More on symmetry

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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
index 9953339..a6efdbf 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
@@ -4,4 +4,4 @@
 % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\usepackage{tikz-3dplot}
+\usepackage{dsfont}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
index aa7eb14..0d4e30a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib
+++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
@@ -4,6 +4,19 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
+@book{punktgruppen:pinter-algebra,
+	title = {A Book of Abstract Algebra},
+	author = {Charles C. Pinter},
+	publisher = {Dover Publications Inc.; 2. Edition},
+	year = {2010},
+	month = {1},
+	day = {10},
+	isbn = {978-0486474175},
+	inseries = {Dover Books on Mathematics},
+	volume = {1}
+}
+
+
 @online{punktgruppen:bibtex,
 	title = {BibTeX},
 	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
@@ -32,4 +45,3 @@
         pages = {607--627},
         url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
 }
-
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 9a1a945..58950da 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -86,18 +86,60 @@ nun eingeführt wird.
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
 	Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\)
-	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen \(g_i\)
-	bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
+	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
 \(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
 \[
-	C_n = \left\{\mathbf{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+	C_n = \langle r \rangle
+		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+		= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},
 \]
-die Zyklische Gruppe heisst.
-
-\begin{definition}[Gruppenwirkung]
+die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
+Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
+Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
+Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet
+werden\cite{punktgruppen:pinter-algebra}.  Die Reflexionssymmetriegruppe ist
+nicht so interessant, da sie nur
+\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
+der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
+\[
+	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
+	.
+\]
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
+möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
+Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
+Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
+\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
+	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
+	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
+	für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man
+	sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
+	\(H\) eine Darstellung von \(G\) ist\cite{punktgruppen:pinter-algebra}.
 \end{definition}
+\begin{beispiel}
+	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
+	Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix 
+	\[
+		\Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+			\cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+			\sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
+		\end{pmatrix}
+	\]
+	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
+	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
+	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass
+	\(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+\end{beispiel}
+\begin{beispiel}
+	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
+	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
+	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
+	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+\end{beispiel}
 
 % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: