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index 0000000..c45d47b
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/10/repetition.tex
@@ -0,0 +1,151 @@
+%
+% intro.tex -- Repetition Lie-Gruppen und -Algebren
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+% Erstellt durch Roy Seitz
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\bgroup
+
+\begin{frame}[t]
+  \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+  \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+  \frametitle{Repetition}
+  \vspace{-20pt}
+  \begin{columns}[t,onlytextwidth]
+    \begin{column}{0.48\textwidth}
+      \uncover<1->{
+        \begin{block}{Lie-Gruppe}
+          Kontinuierliche Matrix-Gruppe $G$ mit bestimmter Eigenschaft
+        \end{block}
+      }
+      \uncover<3->{
+        \begin{block}{Ein-Parameter-Untergruppe}
+          Darstellung der Lie-Gruppe $G$:
+          \[
+          \gamma \colon \mathbb R \to G
+          : \quad
+          t \mapsto \gamma(t),
+          \]
+          so dass
+          \[ \gamma(s + t) = \gamma(t) \gamma(s). \]
+        \end{block}
+      }
+    \end{column}
+    \begin{column}{0.48\textwidth}
+      \uncover<2->{
+        \begin{block}{Beispiel}
+          Volumen-erhaltende Abbildungen:
+          \[ \gSL2R= \{A \in M_2 \,|\, \det(A) = 1\} .\]
+          \begin{align*}
+            \uncover<4->{ \gamma_x(t) }
+            &
+            \uncover<4->{= \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
+            \\
+            \uncover<5->{ \gamma_y(t) }
+            &
+            \uncover<5->{= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix} }
+            \\
+            \uncover<6->{ \gamma_h(t)}
+            &
+            \uncover<6->{= \begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix} }
+          \end{align*}
+        \end{block}
+      }
+    \end{column}
+  \end{columns}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}[t]
+  \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+  \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+  \frametitle{Repetition}
+  \vspace{-20pt}
+  \begin{columns}[t,onlytextwidth]
+    \begin{column}{0.48\textwidth}
+      \uncover<1->{
+        \begin{block}{Lie-Algebra aus Lie-Gruppe}
+          Ableitungen der Ein-Parameter-Untergruppen:
+          \begin{align*}
+            G       &\to      \mathcal A    \\
+            \gamma  &\mapsto  \dot\gamma(0)
+          \end{align*}
+          \uncover<3->{
+            Lie-Klammer als Produkt: 
+            \[ [A, B] = AB - BA \in \mathcal A \]
+          }
+        \end{block}
+      }
+      \uncover<7->{\vspace*{-4ex}
+        \begin{block}{Lie-Gruppe aus Lie-Algebra}
+          Lösung der Differentialgleichung:
+          \[
+          \dot\gamma(t) = A\gamma(t)
+          \quad \text{mit} \quad
+          A = \dot\gamma(0)
+          \]
+          \[
+          \Rightarrow \gamma(t) = \exp(At)
+          \]
+        \end{block}
+      }
+    \end{column}
+    \begin{column}{0.48\textwidth}
+      \uncover<2->{
+        \begin{block}{Beispiel}
+          Lie-Algebra von \gSL2R:
+          \[ \asl2R = \{ A \in M_2 \,|\, \Spur(A) = 0 \} \]
+        \end{block}
+        }
+        \begin{align*}
+          \uncover<4->{ X(t) }
+          &
+          \uncover<4->{= \begin{pmatrix} 0 & t \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
+          \\
+          \uncover<5->{ Y(t) }
+          &
+          \uncover<5->{= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t & 0 \end{pmatrix} }
+          \\
+          \uncover<6->{ H(t) }
+          &
+          \uncover<6->{= \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & -t \end{pmatrix} }
+        \end{align*}
+
+    \end{column}
+  \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[t]
+  \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+  \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+  \frametitle{Repetition}
+  \vspace{-20pt}
+  \begin{block}{Offene Fragen}
+    \begin{itemize}[<+->]
+      \item Woher kommt die Exponentialfunktion?
+      \begin{fleqn} 
+        \[
+        \exp(At)
+        =
+        1 
+        + At 
+        + A^2\frac{t^2}{2}
+        + A^3\frac{t^3}{3!} 
+        + \ldots
+        \]
+      \end{fleqn}
+      \item Wie löst man eine Matrix-DGL?
+      \begin{fleqn} 
+        \[ 
+        \dot\gamma(t) = A\gamma(t),
+        \qquad
+        \gamma(t) \in G \subset M_n
+        \]
+      \end{fleqn}
+      \item Was bedeutet $\exp(At)$?
+    \end{itemize}
+  \end{block}
+\end{frame}
+
+\egroup