diff options
author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-08-04 16:27:31 +0200 |
---|---|---|
committer | GitHub <noreply@github.com> | 2021-08-04 16:27:31 +0200 |
commit | d485ddddfcf4db7a62620dc7d088f29bcbbaaaaa (patch) | |
tree | e874bfc0600d44faec0e41640bb85462ea02e595 /buch | |
parent | Merge pull request #66 from Kuehnee/master (diff) | |
parent | Merge branch 'master' of https://github.com/AndreasFMueller/SeminarMatrizen (diff) | |
download | SeminarMatrizen-d485ddddfcf4db7a62620dc7d088f29bcbbaaaaa.tar.gz SeminarMatrizen-d485ddddfcf4db7a62620dc7d088f29bcbbaaaaa.zip |
Merge pull request #67 from Nunigan/master
Multiplikation #2
Diffstat (limited to 'buch')
33 files changed, 498 insertions, 265 deletions
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM b/buch/papers/multiplikation/code/MM Binary files differindex f07985f..d52dda4 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c index 04c4dab..a897d4f 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c @@ -31,7 +31,7 @@ int main() { run_algo(strassen, "strassen",0);
run_algo(MM, "MM", 0);
- // run_algo(winograd, "winograd", 0);
+ run_algo(winograd, "winograd", 0);
run_algo_cblas(0);
return 0;
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py index 626b82d..47bd6ab 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py @@ -132,6 +132,10 @@ def winograd2(A, B): return C def test_perfomance(n): + + import mkl + mkl.set_num_threads(1) + t_mm = [] t_mm_dc = [] t_mm_strassen = [] @@ -144,21 +148,21 @@ def test_perfomance(n): # A = np.random.randint(-100, 100,(i, i)) # B = np.random.randint(-100, 100,(i, i)) - start = time.time() - C3 = strassen(A, B) - t_mm_strassen.append(time.time() - start) + # start = time.time() + # C3 = strassen(A, B) + # t_mm_strassen.append(time.time() - start) - start = time.time() - C1 = MM(A, B) - t_mm.append(time.time() - start) + # start = time.time() + # C1 = MM(A, B) + # t_mm.append(time.time() - start) - start = time.time() - C2 = MM_dc(A, B) - t_mm_dc.append(time.time() - start) + # start = time.time() + # C2 = MM_dc(A, B) + # t_mm_dc.append(time.time() - start) - start = time.time() - C4 = winograd2(A, B) - t_wino.append(time.time() - start) + # start = time.time() + # C4 = winograd2(A, B) + # t_wino.append(time.time() - start) start = time.time() C = A@B @@ -169,22 +173,23 @@ def test_perfomance(n): plt.rc('axes', labelsize=23) plt.rc('xtick', labelsize=23) plt.rc('ytick', labelsize=23) - plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5) - plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5) - plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) - plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) + # plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5) + # plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5) + # plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) + # plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) + # plt.xscale('log', base=2) plt.legend() plt.xlabel("n") plt.ylabel("time (s)") - plt.grid(True) + plt.grid(True, which="both", ls="-") plt.tight_layout() # plt.yscale('log') plt.legend(fontsize=19) - plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf') - arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np]) - np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr) - return arr + # plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf') + # arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np]) + # np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr) + return t_np def plot(num): @@ -198,10 +203,11 @@ def plot(num): plt.plot(n, t_mm, label='3 For Loops', lw=5) plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and Conquer', lw=5) plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) - # plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) + plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) plt.legend() plt.xlabel("n") + # plt.yscale('log', base=10) plt.ylabel("time (s)") plt.grid(True) plt.tight_layout() @@ -211,8 +217,9 @@ def plot(num): return arr def plot_c_res(ave, num): + MM = np.loadtxt("meas/MM.txt", delimiter=',') - # winograd = np.loadtxt("meas/winograd.txt", delimiter=',') + winograd = np.loadtxt("meas/winograd.txt", delimiter=',') blas = np.loadtxt("meas/blas.txt", delimiter=',') MM_dc = np.loadtxt("meas/MM_dc.txt", delimiter=',') strassen = np.loadtxt("meas/strassen.txt", delimiter=',') @@ -232,10 +239,10 @@ def plot_c_res(ave, num): strassen_t = np.mean(strassen_t.reshape(-1,ave),axis=1) strassen_n = np.mean(strassen_n.reshape(-1,ave),axis=1) - # winograd_t = winograd[:,0] - # winograd_n = winograd[:,1] - # winograd_t = np.mean(winograd_t.reshape(-1,ave),axis=1) - # winograd_n = np.mean(winograd_n.reshape(-1,ave),axis=1) + winograd_t = winograd[:,0] + winograd_n = winograd[:,1] + winograd_t = np.mean(winograd_t.reshape(-1,ave),axis=1) + winograd_n = np.mean(winograd_n.reshape(-1,ave),axis=1) blas_t = blas[:,0] blas_n = blas[:,1] @@ -255,7 +262,7 @@ def plot_c_res(ave, num): plt.rc('xtick', labelsize=23) plt.rc('ytick', labelsize=23) plt.plot(MM_n, MM_t, label='3 For Loops', lw=5) - # plt.plot(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5) + plt.plot(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5) plt.plot(blas_n, blas_t, label='Blas', lw=5) plt.plot(strassen_n, strassen_t, label='Strassen', lw=5) plt.plot(MM_dc_n, MM_dc_t, label='Divide and Conquer', lw=5) @@ -275,22 +282,22 @@ def plot_c_res(ave, num): # test%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if __name__ == '__main__': - plot_c_res(1, 4096) + # plot_c_res(1, 4096) - # plot(8) - # n = np.logspace(1,10,10,base=2,dtype=(np.int)) + # arr = plot(1024) + n = np.logspace(1,12,12,base=2,dtype=(np.int)) # n = np.arange(1,50,2) - A = np.random.randint(-10, 10, (5,3)) - B = np.random.randint(-10, 10, (3,5)) + # A = np.random.randint(-10, 6, (5,3)) + # B = np.random.randint(-10, 6, (3,5)) - C = winograd2(A, B) - C_test = A@B - print(C) - print(C_test) + # C = winograd2(A, B) + # C_test = A@B + # print(C) + # print(C_test) # print(np.equal(C, C_test)) - # t_np = test_perfomance(n) + t_np = test_perfomance(n) # C = strassen(A, B) # C_test = A@B diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h index 13df55d..14389fc 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h +++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h @@ -1,97 +1,97 @@ -/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 30/05/2021, 22:00:57 */ +/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 02/08/2021, 22:48:43 */ #include <stdint.h> const int A0[][2] = { - {-15,68}, - {49,86} + {75,47}, + {-41,-24} }; const int B0[][2] = { - {33,73}, - {38,-76} + {-53,-95}, + {-93,30} }; const double dB0[][2] = { - {33,73}, - {38,-76} + {-53,-95}, + {-93,30} }; const double dA0[][2] = { - {-15,68}, - {49,86} + {75,47}, + {-41,-24} }; const int A1[][4] = { - {75,-38,-32,-65}, - {37,74,-31,29}, - {15,-62,-20,-20}, - {-31,-35,-89,47} + {47,11,-66,8}, + {36,98,39,82}, + {-32,12,40,-79}, + {61,-20,-85,-98} }; const int B1[][4] = { - {71,90,78,-98}, - {4,63,12,-47}, - {11,-44,75,-69}, - {95,-15,64,23} + {37,75,-53,9}, + {37,-33,-67,38}, + {70,39,-93,43}, + {43,41,23,-4} }; const double dB1[][4] = { - {71,90,78,-98}, - {4,63,12,-47}, - {11,-44,75,-69}, - {95,-15,64,23} + {37,75,-53,9}, + {37,-33,-67,38}, + {70,39,-93,43}, + {43,41,23,-4} }; const double dA1[][4] = { - {75,-38,-32,-65}, - {37,74,-31,29}, - {15,-62,-20,-20}, - {-31,-35,-89,47} + {47,11,-66,8}, + {36,98,39,82}, + {-32,12,40,-79}, + {61,-20,-85,-98} }; const int A2[][8] = { - {80,42,3,-16,6,55,87,16}, - {-99,-14,21,-1,-94,-56,91,10}, - {-47,-55,-59,62,12,-53,87,-65}, - {-60,94,-67,23,-62,33,-63,-72}, - {12,-75,16,21,22,-37,1,16}, - {-100,-99,82,-66,2,64,-13,44}, - {59,-100,-90,8,36,-24,18,88}, - {73,-58,75,-100,-19,-29,85,-19} + {-54,-87,87,69,52,-21,-86,55}, + {19,-75,-61,-50,-55,-23,66,-92}, + {-73,-67,-36,19,84,-11,24,46}, + {-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51}, + {62,46,1,-64,42,-9,85,-12}, + {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74}, + {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96}, + {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13} }; const int B2[][8] = { - {-61,88,69,49,-53,47,73,45}, - {16,14,-88,-11,-67,-73,-20,43}, - {-60,-63,26,32,-29,18,-44,-69}, - {1,21,21,38,7,-100,-61,-76}, - {-90,95,-99,88,49,-80,27,-36}, - {24,-12,-47,-7,29,15,52,37}, - {-98,-76,29,76,-41,-75,97,79}, - {62,-90,-35,-14,-30,-42,-95,52} + {-71,-82,-80,-78,83,-97,48,-24}, + {15,75,15,-60,-63,-53,1,-50}, + {-84,63,67,-2,78,93,-13,95}, + {61,-26,-88,56,56,27,26,1}, + {2,54,21,36,9,-41,53,53}, + {85,-11,42,-51,-6,3,27,97}, + {10,-2,90,-76,-75,0,8,-37}, + {10,-64,47,-69,66,-50,89,-66} }; const double dB2[][8] = { - {-61,88,69,49,-53,47,73,45}, - {16,14,-88,-11,-67,-73,-20,43}, - {-60,-63,26,32,-29,18,-44,-69}, - {1,21,21,38,7,-100,-61,-76}, - {-90,95,-99,88,49,-80,27,-36}, - {24,-12,-47,-7,29,15,52,37}, - {-98,-76,29,76,-41,-75,97,79}, - {62,-90,-35,-14,-30,-42,-95,52} + {-71,-82,-80,-78,83,-97,48,-24}, + {15,75,15,-60,-63,-53,1,-50}, + {-84,63,67,-2,78,93,-13,95}, + {61,-26,-88,56,56,27,26,1}, + {2,54,21,36,9,-41,53,53}, + {85,-11,42,-51,-6,3,27,97}, + {10,-2,90,-76,-75,0,8,-37}, + {10,-64,47,-69,66,-50,89,-66} }; const double dA2[][8] = { - {80,42,3,-16,6,55,87,16}, - {-99,-14,21,-1,-94,-56,91,10}, - {-47,-55,-59,62,12,-53,87,-65}, - {-60,94,-67,23,-62,33,-63,-72}, - {12,-75,16,21,22,-37,1,16}, - {-100,-99,82,-66,2,64,-13,44}, - {59,-100,-90,8,36,-24,18,88}, - {73,-58,75,-100,-19,-29,85,-19} + {-54,-87,87,69,52,-21,-86,55}, + {19,-75,-61,-50,-55,-23,66,-92}, + {-73,-67,-36,19,84,-11,24,46}, + {-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51}, + {62,46,1,-64,42,-9,85,-12}, + {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74}, + {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96}, + {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13} }; const int *Ap[3] = {(int*) A0,(int*) A1,(int*) A2}; const int *Bp[3] = {(int*) B0,(int*) B1,(int*) B2}; diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf Binary files differindex 547d794..304015a 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt index 1a0cd5d..13b6312 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt @@ -1,12 +1,12 @@ 0.000000,2 0.000000,4 -0.000002,8 -0.000011,16 -0.000080,32 -0.000653,64 -0.005397,128 -0.045147,256 -0.487710,512 -3.964180,1024 -128.863544,2048 -996.370209,4096 +0.000001,8 +0.000010,16 +0.000081,32 +0.000654,64 +0.005556,128 +0.054253,256 +0.487317,512 +4.162845,1024 +125.909034,2048 +1111.312696,4096 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt index 0d5580a..f6be928 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt @@ -1,12 +1,12 @@ -0.000006,2 -0.000007,4 -0.000035,8 -0.000228,16 -0.001310,32 -0.007204,64 -0.034338,128 -0.267511,256 -2.131212,512 -17.177403,1024 -146.112874,2048 -1156.777565,4096 +0.000003,2 +0.000002,4 +0.000010,8 +0.000068,16 +0.000594,32 +0.004264,64 +0.036289,128 +0.324645,256 +2.612010,512 +19.928951,1024 +159.333884,2048 +1147.106865,4096 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt index 6b7cd0b..c3ec7ec 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt @@ -2,11 +2,11 @@ 0.000000,4 0.000001,8 0.000003,16 -0.000021,32 -0.000164,64 -0.001240,128 -0.009657,256 -0.072523,512 -0.735149,1024 -6.895747,2048 -56.812183,4096 +0.000022,32 +0.000179,64 +0.001278,128 +0.010165,256 +0.074739,512 +0.704748,1024 +6.845095,2048 +55.845038,4096 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt index 89cf41a..69ea472 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt @@ -1,12 +1,12 @@ 0.000000,2 0.000003,4 0.000010,8 -0.000086,16 -0.000476,32 -0.003366,64 -0.025547,128 -0.184593,256 -1.248713,512 -9.007700,1024 -61.079879,2048 -424.493037,4096 +0.000066,16 +0.000470,32 +0.003368,64 +0.024232,128 +0.172000,256 +1.209262,512 +8.457472,1024 +59.267256,2048 +414.648901,4096 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt index 3a4d88b..6e6208a 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt @@ -2,10 +2,11 @@ 0.000001,4 0.000002,8 0.000011,16 -0.000091,32 -0.000663,64 -0.005182,128 -0.046038,256 -0.533429,512 -4.257458,1024 -130.378038,2048 +0.000100,32 +0.000654,64 +0.005229,128 +0.057440,256 +0.517850,512 +4.539413,1024 +130.627663,2048 +1179.261048,4096 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf Binary files differindex fd0a108..3312420 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt index c5ce619..ab507a2 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt @@ -1,6 +1,6 @@ 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 6.400000000000000000e+01 1.280000000000000000e+02 2.560000000000000000e+02 5.120000000000000000e+02 1.024000000000000000e+03 -1.502037048339843750e-05 6.628036499023437500e-05 4.780292510986328125e-04 2.713203430175781250e-03 2.115225791931152344e-02 1.758832931518554688e-01 1.338865518569946289e+00 1.009106445312500000e+01 8.192077994346618652e+01 7.835870332717895508e+02 -6.675720214843750000e-06 7.200241088867187500e-05 5.540847778320312500e-04 3.144979476928710938e-03 2.545046806335449219e-02 2.083067893981933594e-01 1.659256219863891602e+00 1.319160294532775879e+01 1.046767003536224365e+02 9.679818902015686035e+02 -1.668930053710937500e-05 1.628398895263671875e-04 7.648468017578125000e-04 4.426956176757812500e-03 2.922415733337402344e-02 1.800994873046875000e-01 1.286747694015502930e+00 9.412034273147583008e+00 6.263725924491882324e+01 4.427414393424987793e+02 -2.408027648925781250e-05 8.463859558105468750e-05 4.761219024658203125e-04 2.339839935302734375e-03 1.682758331298828125e-02 1.299476623535156250e-01 1.048770904541015625e+00 8.114667415618896484e+00 6.373566389083862305e+01 6.489995403289794922e+02 -1.573562622070312500e-05 7.152557373046875000e-06 7.152557373046875000e-06 2.074241638183593750e-05 5.388259887695312500e-05 6.365776062011718750e-05 3.257751464843750000e-03 1.396179199218750000e-03 3.274917602539062500e-03 2.186250686645507812e-02 +1.859664916992187500e-05 8.296966552734375000e-05 5.471706390380859375e-04 3.053665161132812500e-03 2.407431602478027344e-02 1.868948936462402344e-01 1.563691616058349609e+00 1.100623321533203125e+01 8.547679090499877930e+01 7.507572824954986572e+02 +8.106231689453125000e-06 9.012222290039062500e-05 7.290840148925781250e-04 4.970788955688476562e-03 2.718997001647949219e-02 2.652802467346191406e-01 1.777865171432495117e+00 1.327002429962158203e+01 1.053971357345581055e+02 8.473208103179931641e+02 +2.098083496093750000e-05 1.742839813232421875e-04 9.438991546630859375e-04 4.754066467285156250e-03 4.852557182312011719e-02 2.204136848449707031e-01 1.447179555892944336e+00 9.938656568527221680e+00 6.396102952957153320e+01 4.614939928054809570e+02 +2.789497375488281250e-05 1.049041748046875000e-04 5.528926849365234375e-04 4.555702209472656250e-03 1.871442794799804688e-02 1.530685424804687500e-01 1.194762229919433594e+00 8.298985958099365234e+00 6.836994743347167969e+01 5.373736469745635986e+02 +1.835823059082031250e-05 7.867813110351562500e-06 1.001358032226562500e-05 5.412101745605468750e-05 4.267692565917968750e-05 1.184940338134765625e-04 2.441406250000000000e-04 6.957054138183593750e-04 2.217054367065429688e-03 1.880884170532226562e-02 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_128.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_128.pdf Binary files differindex ed1ec63..c54648f 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_128.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_128.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_128.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_128.txt index 976bbdf..f3a5beb 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_128.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_128.txt @@ -1,6 +1,6 @@ 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 6.400000000000000000e+01 1.280000000000000000e+02 -1.978874206542968750e-05 1.134872436523437500e-04 4.298686981201171875e-04 2.815246582031250000e-03 2.616596221923828125e-02 1.767718791961669922e-01 1.293319463729858398e+00 -6.675720214843750000e-06 1.251697540283203125e-04 4.818439483642578125e-04 3.490447998046875000e-03 2.465796470642089844e-02 2.014584541320800781e-01 1.630620479583740234e+00 -2.408027648925781250e-05 2.126693725585937500e-04 1.172780990600585938e-03 4.364490509033203125e-03 3.148293495178222656e-02 2.010228633880615234e-01 1.429297924041748047e+00 -2.932548522949218750e-05 1.466274261474609375e-04 4.270076751708984375e-04 2.837419509887695312e-03 1.723575592041015625e-02 1.308519840240478516e-01 1.015527009963989258e+00 -3.337860107421875000e-05 1.096725463867187500e-05 9.536743164062500000e-06 3.600120544433593750e-05 2.837181091308593750e-05 5.912780761718750000e-05 1.981019973754882812e-03 +1.239776611328125000e-05 5.507469177246093750e-05 3.888607025146484375e-04 2.762079238891601562e-03 2.097773551940917969e-02 1.672370433807373047e-01 1.410297393798828125e+00 +5.483627319335937500e-06 5.888938903808593750e-05 3.871917724609375000e-04 3.364324569702148438e-03 2.481031417846679688e-02 2.047052383422851562e-01 1.712310314178466797e+00 +1.358985900878906250e-05 1.189708709716796875e-04 6.430149078369140625e-04 5.586385726928710938e-03 3.101944923400878906e-02 1.874091625213623047e-01 1.327976465225219727e+00 +1.978874206542968750e-05 7.224082946777343750e-05 4.618167877197265625e-04 3.294944763183593750e-03 1.755571365356445312e-02 1.360688209533691406e-01 1.028253555297851562e+00 +1.215934753417968750e-05 5.722045898437500000e-06 2.074241638183593750e-05 4.339218139648437500e-05 2.813339233398437500e-05 5.292892456054687500e-05 1.921653747558593750e-04 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_256.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_256.pdf Binary files differindex 5f049dc..2eb177b 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_256.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_256.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_256.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_256.txt index 15035c6..62e77cb 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_256.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_256.txt @@ -1,6 +1,6 @@ 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 6.400000000000000000e+01 1.280000000000000000e+02 2.560000000000000000e+02 -1.049041748046875000e-05 5.340576171875000000e-05 5.936622619628906250e-04 2.707719802856445312e-03 2.246093750000000000e-02 1.631326675415039062e-01 1.335460901260375977e+00 1.052024245262145996e+01 -4.768371582031250000e-06 5.531311035156250000e-05 8.208751678466796875e-04 3.099203109741210938e-03 2.490711212158203125e-02 2.070860862731933594e-01 1.739669799804687500e+00 1.384817218780517578e+01 -1.478195190429687500e-05 1.132488250732421875e-04 5.970001220703125000e-04 3.906726837158203125e-03 3.041696548461914062e-02 2.000186443328857422e-01 1.392681598663330078e+00 9.388872385025024414e+00 -1.716613769531250000e-05 6.866455078125000000e-05 5.314350128173828125e-04 2.688407897949218750e-03 1.695108413696289062e-02 1.297233104705810547e-01 1.087257385253906250e+00 8.699601650238037109e+00 -2.336502075195312500e-05 4.529953002929687500e-06 8.106231689453125000e-06 4.291534423828125000e-05 6.008148193359375000e-05 8.988380432128906250e-05 1.647472381591796875e-04 4.460811614990234375e-04 +1.144409179687500000e-05 5.507469177246093750e-05 3.774166107177734375e-04 3.177404403686523438e-03 2.508044242858886719e-02 2.120554447174072266e-01 1.431464910507202148e+00 1.076412820816040039e+01 +5.722045898437500000e-06 5.745887756347656250e-05 4.494190216064453125e-04 3.611087799072265625e-03 3.317713737487792969e-02 2.292332649230957031e-01 2.090558290481567383e+00 1.306217479705810547e+01 +1.788139343261718750e-05 1.168251037597656250e-04 5.981922149658203125e-04 4.416465759277343750e-03 3.002405166625976562e-02 2.104022502899169922e-01 1.488269329071044922e+00 9.164114713668823242e+00 +1.955032348632812500e-05 7.224082946777343750e-05 3.829002380371093750e-04 2.558946609497070312e-03 2.043128013610839844e-02 1.361320018768310547e-01 1.089214324951171875e+00 8.553364753723144531e+00 +2.384185791015625000e-05 5.245208740234375000e-06 6.437301635742187500e-06 2.455711364746093750e-05 4.148483276367187500e-05 8.702278137207031250e-05 3.793239593505859375e-04 6.709098815917968750e-04 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.pdf Binary files differindex 94c3731..b926095 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.txt index afdb6d5..0fdc18d 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.txt @@ -1,6 +1,6 @@ 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 -1.215934753417968750e-05 5.459785461425781250e-05 3.700256347656250000e-04 3.249406814575195312e-03 1.996850967407226562e-02 -4.529953002929687500e-06 5.650520324707031250e-05 4.577636718750000000e-04 4.029273986816406250e-03 2.444481849670410156e-02 -1.311302185058593750e-05 1.165866851806640625e-04 6.275177001953125000e-04 4.323244094848632812e-03 2.624726295471191406e-02 -1.835823059082031250e-05 6.890296936035156250e-05 3.914833068847656250e-04 2.423048019409179688e-03 1.761770248413085938e-02 -1.263618469238281250e-05 5.006790161132812500e-06 5.960464477539062500e-06 1.144409179687500000e-05 3.600120544433593750e-05 +1.239776611328125000e-05 5.507469177246093750e-05 3.802776336669921875e-04 2.795457839965820312e-03 2.073740959167480469e-02 +5.006790161132812500e-06 5.841255187988281250e-05 3.988742828369140625e-04 3.505229949951171875e-03 2.511668205261230469e-02 +1.335144042968750000e-05 1.149177551269531250e-04 6.387233734130859375e-04 4.088878631591796875e-03 2.969408035278320312e-02 +1.955032348632812500e-05 8.058547973632812500e-05 3.998279571533203125e-04 2.514839172363281250e-03 1.842117309570312500e-02 +1.215934753417968750e-05 8.583068847656250000e-06 6.675720214843750000e-06 2.694129943847656250e-05 2.789497375488281250e-05 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e889d17 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt new file mode 100644 index 0000000..e69de29 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf Binary files differindex 3a90949..92af29b 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt index ae6ff9b..b4fc7a1 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt @@ -1,6 +1,6 @@ 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 6.400000000000000000e+01 -1.645088195800781250e-05 7.295608520507812500e-05 3.807544708251953125e-04 2.672195434570312500e-03 2.010774612426757812e-02 1.662156581878662109e-01 -7.390975952148437500e-06 7.843971252441406250e-05 4.265308380126953125e-04 3.107070922851562500e-03 2.457642555236816406e-02 2.122807502746582031e-01 -1.931190490722656250e-05 1.568794250488281250e-04 7.593631744384765625e-04 3.937005996704101562e-03 3.596329689025878906e-02 2.131938934326171875e-01 -2.622604370117187500e-05 9.226799011230468750e-05 3.504753112792968750e-04 2.469539642333984375e-03 1.652932167053222656e-02 1.281068325042724609e-01 -1.788139343261718750e-05 7.152557373046875000e-06 6.914138793945312500e-06 1.120567321777343750e-05 2.884864807128906250e-05 6.914138793945312500e-05 +2.145767211914062500e-05 6.175041198730468750e-05 4.422664642333984375e-04 3.235816955566406250e-03 2.289748191833496094e-02 1.855163574218750000e-01 +1.025199890136718750e-05 6.341934204101562500e-05 5.202293395996093750e-04 3.566026687622070312e-03 3.026723861694335938e-02 2.312932014465332031e-01 +2.384185791015625000e-05 1.807212829589843750e-04 6.821155548095703125e-04 4.796504974365234375e-03 2.968001365661621094e-02 2.291278839111328125e-01 +3.504753112792968750e-05 1.106262207031250000e-04 4.322528839111328125e-04 2.696514129638671875e-03 2.188420295715332031e-02 1.477701663970947266e-01 +3.218650817871093750e-05 1.144409179687500000e-05 7.390975952148437500e-06 4.625320434570312500e-05 3.814697265625000000e-05 5.435943603515625000e-05 diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex index bc4bfcf..2d0583d 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \rhead{Einleitung} Die Multiplikation zweier Matrizen ist eine wichtige Operation die in verschiedensten Teilen der Mathematik Anwendung findet. -Die Beschreibung der Multiplikation aus der Definition 2.10 (\textcolor{blue} {Kein Hyperlink zu einer Definition?)}: +Die Beschreibung der Multiplikation aus der Definition 2.10: Eine $m\times n$-Matrix $\mathbf{A}\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine $n\times p$-Matrix $\mathbf{B}\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt @@ -17,14 +17,8 @@ Koeffizienten c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. \label{multiplikation:eq:MM} \end{equation} -Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $AB=C$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. -\begin{figure} - \center - \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation} - \caption{Matrizen Multiplikation} - \label{multiplikation:fig:mm_viz} -\end{figure} -Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ +Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. +Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ kann die Matrixgleichung \begin{equation} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ @@ -40,7 +34,7 @@ C_{11} & C_{12}\\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} \end{equation} -kann die Gleichung der einzelnen Terme +explizt als Gleichung \begin{equation} \label{multiplikation:eq:MM_exp} \begin{split} C_{11} &= A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\ @@ -49,4 +43,10 @@ C_{21} &= A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21}\\ C_{22} &= A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22} \end{split} \end{equation} -explizit geschrieben werden. +der einzelnen Terme geschrieben werden. +\begin{figure} + \center + \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation} + \caption{Matrizen Multiplikation} + \label{multiplikation:fig:mm_viz} +\end{figure}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf Binary files differindex dfa2ba4..c29a891 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex index e3293e4..a415ccb 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex @@ -39,67 +39,71 @@ \begin{document} \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ - axis lines = left, + xmode=log, ymode=log, + xmin=1e-0, xmax=5e1, + ymin=10e-1, ymax=1e7, + grid=both, + major grid style={black!50}, xlabel = $n$ (Data Input), ylabel = {$t$ (time)}, legend pos=north east, very thick, - ymax = 500, yticklabels=\empty, xticklabels=\empty, scale only axis=true, width=12cm, height=6cm, ] \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=red, ] {1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(1)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=green, ] {x}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(n)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=blue, ] {x^2}; -\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^2)$} +\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^2\right)$} \addplot [ - domain= 1:10, + domain= 1:50, samples=100, color=purple, ] {x^3}; -\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^3)$} +\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^3\right)$} \addplot [ - domain= 1:10, + domain= 1:50, samples=100, color=black, ] -{exp(x)}; -\addlegendentry{$\mathcal{O}(e^n)$} +{exp(x) - 1.7}; +\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(e^n\right)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=orange, ] -{log2(x)}; +{log2(x)+1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(\log n)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=gray, ] -{x*log2(x)}; +{x*log2(x)+1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(n \log n)$} \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..304015a --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..70c7ec1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf Binary files differindex 9899dcb..a30fdaa 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex index 797772b..5cf39b4 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex @@ -81,13 +81,13 @@ \node at (-3,-10) {$C_{12}=$} ; \node at (-3,-5) {$C_{11}=$} ; - \node at (5,-2) {I}; - \node at (10,-2) {II}; - \node at (15,-2) {III}; - \node at (20,-2) {IV}; - \node at (25,-2) {V}; - \node at (30,-2) {VI}; - \node at (35,-2) {VII}; + \node at (5,-2) {P}; + \node at (10,-2) {Q}; + \node at (15,-2) {R}; + \node at (20,-2) {S}; + \node at (25,-2) {T}; + \node at (30,-2) {U}; + \node at (35,-2) {V}; } diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 83be814..6f1486c 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -4,18 +4,18 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{L\"osungsmethoden} -\rhead{L\"osungsmethoden} +\section{Algorithmen} +\rhead{Algorithmen} -In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. +In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. \subsection{Standard Algorithmus} -Der Standard Methode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden. +Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden. Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert. -Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{For j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{For k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. +Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. -\begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrix Multiplication} \label{multiplikation:alg:smm} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic}[1] @@ -39,16 +39,18 @@ Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, \end{algorithmic} \end{algorithm} -Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}(n^3)$ +Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ \subsubsection{Divide and Conquer Methode} -F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze zu markant besseren Laufzeiten. -Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. +F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten. +Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird. +Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden. -Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation, mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. -Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ +Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. +Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt. +Das Matrizen produklt \begin{equation} \mathbf{A}\mathbf{B}= \begin{bmatrix} @@ -63,20 +65,18 @@ Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\ \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} -\end{bmatrix} +\end{bmatrix}, \end{equation} -aufgeteilt. -Die Berechnung \begin{equation} \mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj} \label{multiplikation:eq:MM_block} \end{equation} -ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird. +ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation wird die Matrizenmultiplikation verwendet. Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz, Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt. -\begin{algorithm}\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication} \setlength{\lineskip}{7pt} \label{multiplikation:alg:devide_mm} \begin{algorithmic} @@ -105,15 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ \end{algorithmic} \end{algorithm} -Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} berechnet werden. -Ohne auf diesen vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit. +Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen. +Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit. In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac} - \mathcal{T}(n) = - \begin{cases} - 1 & \text{if } n \leq 2\\ - 8 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 & \text{if } n > 2 - \end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}(n^{3}) + \mathcal{T}(n) = 8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right ) \end{equation} zu einer kubischen Laufzeit. Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden. @@ -122,20 +118,20 @@ In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung \subsection{Strassen's Algorithmus} -Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen. -Die Grundlegenden Terme +Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen. +Die grundlegenden Terme \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen} \begin{split} -\text{\textbf{P}} &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}) \\ -\text{\textbf{Q}} &= (\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}) \cdot \mathbf{B}_{11} \\ -\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot (\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}) \\ -\text{\textbf{S}} &= \mathbf{A}_{22} \cdot (-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}) \\ -\text{\textbf{T}} &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}) \cdot \mathbf{B}_{22} \\ -\text{\textbf{U}} &= (-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}) \\ -\text{\textbf{V}} &= (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}) +\text{\textbf{P}} &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\ +\text{\textbf{Q}} &= \left(\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \mathbf{B}_{11} \\ +\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot \left(\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}\right ) \\ +\text{\textbf{S}} &= \mathbf{A}_{22} \cdot \left(-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}\right ) \\ +\text{\textbf{T}} &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}\right ) \cdot \mathbf{B}_{22} \\ +\text{\textbf{U}} &= \left(-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}\right ) \\ +\text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right ) \end{split} \end{equation} -aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\mathbf{C}$ +aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2} \begin{split} \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\ @@ -144,8 +140,8 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\math \mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}} \end{split} \end{equation} -gebraucht. -\begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication} +der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrix Multiplication} \label{multiplikation:alg:strassen} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} @@ -190,7 +186,11 @@ gebraucht. \EndFunction \end{algorithmic} \end{algorithm} -Strassens's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. +Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. +Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . +Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. +Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$. +Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf} @@ -202,17 +202,15 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen. Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen} \mathcal{T}(n) = -\begin{cases} -1 & \text{if } n \leq 2\\ -7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 & \text{if } n > 2 -\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 7}) = \mathcal{O}(n^{2.8074}) +7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right ) \end{equation} -und ist somit schneller als die Standard Methode. +und ist somit schneller als die Standardmethode. +Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde. \subsection{Winograd's Algorithmus} -Ein weiterer Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}. -Er zeigte einen neuen Algorithmus f\"ur das +Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}. +Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das \begin{equation} \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i \end{equation} @@ -236,6 +234,7 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte. Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt. + Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet. Dies f\"uhrt zu \begin{equation} @@ -243,10 +242,10 @@ Dies f\"uhrt zu \end{equation} Multiplikationen. Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt. -Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standard Methode nur die H\"alfte ist. -Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. +Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist. +Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. -\begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograd Matrix Multiplication} \setlength{\lineskip}{7pt} \label{multiplikation:alg:winograd} \begin{algorithmic} @@ -297,13 +296,170 @@ Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnomm \end{algorithmic} \end{algorithm} -\subsection{Weitere Algorithmen} +\subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} + +die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} \cite{multiplikation:BLAS}. +Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. + +\textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt. + +\begin{itemize} + \item Level 1 + \begin{itemize} + \item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{x}+\mathbf{y}$ + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ karakteristik + \end{itemize} + \item Level 2 + \begin{itemize} + \item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta \mathbf{y}$ + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ karakteristik + \end{itemize} + \item Level 3 + \begin{itemize} + \item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$ + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ karakteristik + \end{itemize} +\end{itemize} + +Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren. + + +\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)} + +Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als: + +\textit{DGEMM performs one of the matrix-matrix operations} +$$ + C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C, + $$ + \textit{where op( X ) is one of} +$$ +op( X ) = X \quad \text{ or } \quad op( X ) = X^T, +$$ + \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A ) + an m by k matrix, op( B ) a k by n matrix and C an m by n matrix. + } + +%Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als +%\begin{lstlisting}[style=multiplikationC] +%cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans, +% m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m); +%\end{lstlisting} +%definiert. + -\textcolor{red}{TODO: BLAS} -\section{Implementation} +\section{Implementation}\label{multiplikation:section:Implementation} \rhead{Implementation} -\textcolor{red}{TODO: messresultate} + +Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert. +\begin{itemize} + \item Standard Matrizenmultiplikation + \item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation + \item Strassen's Matrizenmultiplikation + \item Winograd's Matrizenmultiplikation + \item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C} + \item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python} +\end{itemize} + +Der Code kann im dazugehörigen \textit{GitHub} Repository gefunden werden. +Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten. +In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich. +Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet. + + +\begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{l l l l l l} + \hline + \hline + \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} & \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})} & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\ + \hline + \multicolumn{6}{c}{} \\ + \textbf{32} & 0.000081 &0.000594 & 0.00047& 0.00010 & 0.000022 \\ + \textbf{64} & 0.00065 & 0.0042& 0.0033& 0.00065& 0.00017 \\ + \textbf{128} & 0.0055 & 0.036& 0.024& 0.0052 & 0.0012 \\ + \textbf{256} & 0.054 & 0.32 & 0.17 & 0.057& 0.010 \\ + \textbf{512} & 0.48 & 2.61 & 1.20 & 0.51 & 0.074\\ + \textbf{1024} & 4.16 & 19.92& 8.45 & 4.53 & 0.704 \\ + \textbf{2048} & 125.90 & 159.33& 59.26 & 130.62 & 6.84 \\ + \textbf{4096} & 1111.31 & 1147.10& 414.64 & 1179.26 & 55.84\\ + \multicolumn{6}{c}{} \\ + \hline + \hline + \end{tabular} + \end{center} + \caption{Messresultate \texttt{C}} + \label{multiplikation:tab:messung_C} + \end{table} + + + + \begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{l l l l l l} + \hline + \hline + \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} & \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})} & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\ + \hline + \multicolumn{6}{c}{} \\ + \textbf{32} & 0.0240 &0.0271 & 0.04852& 0.01871 & 4.26e-05 \\ + \textbf{64} & 0.186 & 0.265& 0.2204& 0.1530& 0.000118 \\ + \textbf{128} & 1.563 & 1.777& 1.447& 1.1947 & 0.000244 \\ + \textbf{256} & 11.006 & 13.27 & 9.938 & 8.298& 0.000695 \\ + \textbf{512} & 85.476 & 105.397 & 63.961 & 68.36 & 0.00221\\ + \textbf{1024} & 750.757 & 847.321& 461.494 & 537.374 & 0.0188 \\ + \textbf{4096} & - & - & - & - & 1.633 \\ + \multicolumn{6}{c}{} \\ + \hline + \hline + \end{tabular} + \end{center} + \caption{Messresultate \texttt{Python}} + \label{multiplikation:tab:messung_Python} + \end{table} + + \begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{c c c c} + \hline + \hline + \textbf{CPU} & \textbf{OS} & \textbf{GPU } & \textbf{Memory } \\ + \hline + \multicolumn{4}{c}{} \\ + Intel® Core™ i7-4770K CPU & Ubuntu 20.04.2 LTS & Radeon RX 570 & 32 GB 1600 MHz \\ + @ 3.50GHz × 8 & 64-bit & & \\ + \multicolumn{4}{c}{} \\ + \hline + \hline + \end{tabular} + \end{center} + \caption{Messsystem} + \label{multiplikation:tab:pc_config} + \end{table} + +\begin{figure} + \center + \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/c_meas_4096} + \caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}} + \label{multiplikation:fig:c_meas_4096} +\end{figure} + + +\begin{figure} + \center + \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024} + \caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}} + \label{multiplikation:fig:python} +\end{figure} \section{Fazit} \rhead{Fazit} + +Wie man im Abschnitt\ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. +Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus. + +Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung. +Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden. +Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}. +Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein. diff --git a/buch/papers/multiplikation/main.tex b/buch/papers/multiplikation/main.tex index 8d0a8df..fb1908e 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/main.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/main.tex @@ -4,6 +4,28 @@ % % (c) 2021 Hochschule Rapperswil % +\definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0} % color values Red, Green, Blue +\definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241} +\definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92} +\lstdefinestyle{multiplikationC}{ + numbers=left, + belowcaptionskip=1\baselineskip, + breaklines=true, + frame=l, + framerule=0pt, + framesep=-1pt, + xleftmargin=1em, + language=C, + showstringspaces=false, + basicstyle=\ttfamily, + keywordstyle=\bfseries\color{green!40!black}, + commentstyle=\itshape\color{purple!40!black}, + identifierstyle=\color{blue}, + stringstyle=\color{red}, + numberstyle=\ttfamily\tiny, + backgroundcolor=\color{backcolour} +} + \chapter{Schnelle Matrizen Multiplikation\label{chapter:multiplikation}} \lhead{FMM} \begin{refsection} diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex index b20a791..cd5aaaa 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex @@ -6,24 +6,24 @@ \section{Problemstellung} \rhead{Problemstellung} Dank der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung. -Das Ziel dieses Papers ist verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. -Wobei gezielt auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen wird. +Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. +Gezielt werden auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen. \subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation} Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus \cite{multiplikation:bigo}. -$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt das die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. +$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet: \begin{itemize} \item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt \item $f \in \mathcal{O}(n) \rightarrow f$ w\"achst linear - \item $f \in \mathcal{O}(n^2) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch + \item $f \in \mathcal{O}\left (n^2 \right ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch \item $f \in \mathcal{O}(\log n) \rightarrow f$ w\"achst logarithmisch \item $f \in \mathcal{O}(n \log n) \rightarrow f$ hat super-lineares Wachstum - \item $f \in \mathcal{O}(e^n) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell + \item $f \in \mathcal{O}\left (e^n \right ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell \item usw. \end{itemize} -In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. +In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. \begin{figure} \center @@ -33,11 +33,13 @@ In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufze \end{figure} \subsubsection{Beispiel Algorithmen} + +Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen. \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} -Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. +Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit. -\begin{algorithm}\caption{} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} \label{multiplikation:alg:b1} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} @@ -47,9 +49,10 @@ Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmu \end{algorithmic} \end{algorithm} -Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. +Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. + -\begin{algorithm}\caption{} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} \label{multiplikation:alg:b2} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} @@ -63,13 +66,14 @@ Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg: \paragraph{Linearer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}(n)$ Verhalten. +Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares Verhalten. +Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$. -\begin{algorithm}\caption{} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} \label{multiplikation:alg:l1} - \Function{L}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n} + \Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n} \State $ sum \gets 0$ \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $ @@ -83,9 +87,11 @@ Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}( \paragraph{Quadratischer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches $\mathcal{O}(n^2)$ Verhalten. +Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. +Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchglaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. + -\begin{algorithm}[H]\caption{} +\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} \label{multiplikation:alg:q1} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} diff --git a/buch/papers/multiplikation/references.bib b/buch/papers/multiplikation/references.bib index 9d76e8e..8815386 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/references.bib +++ b/buch/papers/multiplikation/references.bib @@ -63,3 +63,40 @@ month = {7}, day = {27} } + +@online{multiplikation:master_theorem, + title = {Master theorem (analysis of algorithms)}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem_(analysis_of_algorithms)}, + date = {2021-07-28}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {28} +} + + +@online{multiplikation:DAC, + title = {Divide-and-conquer algorithm}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Divide-and-conquer_algorithm}, + date = {2021-07-28}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {28} +} + +@online{multiplikation:BLAS, + title = {BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms)}, + url = {http://www.netlib.org/blas/}, + date = {2021-08-01}, + year = {2021}, + month = {8}, + day = {01} +} + +@online{multiplikation:DGEMM, + title = {DGEMM}, + url = {http://www.netlib.org/lapack/explore-html/d1/d54/group__double__blas__level3_gaeda3cbd99c8fb834a60a6412878226e1.html#gaeda3cbd99c8fb834a60a6412878226e1}, + date = {2021-08-01}, + year = {2021}, + month = {8}, + day = {01} +} |