannungen im Boden zu berechnen.
+Mit diesen Grundlagen dimensioniert man beispielsweise Böschungen, Fundationen, Dämme und Tunnels.
+Ebenfalls benötigt man diese Matrix, um aus Versuchen Kennzahlen über den anstehenden Boden zu gewinnen.
+Besonderes Augenmerk liegt dabei auf dem Oedometer - Versuch.
+
+Bei dieser Untersuchung der zugehörigen Berechnungen hat man es mit Vektoren, Matrizen und Tensoren zu tun.
+Um die mathematische Untersuchung vorzunehmen, beschäftigt man sich zuerst mit den spezifischen Gegebenheiten und Voraussetzungen.
+Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen,
+damit sich den Berechnungen schlüssig folgen lässt.
+
+In diesem Kapitel hat man es insbesondere mit Spannungen und Dehnungen zu tun.
+Mit einer Spannung ist hier jedoch keine elektrische Spannung gemeint,
+sondern eine Kraft geteilt durch Fläche.
+
+\section{Einführung wichtige Begriffe\label{spannung:section:Wichtige Begriffe}}
+\[
+l_0
+=
+\text{Ausgangslänge [\si{\meter}]}
+\]
+\[
+\Delta l
+=
+\text{Längenänderung nach Kraftauftrag [\si{\meter}]}
+\]
+\[
+\Delta b
+=
+\text{Längenänderung in Querrichtung nach Kraftauftrag [\si{\meter}]}
+\]
+\[
+\varepsilon
+=
+\text{Dehnung [$-$]}
+\]
+\[
+\sigma
+=
+\text{Spannung [\si{\kilo\pascal}]}
+\]
+\[
+E
+=
+\text{Elastizitätsmodul [\si{\kilo\pascal}]}
+\]
+\[
+\nu
+=
+\text{Querdehnungszahl; Poissonzahl [$-$]}
+\]
+\[
+F
+=
+\text{Kraft [\si{\kilo\newton}]}
+\]
+\[
+A
+=
+\text{Fläche [\si{\meter\squared}]}
+\]
+\[
+t
+=
+\text{Tiefe [\si{\meter}]}
+\]
+\[
+s
+=
+\text{Setzung, Absenkung [m]}
+\]
+
+Beziehungen
+\[
+\varepsilon
+=
+\frac{\Delta l}{l_0}
+\]
+\[
+\varepsilon_q
+=
+\frac{\Delta b}{l_0}
+=
+\varepsilon\cdot\nu
+\]
+\[
+\sigma
+=
+\frac{N}{A}
+\]
+\[
+F
+=
+\int_{A} \sigma dA
+\]
+\[
+\varepsilon^{\prime}
+=
+\frac{1}{l_0}
+\]
+
+\section{Einführung wichtige Begriffe\label{spannung:section:Tensoren}}
+Tensoren wurden als erstes in der Elastizitätstheorie eingesetzt. (Quelle Herr Müller)
+In der Elastizitätstheorie geht es darum viele verschiedene Komponenten zu beschreiben.
+Mit einer Matrix oder einem Vektor kann man dies nicht mehr bewerkstelligen.
+Wenn man den dreidimensionalen Spannungszustand abbilden möchte, müsste man mehrere Vektoren haben.
+Deshalb wurden 1840 von Rowan Hamilton Tensoren in die Mathematik eingeführt.
+Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert.
+Albert Einstein hat Tensoren zudem in der allgemeinen Relativitätstheorie benutzt.
+Tensor sind eine Stufe höher als Matrizen. Matrizen sind 2. Stufe.
+Da Tensoren eine Stufe höher sind, kann man auch Matrizen, Vektoren und Skalare als Tensoren bezeichnen.
+Der Nachteil von den Tensoren ist, dass man die gewohnten Rechenregeln, die man bei Vektoren oder Matrizen kennt,
+nicht darauf anwenden kann. Man ist deshalb bestrebt die Tensoren als Vektoren und Matrizen darzustellen,
+damit man die gewohnten Rechenregeln darauf anwenden kann. (Quelle Wikipedia)
+In der vorliegenden Arbeit sind bereits alle Tensoren als Matrizen 2. Stufe abgebildet.
+Trotzdem kann man diese Matrizen wie vorher beschrieben als Tensor bezeichnen.
+Da diese als Matrizen abgebildet sind, dürfen wir die bekannten Rechenregeln auf unsere Tensoren anwenden.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png
new file mode 100644
index 0000000..8ca72a1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png
new file mode 100644
index 0000000..526ee7b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png
new file mode 100644
index 0000000..6ee004d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png
new file mode 100644
index 0000000..31505bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
new file mode 100644
index 0000000..398529c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
diff --git a/buch/papers/spannung/main.tex b/buch/papers/spannung/main.tex
index 585a423..bbdf730 100644
--- a/buch/papers/spannung/main.tex
+++ b/buch/papers/spannung/main.tex
@@ -4,33 +4,18 @@
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
 \chapter{Thema\label{chapter:spannung}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Dreiachsiger Spannungszustand}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Adrian Schuler und Thomas Reichlin}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+% TODO Text
 
+\input{papers/spannung/Einleitung.tex}
 \input{papers/spannung/teil0.tex}
 \input{papers/spannung/teil1.tex}
 \input{papers/spannung/teil2.tex}
 \input{papers/spannung/teil3.tex}
+\input{papers/spannung/teil4.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex
index cf47a18..2f4d23b 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,22 +1,56 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{spannung:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{spannung:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
+\rhead{Spannungsausbreitung}
+Anhand untenstehendem Bild kann ein einfaches Beispiel betrachtet werden.
+Es gibt eine Flächenlast (Kraft), diese wird auf den Boden abgetragen.
+Diese Last muss dann vom Boden aufgenommen werden.
+Im Boden entsteht nebst der Eigenspannung eine weitere Spannung durch diese Last (Zusatzspannung).
+Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist abhängig von $(x,y,t)$.
+Je nach dem, wo man sich im Boden befindet variert die Spannung.
+Mit der Tiefe wird die Zusatzspannung geringer.
+Die Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden hat die Form einer Zwiebel.
+Durch Untersuchung der Spannung an verschiedenen Punkten im Boden, kann man eine Funktion abtragen.
+Dasselbe macht man auch mit der Dehnung. Es zeigt sich, dass die Form der beiden Funktionen gleich ist.
+Dies erklärt sich dadurch, dass die Spannung und die Dehnung proportional zueinander sind.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png}
+	\caption{Ausbreitung der Spannung im Boden}
+	\label{fig:Bild4}
+\end{figure}
 
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png}
+	\caption{Funktionen Spannung und Dehnung}
+	\label{fig:Bild5}
+\end{figure}
 
+Anhand eines etwas schwierigeren Beispiels sieht man,
+dass die Spannungsausbreitung nicht immer ganz einfach ist.
+Man hat hier eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen wurde.
+Was aber immer noch gilt ist, dass die Spannung $\sigma$ von drei Variablen abhängig ist $(x,y,t)$.
+Ansätze um die Spannungsausbreitung zu berechnen gibt es je nach Bodentyp verschiedene.
 
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
+	\caption{Beispiel Lastauftrag auf Boden}
+	\label{fig:Bild3}
+\end{figure}
+
+Die Spannungsausbreitung ist uns jedoch gegeben, es geht nicht darum, dies genauer zu untersuchen.
+Durch die Spannungsausbreitung und das Elastizitätsmodul kann man eine Dehnung berechnen.
+Anhand dieser Dehnung kann man mit einem Integral wiederum die Setzung berechnen.
+\[
+\varepsilon
+=
+\frac{\sigma}{E}
+\]
+\[
+s
+=
+\int_{0}^{\infty}\varepsilon\enspace dt
+\]
+Die Setzung zu bestimmen ist in der Geotechnik sehr wichtig.
+Besonders ungleichmässige Setzungen können bei Bauwerken Probleme ergeben.
+Es gilt also die Bauwerke so zu dimensionieren, dass es verträgliche Setzungen gibt.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex
index 95e6f0a..9467d21 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil1.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex
@@ -1,55 +1,41 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{spannung:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
+\section{Proportionalität Spannung-Dehnung\label{spannung:section:Proportionalität Spannung-Dehnung}}
+\rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt die elastische Längenänderung von Festkörpern im Zusammenhang mit einer Krafteinwirkung.
+Die Längenänderung $\Delta l$ ist proportional zur Krafteinwirkung $F$.
+\[
+F
+\sim
+\Delta l
+\]
+Man kann dies nur im Bereich vom linearen-elastischen Materialverhalten anwenden.
+Das heisst, dass alle Verformungen reversibel sind, sobald man die Kraft wegnimmt.
+Es findet somit keine dauernde Verformung statt.
+Da es sehr praktisch ist die Längenänderung nicht absolut auszudrücken haben wir $\varepsilon$.
+Die Dehnung $\varepsilon$ beschreibt die relative Längenänderung.
+Die Dehnung $\varepsilon$ ist wiederum proportional zu der aufgebrachten Spannung.
+Im Bauingenieurwesen hat man es oft mit grösseren Teilen oder grösseren Betrachtungsräumen zu tun.
+Da ist es nun natürlich sehr sinnvoll, wenn wir nicht mit absoluten Zahlen rechnen,
+sondern unabhängig von der Länge den Zustand mit Dehnung $\varepsilon$ beschreiben können.
+Mithilfe vom E-Modul, (steht für Elastizitätsmodul) einer Proportionalitätskonstante,
+kann man das in eine Gleichung bringen, wie man hier sieht. Das E-Modul beschreibt,
+das Verhältnis von Kraftaufnahme eines Werkstoffes und dessen zusammenhängender Längenveränderung.
+(Quelle Wikipedia)
+\[
+\sigma
 =
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
+E\cdot\varepsilon
+\]
+\[
+E
 =
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{spannung:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{spannung:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{spannung:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
+\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
+=
+const.
+\]
 
+Aus diesem Verhältnis kann man das E-Modul berechnen.
+Je nach Material ist dies verschieden.
+Das E-Modul lässt sich nur im linearen-elastischen Materialverhalten anwenden.
+Für Bodenmaterial gibt es ein spezielles E-Modul. Dieses wird mit dem Oedometer-Versuch ermittelt.
+Es wird mit $E_{OED}$ ausgedrückt. Dieser Versuch wird später noch beschrieben.
+Der Oedometer-Versuch ist abhängig von den diesem Kapitel zu untersuchenden Matrizen.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 37d3242..3db3e26 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -1,40 +1,451 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{spannung:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}}
+\rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
+Wie im Kapitel Spannungsausbreitung beschrieben herrscht in jedem Punkt ein anderer Spannungszustand.
+Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können, führt man einen infinitesimales Bodenteilchen ein.
+Das Bodenteilchen ist geometrisch gesehen ein Würfel.
+An diesem Bodenteilchen trägt man die Spannungen ein in alle Richtungen.
 
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
+	\caption{Infinitesimales Bodenteilchen}
+	\label{fig:infintesimaler-wurfel}
+\end{figure}
+
+An diesem infinitesimalen Bodenteilchen hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$.
+Die Achsen vom Koordinatensystem zeigen aus den 3 ersichtlichen Flächen heraus.
+Pro ersichtliche Fläche haben wir eine Normalspannung und zwei Schubspannungen.
+Im Gegensatz zum eindimensionalen Zustand entstehen bei einer Belastung des Bodenteilchens eine Vielzahl an Spannungen.
+Es entstehen diverse Normal- und Schubspannungen.
+Die Schubspannungen befinden sich an der Fläche, sie gehen rechtwinklig von den Achsen weg.
+Die Schubspannungen auf einer Fläche stehen im 90 Grad Winkel zueinander.
+Geschrieben werden diese mit $\sigma$, mit jeweils zwei Indizes.
+Die Indizes geben uns an, in welche Richtung die Spannungen zeigen.
+Der erste Index ist die Fläche auf welcher man sich befindet.
+Der zweite Index gibt an, in welche Richtung die Spannung zeigt, dabei referenzieren die Indizes auch auf die Achsen $(1,2,3)$.
+Bei den Spannungen sind immer positive als auch negative Spannungen möglich.
+Es können also Druck- oder Zugspannungen sein.
+
+Zunächst wird untenstehend der allgemeine Spannungszustand betrachtet.
+
+Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3}
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\sigma_{ij}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{12}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{21}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{31}\\
+	\sigma_{32}\\
+	\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3}
+
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\varepsilon_{kl}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{12} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{21} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} \\
+	\varepsilon_{32} \\
+	\varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Bei diesen zwei obenstehenden Formeln kann man sehen wie Matrizen zu einem Vektor umgewandelt wurden.
+Unter dem Kapitel Hadamard-Algebra kann man sehen, dass man dabei Zeile um Zeile in eine Spalte schreiben kann,
+sodass es einen Vektor ergibt.
+
+Elastizitätstensor 4. Stufe i,j,k,l $\in$ {1,2,3}
+\[
+\overline\overline{C}
+=
+C_{ijkl}
+=
+\begin{pmatrix}
+C_{1111} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1132} & C_{1133} \\
+C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\
+C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\
+C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} & C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\
+C_{2211} & C_{2212} & C_{1113} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\
+C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\
+C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} & C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\
+C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\
+C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Dieser Elastizitätstensor muss eine quadratische Matrix mit $3^{4}$ Einträgen ergeben,
+da die Basis mit den drei Richtungen $1, 2, 3$ und die Potenz mit den 4 Indizes mit je $1, 2, 3$ definiert sind.
+Dies gibt daher eine 9 x 9 Matrix, welche zudem symmetrisch ist.
+
+Folglich gilt:
+\[
+\overline{\overline{C}}
+=
+\overline{\overline{C}}~^{T}
+\]
+
+Allgemeine Spannungsgleichung (mit Vektoren und Tensor)
+\[
+\vec\sigma
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{12}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{21}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{31}\\
+	\sigma_{32}\\
+	\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+	1-2\nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
+	     0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
+	     0 &          0 & frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 & frac{1}{4} &          0 & 0     \\
+	     0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
+	   \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
+  	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} & 0     \\
+	     0 &          0 & frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 & frac{1}{4} &          0 & 0     \\
+	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} & 0     \\
+	   \nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{12} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{21} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} \\
+	\varepsilon_{32} \\
+	\varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Man kann das zudem auch als Indexnotation aufschreiben.
+
+\[
+\sigma_{ij}
+=
+=
+\sum_k=1^3
+\sum_l=1^3
+C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
+\]
+
+Um die Berechnung an einem Beispiel zu veranschaulichen:
+
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}+\frac{E}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{22}+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{33}
+\]
+
+Anhand dem Tensor der allgemeinen Spannungsgleichung kann man zwar eine Symmetrie erkennen.
+Die verschiedenen Einträge wechseln sich aber mit einander ab und es gibt keine klaren Blöcke mit nur einem gleichen Eintrag.
+Man greift deshalb auf die Voigt'sche Notation zurück.
+
+
+Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
+
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+  	            & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	        sym &             & \sigma_{33} 
+\end{pmatrix}
+\Rightarrow
+\vec{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+    \sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+In der Voigt'sche Notation hat man die Reihenfolge von der Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten.
+Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben um den Vektor zu erhalten.
+
+Eine weitere Besonderheit ist die Symmetrie der Matrix.
+So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ und $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$.
+Dies ist dadurch bedingt, dass die Kräfte in seitlicher Richtung im Boden die gleichen Werte annehmen.
+Man hat in dieser Berechnung ein isotropes Material.
+Im infinitesimalen Körper muss ein Gleichgewicht vorherrschen.
+Ist kein Gleichgewicht vorhanden, würde sich der Körper zu drehen beginnen.
+Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung 3 geht,
+oder auf der Achse 3 in Richtung 2.
+
+Da die Spannung proportional zur Dehnung ist, kann man die ganze Voigt'sche Notation auch mit der Dehnung ausdrücken.
+Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um.
+
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	                 & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\text{sym}       &                  & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+
+Mit der hergeleiteten Beziehung für die Spannungsgleichung anhand vom E-Modul,
+der allgemeinen linearen Spannungsgleichung kann man diese Beziehungen neu aufschreiben.
+Man benötigt dazu den zuvor berechneten Dehnungsvektor.
+Die Gleichung besagt:
+\[
+\text{Spannungsvektor}
+=
+\text{Elastizitätstensor}\cdot\text{Dehnungsvektor}
+\]
+\[
+\vec{\sigma}
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+\]
+
+Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor.
+Der Tensor hat sich also im Vergleich zum 9 x 9 Tensor verkleinert.
+Dies ist deshalb der Fall, da man in den Achsen 2 und 3 Symmetrien hat.
+Dadurch kann man die Einträge $(\varepsilon_{21}=\varepsilon_{12}; \varepsilon_{31}=\varepsilon_{13}; \varepsilon_{32}=\varepsilon_{23})$
+zusammenfassen und drei Einträge verschwinden, da drei Dehnungen gleich sind.
+Das ganze sieht dann wie folgt aus:
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
+	C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
+	C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
+	C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
+	C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
+	C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Die Spannung $\sigma_{11}$ besteht somit aus Anteilen von all diesen sechs Konstanten und den verschiedenen Dehnungen.
+Zuvor bei der Voigt'schen Notation hat man jedoch gesehen, dass die Tensoren symmetrisch sind.
+Folglich muss auch dieser Elastizitätstensor symmetrisch sein.
+Das sind folgendermassen aus:
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	  C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
+	         & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
+	         &        & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ 
+	         &        &        & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ 
+             &        &        &        & C_{55} & C_{56} \\
+  \text{sym} &        &        &        &        & C_{66} 
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Die Konstanten $C$ kann man nun anders ausdrücken.
+Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz.
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+	1- 2\nu & \nu     & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+	    \nu & 1- 2\nu & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+        \nu & \nu     & 1- 2\nu & 0           & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & \frac{1}{2} & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & \frac{1}{2} & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & 0           & \frac{1}{2}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Mithilfe der Poissonzahl, welche uns die Querdehnung angibt,
+sprich wie viel sich der Körper in Querrichtung verformt und dem E-Modul kann man alle Konstanten ausdrücken.
+Bei einigen fällt auf, dass diese 0 werden. Der Tensor besagt also,
+dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
+Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich bei der allgemeinen Darstellung der Spannungsgleichung,
+die Einträge verschoben haben. Man hat nun eine sehr vorteilhafte Anordnung der verschiedenen Blöcke im Tensor.
+Als Beispiel kann man sich $\sigma_{33}$ anschauen.
+Es ist ersichtlich, dass die Konstante $C_{31}$, $C_{32}$, $C_{33}$, $C_{35}$  und $C_{36}$ keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
+Dies kann wie folgt erklärt werden. Auf Achse 3 geht $\sigma_{33}$ in Richtung 3.
+Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$.
+
+Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\overline{C}}~^{-1}$ stellt sich die ganze Gleichung um.
+
+\[
+\vec{\varepsilon}
+=
+\overline{\overline{C}}~^{-1}\cdot \vec{\sigma}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{1}{E}
+\begin{pmatrix}
+	   1 & -\nu & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
+	-\nu &    1 & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
+	-\nu & -\nu &    1 & 0      & 0      & 0     \\
+ 	   0 &    0 &    0 & 2+2\nu & 0      & 0     \\
+	   0 &    0 &    0 &      0 & 2+2\nu & 0     \\
+	   0 &    0 &    0 &      0 & 0      & 2+2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Die zwei Blöcke links unten und rechts oben sind immer noch vorhanden.
+Im Vergleich wo wir die Inverse noch nicht gemacht haben hat sich das nicht geändert.
+Um die Einflüsse der Parameter zu veranschaulichen schreibt man folgende Gleichung.
+
+\[
+\varepsilon_{22}
+=
+\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33}
+\]
+
+$\varepsilon_{22}$ beschreibt die Dehnung in Achse 2 und in Richtung 2.
+In erster Linie hängt $\varepsilon_{22}$ von $\sigma_{22}$ ab.
+Wenn die Poisson - Zahl grösser wird oder $\sigma_{11}$ oder $\sigma_{33}$, dann wird dadurch die Dehnung $\varepsilon_{22}$ kleiner.
+Das heisst, auf Kosten von Verformung in anderer Richtung als Achse 2 Richtung 2 erfolgt die Verformung an anderer Stelle.
+Wiederum hat die Schubspannung auf $\sigma_{11}$ keinen Einfluss.
+
+Nun kennt man die Beziehung der 6 Dehnungen mit den 6 Spannungen.
+In der Geotechnik wäre das aufgrund der vielen Komponenten sehr umständlich um damit Berechnungen zu machen.
+Es braucht daher eine Vereinfachung mit Invarianten, welche im nächsten Kapitel beschrieben sind.
 
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index ce7d50f..4054262 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -1,40 +1,94 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{spannung:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Invarianten}}
+\rhead{Invarianten}
+Trotz der Vereinfachung lässt sich mit den Invarianten die Realität adäquat abbilden.
+Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf:
 
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\sigma_{33}
+\]
 
+Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
+In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33.
+Das Verhalten bezüglich Kraftaufnahme, Dehnung Spannung ist somit dasselbe.
+
+Man führt die zwei Werte p als hydrostatische Spannung und q als deviatorische Spannung ein.
+Die Berechnung von p und q sieht wie folgt aus:
+
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+\]
+
+oder durch Vereinfachung, da $\sigma_{22}=\sigma_{33}$ :
+
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
+\]
+
+\[
+q
+=
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+\]
+
+p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel.
+q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3.
+Man kann p als Druckspannung und q als Schubspannung anschauen.
+
+Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen.
+Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen.
+Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt.
+Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden.
+Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen werden.
+
+\[
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+=
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{\nu}}
+\]
+
+\[
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+=
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+\]
+
+\[
+\varepsilon_{s}
+=
+Hydrostatische Dehnung [-]
+\]
+
+\[
+\varepsilon_{\nu}
+=
+Deviatorische Dehnung [-]
+\]
+
+Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix einsetzen.
+Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	q\\
+	p
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\frac{3E}{2(1+\nu)} &                   0 \\
+	                  0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{s}\\
+	\varepsilon_{\nu}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen.
+Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch.
+Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..85e9b1b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -0,0 +1,68 @@
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}}
+\rhead{Oedometer - Versuch}
+Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden.
+In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt.
+Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet.
+
+Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab.
+Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe.
+Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0.
+Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen.
+Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung.
+Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen.
+Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet.
+
+Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik.
+Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet.
+Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund.
+Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen.
+
+Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren.
+So ist es auch beim Oedometer - Versuch.
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
+	\caption{Diagramm Oedometer - Versuch}
+	\label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch}
+\end{figure}
+
+Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird.
+Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
+
+Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$.
+
+\[
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+=
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}}
+\]
+
+\[
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+=
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}-\sigma_{33} \\
+	\sigma_{11}+2\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+	\frac{E_{OED}}{(1+\nu)} &                        0 \\
+	                      0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)}
+\end{bmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{11}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen.
+Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen.
+Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen.
+
+Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.