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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
index 994c400..8201937 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
@@ -35,6 +35,16 @@ Der sogenannte Randoperator ordnet jedem Dreieck, Tetraeder oder allgemein
 jedem Simplex seinen Rand zu.
 Damit wird es möglich, das Dreieck vom Rand des Dreiecks zu unterschieden.
 
+Die Verallgemeinerung dieser Idee liefert eine algebraische Konstruktion
+zu jedem topologischen Raum, die sogenannten Homologie-Gruppen.
+Sie formalisieren ein mögliches Konzept der Dimension und der
+Idee von ``Löchern'' in einem topologischen Raum.
+Sie können dabei helfen, die topologische Struktur verschiedener
+Räume zu unterscheiden.
+Das Ziel dieses Kapitels ist nicht, die Homologietheorie 
+vollständig zu entwickeln, sondern zu zeigen, wie man Matrizen
+verwenden kann, um konkrete Rechnungen durchzuführen.
+
 \input{chapters/95-homologie/simplex.tex}
 \input{chapters/95-homologie/komplex.tex}
 \input{chapters/95-homologie/homologie.tex}
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
index 905ecc3..6588f8a 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
@@ -111,6 +111,9 @@ Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$
 abgekürzt werden.
 \end{definition}
 
+% XXX Visualisierung Zyklen/Ränder, Klassen von Zyklen, die sich um einen
+% XXX Rand unterscheiden
+
 Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die
 Homologiegruppe $H_2$ die Anwesenheit eines Hohlraumes detektieren kann,
 der entsteht, wenn man aus einem Tetraeder das innere entfernt.
@@ -313,6 +316,815 @@ Die Homologiegruppe $H_2$ hat jetzt Dimension $1$ und zeigt damit den
 Hohlraum an.
 \end{beispiel}
 
+\subsubsection{Basiswahl}
+Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von
+Vektorräumen ist ziemlich abstrakt.
+Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen
+Rand unterscheiden.
+% XXX Verweise auf Visualisierung
+Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen
+identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf}
+\caption{Beispiel für die Berechnung von Basisvektoren und Homologieklassen
+mit Hilfe des Gauss-Algorithmus
+\label{buch:homologie:fig:gausshomoex}}
+\end{figure}
+
+Um eine Basis für $H_k(C)$ zu konstruieren, ist es zunächst nötig,
+eine Basis de rZyklen $Z_k(C)$ zu bestimmen.
+Ausgehend von einer beliebigen Basis der $C_k$ und einer 
+zugehörigen Darstellung des Randoperators $\partial_k$ als
+Matrix, kann eine Basis von Zyklen mit Hilfe des Gauss-Algorithmus
+gefunden werden.
+Wir bezeichnen die Menge dieser Zyklen mit
+\[
+\mathcal{Z}_k 
+=
+\{
+z_1^{(k)},
+z_2^{(k)},
+\dots,
+z_l^{(k)}
+\}.
+\]
+$\mathcal{Z}_k$ erzeugt den $l$-dimensionalen Vektorraum $Z_k(C)$.
+
+\begin{beispiel}
+\label{buch:homologie:beispiel:gausshomo}
+In Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomoex} ist ein Polyeder 
+dargestellt, dessen Homologiegruppe $H_1$ berechnet werden soll.
+Um eine Basis für die Zyklen zu berechnen, wird zunächst die Matrix
+des Randoperators $\partial_1$ aufgestellt.
+Sie ist
+\[
+\setcounter{MaxMatrixCols}{27}
+\partial_1
+=
+\tiny
+\setlength\arraycolsep{2pt}
+\begin{pmatrix*}[r]
+%1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+-1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 1
+ 1&-1& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 2
+ 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 3
+ 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 4
+ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 5
+ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 6
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 7
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 8
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 9
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ %10
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0\\ %11
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ %12
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 1& 0\\ %13
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 1& 0&-1\\ %14
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1\\ %15
+\end{pmatrix*}
+\]
+Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist
+\begin{center}
+\tiny
+\setlength\tabcolsep{3pt}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\
+\hline
+ 1&1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 2&0& 1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 3&0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 4&0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 5&0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 6&0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 7&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+ 8&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 9&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+10&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+11&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\
+12&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\
+13&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0& 1\\
+14&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1\\
+15&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+\hline
+\end{tabular},
+\end{center}
+daraus kann man die Zyklen ablesen.
+{
+\begin{align*}
+z_1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_2
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_3
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_4 % variable 12 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_5 % variable 13 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_6 % variable 14 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_7 % variable 16 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},\\
+z_8 % variable 18 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_9 % variable 20 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+-1\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{10} % variable 22 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %5
+ 0\\ 
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %10
+ 0\\ 
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %15
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\ %20
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %25
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{11} % variable 24 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\ %5
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\ %10
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\ %15
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\ %20
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\ %25
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{12} % variable 25 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %10
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %15
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\ %20
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 1\\ %25
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{13} % variable 27 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\ %20
+ 1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\ %25
+ 1\\
+ 1
+\end{pmatrix*}
+\end{align*}
+}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf}
+\caption{Zyklen des Randoperators $\partial_1$ im Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}.
+\label{buch:homologie:fig:homocycles}}
+\end{figure}
+Die Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} {\color{red}rot} dargestellt.
+\end{beispiel}
+
+Da $B_k(C)\subset Z_k(C)$ gilt, lässt sich für jedes $c_{k+1}\in C_{k+1}$
+der Rand $\partial_{k+1}c_{k+1}$ als Linearkombination der im 
+vorangegangenen Schritt gefundenen Basiszyklen finden.
+Wir können also aus der Standardbasis $e^{(k+1)}_i\in C_{k+1}$ eine Menge
+von Vektoren $\partial_{k+1}e^{(k+1)}_i$ gewinnen, die mit Sicherheit
+ganz $B_k(C)$ aufspannen.
+Es ist aber davon auszugehen, dass diese Vektoren nicht linear unabhängig
+sind.
+Es ist also nötig, eine Teilmenge
+\[
+\mathcal{B}_k
+=
+\{
+\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_1},
+\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_2},
+\dots,
+\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_m}
+\}
+\]
+von Vektoren auszuwählen, die linear
+unabhängig sind.
+Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf}
+\caption{Die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ für das Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}.
+Die grauen Dreiecke bilden die Standardbasis $e_i^{(2)}$ von $C_2$,
+die blauen Dreiecke sind die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ dieser
+Dreiecke.
+\label{buch:homologie:fig:homoboundaries}}
+\end{figure}
+
+Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und
+\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen,
+wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$
+linear kombiniert werden können.
+Man erhält so die Beziehungen.
+\begin{equation}
+\setcounter{MaxMatrixCols}{29}
+\setlength\arraycolsep{1pt}
+\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+\partial_2e_1^{(2)} &=&z_1& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_2^{(2)} &=&   & &z_2& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_3^{(2)} &=&   & &   & &z_3& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_4^{(2)} &=&   & &   & &   & &z_4& &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_5^{(2)} &=&   & &   & &   & &   &-&z_5& &   &+&z_7& &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_6^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   &-&z_6& &   &+&z_8& &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_7^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &z_{10}& &      & &      & &      \\
+\partial_2e_8^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &z_{11}& &      & &      \\
+\partial_2e_9^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      &-&z_{12}&+&z_{13}
+\end{array}
+\end{equation}
+Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke
+linear unabhängig sind.
+Im vorliegenden Fall ist dies einfach: jedes blaue Dreieck besteht aus
+Kanten, die in keinem anderen blauen Dreieck vorkommen, daher müssen
+sie alle linear unabhängig sein.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf}
+\caption{Bestimmung einer Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$ mit
+Hilfe der Vorwärtsreduktion des Gaussalgorithmus.
+Die schwarzen Nullzeilen zeigen an, welche Zeilenvektoren zusammen mit
+den darüberliegenden Vektoren nicht linear unabhängig sind und damit nicht
+in Frage kommen für die besuchte Basis.
+Übrig bleiben die {\color{red}rot} und {\color{darkgreen}grün} hervorgehobenen
+Vektoren.
+\label{buch:homologie:fig:gausshomobasis}}
+\end{figure}
+
+Diese Auswahl lässt sich sehr leicht mit Hilfe der folgenden
+Variante des Gauss-Algorithmus realisieren.
+Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen Gauss-Tableau zunächst mit den Vektoren
+$\partial_{k+1}{e_i^{(k+1)}}^t$ gefüllt.
+Führt man in diesem Tableau die Vorwärtsreduktion durch, wobei man
+entstehende Nullzeilen einfach überspringt, bleiben nur noch Zeilen
+übrig, die linear unabhängig sind.
+Diese Zeilen entsprechen den linear unabhängigen Vektoren von $\mathcal{B}_k$,
+die Zeilennummern sind $i_1,i_2,\dots,i_m$.
+Dieses vorgehen ist schematisch im oberen Teil der
+Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomobasis} dargestellt.
+
+Um eine Basis von $H_k(C)$ zu konstruieren, müssen wir jetzt eine
+Basis von Zyklen finden, die sich nicht nur um einen Rand unterscheiden,
+die also zu verschiedenen Homologie-Klassen in $H_k(C)$ gehören.
+Gesucht sind jetzt also Vektoren $\mathcal{Z}'_k$ derart, dass 
+die Vektoren von $\mathcal{Z}'_k\cup\mathcal{B}_k$ immer noch $Z_k(C)$
+aufspannen, aber zusätzlich linear unabhängig sind.
+
+Dazu kann man wie folgt vorgehen.
+\begin{enumerate}
+\item
+Man beginnt mit $\mathcal{D}_0=\emptyset$ und setzt $j=0$.
+\item
+Dann testet man der Reihe nach alle noch nicht getesteten Vektoren
+von $z_i^{(k)}\in\mathcal{Z}_k$ daraufhin, ob sie von den Vektoren
+$\mathcal{B}_k\cup \mathcal{D}_j$ linear unabhängig sind.
+Wenn ja, bildet man $\mathcal{D}_{j+1} = \mathcal{D}\cup\{z^{(k)}_i\}$ und
+setzt $j=1$.
+Andernfalls ignoriert man $z^{(k)}_i$.
+\item
+Schritt 2 wird wiederholt, bis man alle Vektoren von $\mathcal{Z}_k$
+getestet hat.
+Die gesuchte Basis setzt sich zusammen  aus $\mathcal{B}_k$ und
+$\mathcal{D}_l$,
+also
+$
+\mathcal{Z}_k'
+=
+\mathcal{B}_k
+\cup
+\mathcal{D}_l.
+$
+\end{enumerate}
+
+Dieser Algorithmus kann ebenfalls mit der oben angesprochenen Variante
+des Gauss-Algorithmus durchgeführt werden.
+Dazu werden die Zeilen $n_k+1$ bis $n_k+1+|\mathcal{Z}_k|$ mit den
+Vektoren $z_i^t$.
+Dann führt man die Vorwärtsreduktion im ganzen Tableau durch, wobei
+man wieder die Nullzeilen stehen lässt.
+Nullzeilen zeigen wieder Vektoren an, die sich linear durch die darüber
+liegenden Vektoren ausdrücken lassen.
+Die auszuwählenden Vektoren sind daher genau diejenigen, die für
+$\mathcal{Z}_k'$ ausgewählt werden müssen.
+
+Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau
+in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau},
+bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9
+Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen.
+Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}
+dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$,
+$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen.
+Es bleiben die folgenden Zyklen:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
+\text{Zyklus}&Eigenschaft\\
+\hline
+z_5   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\
+z_6   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\
+z_9   &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\
+z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt.
+Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen
+Dreiecke.
+Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines
+Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\setlength\tabcolsep{1pt}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5
+&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10
+&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15
+&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20
+&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25
+&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27
+\\
+%                                1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7
+\hline
+\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}& 1&  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}&  & 1&  &  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}&  &  & 1&  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}&  &  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  &\phantom{-}1& 1&  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
+\hline
+%                    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+\scriptstyle z_{ 1}& 1&  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 2}&  & 1&  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 3}&  &  & 1&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 4}&  &  &  & 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 5}&-1&  &  &  &-1&  & 1&  &  &  &  &  & 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 6}&  &  &-1&  &  &  &  &  &-1&  & 1&  &  & 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 7}& 1&  &  &  & 1&  &-1&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 8}&  &  & 1&  &  &  &  &  & 1&  &-1&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 9}&-1&-1&  &  & 1&  &  &  & 1&  &  &  &  &  &-1&  & 1& 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{10}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1& 1&  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{11}& 1& 1&  &  & 1&  &  &  &-1&  &  &  &  &  & 1&  &-1&  &-1&  &  &  & 1& 1&  &  &  \\
+\scriptstyle z_{12}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &-1&  &-1&  & 1&  & 1&  &  \\
+\scriptstyle z_{13}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&  &-1&  &  & 1& 1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Gauss-Tableau für die Bestimmung einer Basis von
+$H_1$ für das Beispiel. 
+Die ersten neuen Zeilen bestehen aus den Bildern der
+Basisvektoren von $C_2$.
+Im vorliegenden Fall kann man sofort sehen, dass alle diese
+Zeilen linear unabhängig sind.
+Die folgenden Zeilen sind die Zyklen in $\mathbb{Z}_2$, sie
+sind ebenfalls linear unabhängig.
+Mit Hilfe der Vorwärtsreduktion müssen jetzt diejenigen
+Zeilen elminiert werden, die bereits aus anderen Zyklen
+mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können.
+\label{buch:homologie:beispiel:gausstableau}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\setlength\tabcolsep{1pt}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5
+&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10
+&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15
+&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20
+&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25
+&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27
+\\
+%                                1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7
+\hline
+\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}&\phantom{-}1&  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}&  &\phantom{-}1&  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}&  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}&  &  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  &\phantom{-}1& 1&  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
+\hline
+%                    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+\scriptstyle z_{ 1}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 2}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 3}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 4}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 5}&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 6}&  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 7}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 8}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 9}&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &-1&-1&-1&-1&  &  &  \\
+\scriptstyle z_{10}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{11}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{12}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &-1&-1\\
+\scriptstyle z_{13}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen
+ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden.
+\label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf}
+\caption{Repräsentanten für die Reduzierten Klassen aus dem
+Tableau von
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert},
+sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$.
+Jeder dieser Repräsentanten umschliesst genau ein ``Loch'',
+also genau ein weisses Dreieck.
+\label{buch:homologie:beispiel:homoclasses}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Basis von $H_k(C)$}
+Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch
+dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden.
+Die Vektoren in $\mathcal{B}_k$ bilden eine Basis von $B_k(C)$
+und die Vektoren in $\mathcal{Z}_k'$ sind davon unabhängig.
+Die Klassen der Vektoren von $\mathcal{Z}_k'$ in $H_k(C)$ sind
+daher ebenfalls linear unabhängig und bilden damit eine Basis
+von $H_k(C)$.
+Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch
+eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$
+sein können.
+
 \subsection{Induzierte Abbildung
 \label{buch:subsection:induzierte-abbildung}}
 Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und
@@ -324,6 +1136,7 @@ H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D)
 \]
 zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen.
 
+\subsubsection{Definition der induzierten Abbildung}
 Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir
 zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren.
 Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich
@@ -351,4 +1164,17 @@ Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur
 um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
 $f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse.
 
+\subsubsection{Matrixdarstellung}
+
+\subsubsection{Spur}
+Für eine Selbstabbildung von Komplexen $f_*\colon C_*\to C_*$ muss
+\[
+\partial_{k}\circ f_{k}
+=
+f_{k+1}\circ \partial_{k}
+\]
+man die einzelnen
+
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
index ac964ff..d14a3a2 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
@@ -3,7 +3,7 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	dreieck.pdf polyeder.pdf
+all:	homocycles.pdf homoboundaries.pdf homoclasses.pdf gausshomoex.pdf gausshomobasis.pdf dreieck.pdf polyeder.pdf
 
 dreieck.pdf:	dreieck.tex
 	pdflatex dreieck.tex
@@ -11,3 +11,18 @@ dreieck.pdf:	dreieck.tex
 polyeder.pdf:	polyeder.tex
 	pdflatex polyeder.tex
 
+gausshomobasis.pdf:	gausshomobasis.tex
+	pdflatex gausshomobasis.tex
+
+gausshomoex.pdf:	gausshomoex.tex
+	pdflatex gausshomoex.tex
+
+homocycles.pdf:	homocycles.tex
+	pdflatex homocycles.tex
+
+homoboundaries.pdf:	homoboundaries.tex
+	pdflatex homoboundaries.tex
+
+homoclasses.pdf:	homoclasses.tex
+	pdflatex homoclasses.tex
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf
new file mode 100644
index 0000000..07414bb
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.tex
new file mode 100644
index 0000000..ba21f54
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.tex
@@ -0,0 +1,109 @@
+%
+% gaushomobasis.tex -- Bestimmung einer Basis der Homologiegruppen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{0.5}
+\def\inset{0.05}
+\def\w{8}
+
+\def\zeile#1#2{
+	\fill[color=#2] ({0+\inset},{(12-#1)*\s+\inset})
+		rectangle ({\w*\s-\inset},{(13-#1)*\s-\inset});
+}
+\def\marke#1#2{
+\node at ({0.5*\w*\s},{12.5-#1)*\s}) {$#2\mathstrut$};
+}
+
+\def\gauss{
+\draw (0,0) rectangle ({\w*\s},{12*\s});
+\draw (0,{7*\s}) -- ({\w*\s},{7*\s});
+}
+
+\draw[->,color=red,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-1)*\s})
+	to[out=180,in=90] (-3.6,-2);
+\draw[->,color=red,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-2)*\s})
+	to[out=180,in=90] (-2.2,-2);
+\draw[->,color=red,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-4)*\s})
+	to[out=180,in=90] (-0.7,-2);
+
+\draw[->,color=darkgreen,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-7)*\s})
+	to[out=180,in=90] (0.9,-2);
+\draw[->,color=darkgreen,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-8)*\s})
+	to[out=180,in=90] (1.6,-2);
+\draw[->,color=darkgreen,line width=1pt] ({(\w-0.1)*\s},{(12.5-12)*\s})
+	to[out=0,in=90] (2.6,-2);
+
+\draw[->,line width=2pt] ({\w*\s+0.1},{6*\s}) -- (5.4,{6*\s});
+\node at ({0.5*(\w*\s+5.5)},{6*\s}) [above] {Gauss};
+
+\begin{scope}
+\zeile{1}{red!30}
+\zeile{2}{red!30}
+\zeile{4}{red!30}
+\zeile{7}{darkgreen!30}
+\zeile{8}{darkgreen!30}
+%\zeile{10}{darkgreen!30}
+\zeile{12}{darkgreen!30}
+\marke{1}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_1^{(k+1)}}
+\marke{2}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_2^{(k+1)}}
+\marke{3}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_3^{(k+1)}}
+\marke{4}{\vdots}
+\marke{5}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_{n_{k+1}}^{(k+1)}}
+\marke{6}{\scriptstyle z_1^{(k)}}
+\marke{7}{\scriptstyle z_2^{(k)}}
+\marke{8}{\scriptstyle z_3^{(k)}}
+\marke{9}{\scriptstyle z_4^{(k)}}
+\marke{10}{\vdots}
+\marke{11}{\scriptstyle z_{l-1}^{(k)}}
+\marke{12}{\scriptstyle z_{l}^{(k)}}
+\gauss
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5.5cm]
+\zeile{1}{black!20}
+\zeile{2}{black!20}
+\zeile{3}{black}
+\marke{3}{\color{white}0}
+\zeile{4}{black!20}
+\zeile{5}{black}
+\marke{5}{\color{white}0}
+\zeile{6}{black}
+\marke{6}{\color{white}0}
+\zeile{7}{black!20}
+\zeile{8}{black!20}
+\zeile{9}{black}
+\marke{9}{\color{white}0}
+\zeile{10}{black}
+\marke{10}{\color{white}0}
+\zeile{11}{black}
+\marke{11}{\color{white}0}
+\zeile{12}{black!20}
+\gauss
+\end{scope}
+
+\node at (-4.4,-2) [below right] {$\{
+{\color{red}\partial_{k+1}e_1^{(k+1)}},
+{\color{red}\partial_{k+1}e_2^{(k+1)}},
+{\color{red}\partial_{k+1}e_{i_3}^{(k+1)}},\dots,
+{\color{darkgreen}z_2^{(k)}},
+{\color{darkgreen}z_3^{(k)}},
+\dots
+{\color{darkgreen}z_l^{(k)}}
+\} = {\color{red}\mathcal{B}_k} \cup {\color{darkgreen}\mathcal{Z}_k'}$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf
new file mode 100644
index 0000000..bc0b766
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.tex
new file mode 100644
index 0000000..df53f70
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.tex
@@ -0,0 +1,120 @@
+%
+% gausshomoex.tex -- Beispiel für die Bestimmung einer Basis von H_1
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{2.0}
+
+\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
+
+\def\knoten#1#2#3{
+	\fill[color=white] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+	\node at \punkt{#1}{#2} {$#3$\strut};
+	\draw \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+}
+\def\dreieck#1#2#3{
+	\fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+		\punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2};
+	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+		\punkt{#1+1}{#2} -- \punkt{#1}{#2+1};
+	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+		\punkt{#1}{#2+1} -- \punkt{#1}{#2};
+}
+
+\def\Dreieck#1#2#3{
+	\fill[color=gray!50] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1+1}{(#2)-1} -- cycle;
+	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+}
+
+\def\kante#1#2#3{
+	\fill[color=white,opacity=0.8] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.15];
+	\node at \punkt{#1}{#2} {$\scriptstyle #3$};
+}
+
+\dreieck{0}{0}{1}
+\dreieck{1}{0}{2}
+\dreieck{2}{0}{3}
+\dreieck{3}{0}{4}
+
+\dreieck{0}{1}{5}
+\dreieck{2}{1}{6}
+
+\dreieck{0}{2}{7}
+\dreieck{1}{2}{8}
+
+\dreieck{0}{3}{9}
+
+
+\knoten{0}{0}{1}
+\knoten{1}{0}{2}
+\knoten{2}{0}{3}
+\knoten{3}{0}{4}
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+
+\knoten{0}{1}{6}
+\knoten{1}{1}{7}
+\knoten{2}{1}{8}
+\knoten{3}{1}{9}
+
+\knoten{0}{2}{10}
+\knoten{1}{2}{11}
+\knoten{2}{2}{12}
+
+\knoten{0}{3}{13}
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+
+\knoten{0}{4}{15}
+
+\kante{0.5}{0}{1}
+\kante{1.5}{0}{2}
+\kante{2.5}{0}{3}
+\kante{3.5}{0}{4}
+
+\kante{0}{0.5}{5}
+\kante{0.5}{0.5}{6}
+\kante{1}{0.5}{7}
+\kante{1.5}{0.5}{8}
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+\kante{2.5}{0.5}{10}
+\kante{3}{0.5}{11}
+\kante{3.5}{0.5}{12}
+
+\kante{0.5}{1}{13}
+\kante{2.5}{1}{14}
+
+\kante{0}{1.5}{15}
+\kante{0.5}{1.5}{16}
+\kante{2}{1.5}{17}
+\kante{2.5}{1.5}{18}
+
+\kante{0.5}{2}{19}
+\kante{1.5}{2}{20}
+
+\kante{0}{2.5}{21}
+\kante{0.5}{2.5}{22}
+\kante{1}{2.5}{23}
+\kante{1.5}{2.5}{24}
+
+\kante{0.5}{3}{25}
+
+\kante{0}{3.5}{26}
+\kante{0.5}{3.5}{27}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
new file mode 100644
index 0000000..644f334
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
new file mode 100644
index 0000000..ef8fd1a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
@@ -0,0 +1,114 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{0.4}
+
+\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
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+\def\O{\punkt{0}{4}}
+
+\def\dreieck#1#2#3{
+	\fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+}
+
+\def\blau#1#2{
+	\draw[color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+}
+
+\def\gebiet{
+	\dreieck{0}{0}{1}
+	\dreieck{1}{0}{2}
+	\dreieck{2}{0}{3}
+	\dreieck{3}{0}{4}
+	\dreieck{0}{1}{5}
+	\dreieck{2}{1}{6}
+	\dreieck{0}{2}{7}
+	\dreieck{1}{2}{8}
+	\dreieck{0}{3}{9}
+}
+
+\begin{scope}
+\gebiet
+\blau{0}{0}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_1^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3cm]
+\gebiet
+\blau{1}{0}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_2^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm]
+\gebiet
+\blau{2}{0}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_3^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=9cm]
+\gebiet
+\blau{3}{0}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_4^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=2.59cm]
+\gebiet
+\blau{0}{1}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_5^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=7.5cm,yshift=2.59cm]
+\gebiet
+\blau{2}{1}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_6^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=5.19cm]
+\gebiet
+\blau{0}{2}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_7^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=5.19cm]
+\gebiet
+\blau{1}{2}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_8^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4.5cm,yshift=7.79cm]
+\gebiet
+\blau{0}{3}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_9^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
new file mode 100644
index 0000000..217ae75
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
new file mode 100644
index 0000000..e325d9b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
@@ -0,0 +1,104 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\def\s{0.4}
+
+\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
+\def\A{\punkt{0}{0}}
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+\def\H{\punkt{2}{1}}
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+\def\N{\punkt{1}{3}}
+\def\O{\punkt{0}{4}}
+
+%\def\knoten#1#2#3{
+%	\fill[color=white] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+%	\node at \punkt{#1}{#2} {$#3$\strut};
+%	\draw \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+%}
+\def\dreieck#1#2#3{
+	\fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+%	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+%	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+%		\punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2};
+%	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+%		\punkt{#1+1}{#2} -- \punkt{#1}{#2+1};
+%	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+%		\punkt{#1}{#2+1} -- \punkt{#1}{#2};
+}
+
+%\def\Dreieck#1#2#3{
+%	\fill[color=gray!50] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+%		-- \punkt{#1+1}{(#2)-1} -- cycle;
+%	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+%}
+
+%\def\kante#1#2#3{
+%	\fill[color=white,opacity=0.8] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.15];
+%	\node at \punkt{#1}{#2} {$\scriptstyle #3$};
+%}
+
+\def\gebiet{
+	\dreieck{0}{0}{1}
+	\dreieck{1}{0}{2}
+	\dreieck{2}{0}{3}
+	\dreieck{3}{0}{4}
+	\dreieck{0}{1}{5}
+	\dreieck{2}{1}{6}
+	\dreieck{0}{2}{7}
+	\dreieck{1}{2}{8}
+	\dreieck{0}{3}{9}
+}
+
+\begin{scope}
+\gebiet
+\draw[color=darkgreen] \B -- \G -- \J -- \F -- cycle;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_5'$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2cm]
+\gebiet
+\draw[color=darkgreen] \D -- \I -- \L -- \H -- cycle;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_6'$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+\gebiet
+\draw[color=darkgreen] \C -- \L -- \N -- \K -- \M -- \J -- cycle;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_9'$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm]
+\gebiet
+\draw[color=darkgreen] \K -- \N -- \O -- \M -- cycle;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}'$};
+\end{scope}
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
new file mode 100644
index 0000000..075bb65
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
new file mode 100644
index 0000000..898cac6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
@@ -0,0 +1,157 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{0.4}
+
+\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
+\def\A{\punkt{0}{0}}
+\def\B{\punkt{1}{0}}
+\def\C{\punkt{2}{0}}
+\def\D{\punkt{3}{0}}
+\def\E{\punkt{4}{0}}
+\def\F{\punkt{0}{1}}
+\def\G{\punkt{1}{1}}
+\def\H{\punkt{2}{1}}
+\def\I{\punkt{3}{1}}
+\def\J{\punkt{0}{2}}
+\def\K{\punkt{1}{2}}
+\def\L{\punkt{2}{2}}
+\def\M{\punkt{0}{3}}
+\def\N{\punkt{1}{3}}
+\def\O{\punkt{0}{4}}
+
+%\def\knoten#1#2#3{
+%	\fill[color=white] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+%	\node at \punkt{#1}{#2} {$#3$\strut};
+%	\draw \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+%}
+\def\dreieck#1#2#3{
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+
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+\def\gebiet{
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+
+\begin{scope}
+\gebiet
+\draw[color=red] \A -- \B -- \F -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_1$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \B -- \C -- \G -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_2$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \C -- \D -- \H -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_3$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \D -- \E -- \I -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_4$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=8cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \F -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_5$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=10cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \H -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_6$};
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+\begin{scope}[xshift=12cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \J -- \F -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_7$};
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+
+\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \L -- \H -- cycle;
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+\begin{scope}[xshift=2cm,yshift=-3cm]
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+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_9$};
+\end{scope}
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+\begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-3cm]
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+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{10}$};
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+
+\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \N -- \K -- \J -- \F -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{11}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \M -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=10cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \O -- \M -- cycle;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{13}$};
+\end{scope}
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
index 7ed5937..9787bb2 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
@@ -56,7 +56,7 @@ für jedes $k$
 \circ
 f_{k}
 =
-f_{k+1}
+f_{k-1}
 \circ
 \partial^C_k
 \label{buch:komplex:abbildung}
@@ -76,26 +76,26 @@ kommutatives Diagramm dargestellt werden.
 			& C_2 \arrow[l,"\partial_2^C" above]
 				\arrow[d, "f_2"]
 				& \dots \arrow[l]
-					\arrow[l, "\partial_{k-1}^C" above]
-					& C_k
-						\arrow[l, "\partial_k^C" above]
-						\arrow[d, "f_k"]
-						& C_{k+1}\arrow[l, "\partial_{k+1}^C" above]
-							\arrow[d, "f_{k+1}"]
+					\arrow[l, "\partial_{3}^C" above]
+					& C_{k-1}
+						\arrow[l, "\partial_{k-1}^C" above]
+						\arrow[d, "f_{k-1}"]
+						& C_{k}\arrow[l, "\partial_{k}^C" above]
+							\arrow[d, "f_{k}"]
 							& \dots
-								\arrow[l,"\partial_{k+2}^C"]
+								\arrow[l,"\partial_{k+1}^C" above]
 \\
 0 
 	& D_0 \arrow[l, "\partial_0^D" above]
 		& D_1 \arrow[l,"\partial_1^D" above]
 			& D_2 \arrow[l,"\partial_2^D" above]
 				& \dots \arrow[l]
-					\arrow[l, "\partial_{k-1}^D" above]
-					& D_k
-						\arrow[l, "\partial_k^D" above]
-						& D_{k+1}\arrow[l, "\partial_{k+1}^D" above]
+					\arrow[l, "\partial_{3}^D" above]
+					& D_{k-1}
+						\arrow[l, "\partial_{k-1}^D" above]
+						& D_{k}\arrow[l, "\partial_{k}^D" above]
 							& \dots
-								\arrow[l,"\partial_{k+2}^D" above]
+								\arrow[l,"\partial_{k+1}^D" above]
 \end{tikzcd}
 \label{buch:komplex:abbcd}
 \end{equation}
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
index 0cf4aa7..3bf1004 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
@@ -3,14 +3,14 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Simplices
+\section{Simplizes
 \label{buch:section:simplexe}}
-\rhead{Simplices}
+\rhead{Simplizes}
 Die Idee, das Dreieck und seinen Rand zu unterscheiden verlangt,
 dass wir zunächst Dreiecke und deren höherdimensionale Verallgemeinerungen,
 die sogenannten Simplizes entwickeln müssen.
 
-\subsection{Simplices und Rand
+\subsection{Simplizes und Rand
 \label{buch:subsection:simplices}}
 
 \subsubsection{Rand eines Dreiecks}
diff --git a/buch/papers/clifford/images/Makefile b/buch/papers/clifford/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..cc621fb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/Makefile
@@ -0,0 +1,13 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	spiegelung.pdf
+
+spiegelung.pdf:	spiegelung.tex punkte.tex
+	pdflatex spiegelung.tex
+
+punkte.tex:	spiegelung.m	
+	octave spiegelung.m
+
diff --git a/buch/papers/clifford/images/punkte.tex b/buch/papers/clifford/images/punkte.tex
new file mode 100644
index 0000000..41d2247
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/punkte.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+\coordinate (A) at (2.300,1.700);
+\coordinate (B) at (4.300,2.500);
+\coordinate (C) at (2.800,2.700);
+\coordinate (S) at (3.133,2.300);
+\coordinate (G1) at (0.489,0.873);
+\coordinate (G1oben) at (4.886,8.725);
+\coordinate (G1unten) at (-4.886,-8.725);
+\coordinate (G2) at (0.336,-0.942);
+\coordinate (G2oben) at (3.363,-9.417);
+\coordinate (G2unten) at (-3.363,9.417);
+\coordinate (A1) at (0.248,2.849);
+\coordinate (B1) at (-0.115,4.973);
+\coordinate (C1) at (0.839,3.798);
+\coordinate (S1) at (0.324,3.873);
+\coordinate (A2) at (-1.997,2.048);
+\coordinate (B2) at (-3.061,3.921);
+\coordinate (C2) at (-3.055,2.407);
+\coordinate (S2) at (-2.704,2.792);
+\def\winkela{60.7512}
+\def\winkelb{48.9027}
+\coordinate (G) at (0.489,0.873);
diff --git a/buch/papers/clifford/images/spiegelung.m b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.m
new file mode 100644
index 0000000..a086cb5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.m
@@ -0,0 +1,66 @@
+#
+# spiegelung.m
+#
+#
+fn = fopen("punkte.tex", "w");
+
+
+a = [ 2.3; 1.7 ];
+b = [ 4.3; 2.5 ];
+c = [ 2.8; 2.7 ];
+s = (a + b + c)/3;
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (A) at (%.3f,%.3f);\n", a(1, 1), a(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (B) at (%.3f,%.3f);\n", b(1, 1), b(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (C) at (%.3f,%.3f);\n", c(1, 1), c(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (S) at (%.3f,%.3f);\n", s(1, 1), s(2, 1));
+
+n1 = [ -2.5; 1.4 ];
+n1 = n1 / norm(n1);
+S1 = eye(2) - 2 * (n1 * n1');
+g1 = [ n1(2,1); -n1(1,1) ];
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (G1) at (%.3f,%.3f);\n", g1(1,1), g1(2,1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (G1oben) at (%.3f,%.3f);\n", 10*g1(1,1), 10*g1(2,1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (G1unten) at (%.3f,%.3f);\n", -10*g1(1,1), -10*g1(2,1));
+
+n2 = [ 1.4; 0.5 ];
+n2 = n2 / norm(n2);
+S2 = eye(2) - 2 * (n2 * n2');
+g2 = [ n2(2,1); -n2(1,1) ];
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (G2) at (%.3f,%.3f);\n", g2(1,1), g2(2,1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (G2oben) at (%.3f,%.3f);\n", 10*g2(1,1), 10*g2(2,1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (G2unten) at (%.3f,%.3f);\n", -10*g2(1,1), -10*g2(2,1));
+
+D = S2 * S1;
+
+a1 = S1 * a;
+b1 = S1 * b;
+c1 = S1 * c;
+s1 = S1 * s;
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (A1) at (%.3f,%.3f);\n", a1(1, 1), a1(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (B1) at (%.3f,%.3f);\n", b1(1, 1), b1(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (C1) at (%.3f,%.3f);\n", c1(1, 1), c1(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (S1) at (%.3f,%.3f);\n", s1(1, 1), s1(2, 1));
+
+a2 = D * a;
+b2 = D * b;
+c2 = D * c;
+s2 = D * s;
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (A2) at (%.3f,%.3f);\n", a2(1, 1), a2(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (B2) at (%.3f,%.3f);\n", b2(1, 1), b2(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (C2) at (%.3f,%.3f);\n", c2(1, 1), c2(2, 1));
+fprintf(fn, "\\coordinate (S2) at (%.3f,%.3f);\n", s2(1, 1), s2(2, 1));
+
+winkel1 = atan2(g1(2,1), g1(1,1)) * (180 / pi);
+winkel2 = acosd(g1' * g2);
+
+fprintf(fn, "\\def\\winkela{%.4f}\n", winkel1);
+fprintf(fn, "\\def\\winkelb{%.4f}\n", 180 - winkel2);
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (G) at (%.3f,%.3f);\n", g1(1,1), g1(2,1));
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/papers/clifford/images/spiegelung.pdf b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a17d369
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.pdf
diff --git a/buch/papers/clifford/images/spiegelung.tex b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.tex
new file mode 100644
index 0000000..0960456
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/images/spiegelung.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+%
+% spiegelung.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1.1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\punkt#1{
+\fill #1 circle[radius=0.06];
+}
+
+\coordinate (M) at (0,0);
+
+\fill[color=blue] (M) circle[radius=0.06];
+\node[color=blue] at (M) [left] {$M$};
+
+\input{punkte.tex}
+
+\fill[color=red!30] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+\draw[color=red] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+\node at (A) [below] {$A$};
+\node at (B) [above right] {$B$};
+\node at (C) [above] {$C$};
+\node at (S) {$\circlearrowleft$};
+
+\fill[color=red!30] (A1) -- (B1) -- (C1) -- cycle;
+\draw[color=red] (A1) -- (B1) -- (C1) -- cycle;
+\node at (A1) [below] {$A'$};
+\node at (B1) [above] {$B'$};
+\node at (C1) [above right] {$C'$};
+\node at (S1) {$\circlearrowright$};
+
+\fill[color=red!30] (A2) -- (B2) -- (C2) -- cycle;
+\draw[color=red] (A2) -- (B2) -- (C2) -- cycle;
+\node at (A2) [below] {$A''$};
+\node at (B2) [above] {$B''$};
+\node at (C2) [left] {$C''$};
+\node at (S2) {$\circlearrowleft$};
+
+\draw[color=gray,dotted] (A) -- (A1);
+\draw[color=gray,dotted] (B) -- (B1);
+\draw[color=gray,dotted] (C) -- (C1);
+
+\draw[color=gray,dotted] (A1) -- (A2);
+\draw[color=gray,dotted] (B1) -- (B2);
+\draw[color=gray,dotted] (C1) -- (C2);
+
+\punkt{(A)}
+\punkt{(B)}
+\punkt{(C)}
+\punkt{(A1)}
+\punkt{(B1)}
+\punkt{(C1)}
+\punkt{(A2)}
+\punkt{(B2)}
+\punkt{(C2)}
+
+\fill[color=darkgreen!30] (M) -- (G1) arc ({\winkela}:{\winkela+\winkelb}:1) -- cycle;
+\draw[color=darkgreen] (G1) arc ({\winkela}:{\winkela+\winkelb}:1);
+\node[color=darkgreen] at ({\winkela+0.5*\winkelb}:0.7) {$\alpha$};
+
+\node at ($6*(G1)$) [right] {$g\mathstrut$};
+\node at ($-5.6*(G2)$) [left] {$h\mathstrut$};
+
+\clip (-3,-0.2) rectangle (4.5,5.5);
+
+\draw[line width=1pt] (G1oben) -- (G1unten);
+\draw[line width=1pt] (G2oben) -- (G2unten);
+
+\fill[color=blue] (M) circle[radius=0.06];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+