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author | User-PC\User <thomas.reichlin@ost.ch> | 2021-05-12 17:04:05 +0200 |
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Das heisst das alle Verformungen reversibel sind, sobald man die Kraft wegnimmt. diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex index 4aa8204..d11b3f6 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil2.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex @@ -1,49 +1,270 @@ -\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger Spannungszustand}} +\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}} \rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung} Wie im Kapitel Spannungsausbreitung beschrieben herrscht in jedem Punkt ein anderer Spannungszustand. Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können für man einen infinitesimalen Würfel ein. \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken\infinitesimalerWürfel.jpg} - \caption{infinitesimaler Würfel} + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg} + \caption{Infinitesimaler Würfel} \label{fig:infintesimaler-wurfel} \end{figure} Sobald eine Kraft von oben wirkt hat man auch Kräfte die seitlich wirken. -An diesem infinitesimalen Würfel hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen (1,2,3). +An diesem infinitesimalen Würfel hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$. Jede dieser 6 Flächen dieses Würfels hat damit 3 Pfeile. Geschrieben werden diese mit $\sigma$ mit jeweils zwei Indizes gibt. Die Indizes geben uns an, in welche Richtung der Pfeil zeigt. -Zur Notation wird die Voigt`sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus: +Der erste Index ist die Achse auf welcher man sich befindet. +Der zweite Index gibt an, in welche Richtung der Pfeil zeigt. +Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus: \[ \overline{\sigma} = -\left[ \begin{array}{rrr} +\begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ - \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\ -\end{array}\right] + \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} +\end{pmatrix} = -\left[ \begin{array}{rrr} +\begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ - & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ + & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ sym & & \sigma_{33} \\ -\end{array}\right] +\end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{\sigma} = -\left(\begin{array}{c}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{23}\\\sigma_{13}\\\sigma_{12}\end{array}\right) +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}\\ + \sigma_{22}\\ + \sigma_{33}\\ + \sigma_{23}\\ + \sigma_{13}\\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} \] -Voigt`sche Notation besagt, dass man diesen Spannungstensor als Vektor aufschreiben darf. +Voigt'sche Notation besagt, dass man diesen Spannungstensor als Vektor aufschreiben darf. Die Reihenfolge folgt der Regel von Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten. Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben. Eine weitere Besonderheit ist die Symmetrie der Matrix. +So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ oder $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$. +Dies ist dadurch bedingt, dass die Kräfte in seitlicher Richtung im Boden die gleichen Werte annehmen. +Man hat in dieser Berechnung ein isotropes Material. +Im infinitesimalen Körper muss ein Gleichgewicht vorherrschen. +Ist kein Gleichgewicht vorhanden, würde sich der Körper zu drehen beginnen. +Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung drei geht, +oder auf der Achse 3 in Richtung 2. -?????Was könnte man hier noch zu den Pfeilen erklären vom Würfel??????? +Da die Spannung proportional zur Dehnung ist, kann man die ganze Voigt'sche Notation auch mit der Dehnung ausdrücken. +Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um. +\[ +\bar{\varepsilon} += +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ + & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ + \text{sym} & & \varepsilon_{33} +\end{pmatrix} +\qquad +\Rightarrow +\qquad +\vec{\varepsilon} += +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} \\ + \varepsilon_{22} \\ + \varepsilon_{33} \\ + \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} +\] + + +Mit der hergeleiteten Beziehung für die Spannungsgleichung anhand vom E-Modul, +der allgemeinen linearen Spannungsgleichung kann man diese Beziehungen neu aufschreiben. +Man benötigt dazu den zuvor berechneten Dehnungsvektor. +Die Gleichung besagt: +Spannungsvektor $=$ Elastitzitätstensor $\times$ Dehnungsvektor + +\[ +\overrightarrow{\sigma} += +\overline{\overline{C}}\cdot \overrightarrow{\varepsilon} +\] + +Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor. (Kann man das noch weiter erklären weshalb?????) +Das ganze sieht dann wie folgt aus: + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11} \\ + \sigma_{22} \\ + \sigma_{33} \\ + \sigma_{23} \\ + \sigma_{13} \\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ + C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ + C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ + C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ + C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ + C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} \\ + \varepsilon_{22} \\ + \varepsilon_{33} \\ + \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} +\] + +IST DIESE REIHENFOLGE KORREKT???? BEI DEHNUNG + +Die Spannung $\sigma_{11}$ besteht somit aus Anteilen von all diesen sechs Konstanten und den verschiedenen Dehnungen. +Zuvor bei der Voigt'schen Notation hat man jedoch gesehen, dass die Tensoren symmetrisch sind. +Folglich muss auch dieser Elastizitätstensor symmetrisch sein. +Das sind folgendermassen aus: + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11} \\ + \sigma_{22} \\ + \sigma_{33} \\ + \sigma_{23} \\ + \sigma_{13} \\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ + & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ + & & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ + & & & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ + & & & & C_{55} & C_{56} \\ + \text{sym} & & & & & C_{66} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} \\ + \varepsilon_{22} \\ + \varepsilon_{33} \\ + \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} +\] + +Die Konstanten $C$ kann man nun anders ausdrücken. +Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz. + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}\\ + \sigma_{22}\\ + \sigma_{33}\\ + \sigma_{23}\\ + \sigma_{13}\\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} += +\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} +\begin{pmatrix} + 1- 2\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ + \nu & 1- 2\nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ + \nu & \nu & 1- 2\nu & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11}\\ + \varepsilon_{22}\\ + \varepsilon_{33}\\ + \varepsilon_{23}\\ + \varepsilon_{13}\\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} +\] + +Mithilfe der Poissonzahl, welche uns die Querdehnung angibt, +sprich wie viel sich der Körper in Querrichtung verformt und dem E-Modul kann man alle Konstanten ausdrücken. +Bei einigen fällt auf, dass diese 0 werden. Der Tensor besagt also, +dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben. +Als Beispiel kann man sich $\sigma_{33}$ anschauen. +Es ist ersichtlich, dass die Konstante $C_{31}$, $C_{32}$, $C_{33}$, $C_{35}$ und $C_{36}$ keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben. +Dies kann wie folgt erklärt werden. Auf Achse 3 geht $\sigma_{33}$ in Richtung 3. +Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ + +Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\overline{C}}~^{-1}$ stellt sich die ganze Gleichung um. + +\[ +\vec{\varepsilon} += +\overline{\overline{C}}~^{-1}\cdot \vec{\sigma} +\] + +\[ +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11}\\ + \varepsilon_{22}\\ + \varepsilon_{33}\\ + \varepsilon_{23}\\ + \varepsilon_{13}\\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} += +\frac{1}{E} +\begin{pmatrix} + 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0\\ + -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0\\ + -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}\\ + \sigma_{22}\\ + \sigma_{33}\\ + \sigma_{23}\\ + \sigma_{13}\\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} +\] + +Die zwei Blöcke links unten und rechts oben sind immer noch vorhanden. +Im Vergleich wo wir die Inverse noch nicht gemacht haben hat sich das nicht geändert. +Um die Einflüsse der Parameter zu veranschaulichen schreibt man folgende Gleichung. + +\[ +\varepsilon_{22} += +\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33} +\] + +$\varepsilon_{22}$ beschreibt die Dehnung in Achse 2 und in Richtung 2. +In erster Linie hängt $\varepsilon_{22}$ von $\sigma_{22}$ ab. +Wenn die Poisson - Zahl grösser wird oder $\sigma_{11}$ oder $\sigma_{33}$, dann wird dadurch die Dehnung $\varepsilon_{22}$ kleiner. +Das heisst, auf Kosten von Verformung in anderer Richtung als Achse 2 Richtung 2 erfolgt die Verformung an anderer Stelle. +Wiederum hat die Schubspannung auf $\sigma_{11}$ keinen Einfluss. +Nun kennt man die Beziehung der 6 Dehnungen mit den 6 Spannungen. +In der Geotechnik wäre das aufgrund der vielen Komponenten sehr umständlich um damit Berechnungen zu machen. +Es braucht daher eine Vereinfachung mit Invarianten, welche im nächsten Kapitel beschrieben sind. diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex index ce7d50f..a3b0b7d 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil3.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex @@ -1,40 +1,94 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{spannung:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{spannung:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Invarianten}} +\rhead{Invarianten} +Trotz der Vereinfachung lässt sich mit den Invarianten die Realität adäquat abbilden. +Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf: +\[ +\sigma_{22} += +\sigma_{33} +\] +Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht. +In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33. +Das Verhalten bezüglich Kraftaufnahme, Dehnung Spannung ist somit dasselbe. + +Man führt die zwei Werte p als hydrostatische Spannung und q als deviatorische Spannung ein. +Die Berechnung von p und q sieht wie folgt aus: + +\[ +p += +\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3} +\] + +oder durch Vereinfachung, da $\sigma_{22}=\sigma_{33}$ : + +\[ +p += +\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3} +\] + +\[ +q += +\sigma_{11}-\sigma_{33} +\] + +p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel. +q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3. +Man kann p als Druckspannung und q als Schubspannung anschauen. + +Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen. +Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen. +Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt. +Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden. +Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen werden. + +\[ +\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q} += +\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{\nu}} +\] + +\[ +\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p} += +\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}} +\] + +\[ +\varepsilon_{s} += +Hydrostatische Dehnung [-] +\] + +\[ +\varepsilon_{\nu} += +Deviatorische Dehnung [-] +\] + +Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix einsetzen. +Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor. + +\[ +\begin{pmatrix} + q\\ + p +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + \frac{3E}{2(1+\nu)} & 0 \\ + 0 & \frac{E}{3(1-2\nu)} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{s}\\ + \varepsilon_{\nu} +\end{pmatrix} +\] + +Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen. +Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch. +Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben. diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex new file mode 100644 index 0000000..f1437b1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}} +\rhead{Oedometer - Versuch} +Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden. +In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt. +Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet. + +Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab. +Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe. +Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0. +Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen. +Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung. +Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen. +Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet. + +Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik. +Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet. +Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund. +Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen. + +Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren. +So ist es auch beim Oedometer - Versuch. +Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg} + \caption{Diagramm Oedometer - Versuch} + \label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch} +\end{figure} + +Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird. +Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. + +Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$. + +\[ +\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q} += +\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}} +\] + +\[ +\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p} += +\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}} +\] + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}-\sigma_{33} \\ + \sigma_{11}+2\sigma_{33} +\end{pmatrix} += +\begin{bmatrix} + \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\ + 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} +\end{bmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11}\\ + \varepsilon_{11} +\end{pmatrix} +\] + +An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen. +Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen. +Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen. + +Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. |