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% intro.tex -- Repetition Lie-Gruppen und -Algebren
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
% Erstellt durch Roy Seitz
%
% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Repetition}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<1->{
\begin{block}{Lie-Gruppe}
Kontinuierliche Matrix-Gruppe $G$ mit bestimmter Eigenschaft
\end{block}
}
\uncover<3->{
\begin{block}{Ein-Parameter-Untergruppe}
Darstellung der Lie-Gruppe $G$:
\[
\gamma \colon \mathbb R \to G
: \quad
t \mapsto \gamma(t),
\]
so dass
\[ \gamma(s + t) = \gamma(t) \gamma(s). \]
\end{block}
}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<2->{
\begin{block}{Beispiel}
Volumen-erhaltende Abbildungen:
\[ \gSL2R= \{A \in M_2 \,|\, \det(A) = 1\} .\]
\begin{align*}
\uncover<4->{ \gamma_x(t) }
&
\uncover<4->{= \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
\\
\uncover<5->{ \gamma_y(t) }
&
\uncover<5->{= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix} }
\\
\uncover<6->{ \gamma_h(t)}
&
\uncover<6->{= \begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix} }
\end{align*}
\end{block}
}
\end{column}
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\frametitle{Repetition}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<1->{
\begin{block}{Lie-Algebra aus Lie-Gruppe}
Ableitungen der Ein-Parameter-Untergruppen:
\begin{align*}
G &\to \mathcal A \\
\gamma &\mapsto \dot\gamma(0)
\end{align*}
\uncover<3->{
Lie-Klammer als Produkt:
\[ [A, B] = AB - BA \in \mathcal A \]
}
\end{block}
}
\uncover<7->{\vspace*{-4ex}
\begin{block}{Lie-Gruppe aus Lie-Algebra}
Lösung der Differentialgleichung:
\[
\dot\gamma(t) = A\gamma(t)
\quad \text{mit} \quad
A = \dot\gamma(0)
\]
\[
\Rightarrow \gamma(t) = \exp(At)
\]
\end{block}
}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<2->{
\begin{block}{Beispiel}
Lie-Algebra von \gSL2R:
\[ \asl2R = \{ A \in M_2 \,|\, \Spur(A) = 0 \} \]
\end{block}
}
\begin{align*}
\uncover<4->{ X(t) }
&
\uncover<4->{= \begin{pmatrix} 0 & t \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
\\
\uncover<5->{ Y(t) }
&
\uncover<5->{= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t & 0 \end{pmatrix} }
\\
\uncover<6->{ H(t) }
&
\uncover<6->{= \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & -t \end{pmatrix} }
\end{align*}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Repetition}
\vspace{-20pt}
\begin{block}{Offene Fragen}
\begin{itemize}[<+->]
\item Woher kommt die Exponentialfunktion?
\begin{fleqn}
\[
\exp(At)
=
1
+ At
+ A^2\frac{t^2}{2}
+ A^3\frac{t^3}{3!}
+ \ldots
\]
\end{fleqn}
\item Wie löst man eine Matrix-DGL?
\begin{fleqn}
\[
\dot\gamma(t) = A\gamma(t),
\qquad
\gamma(t) \in G \subset M_n
\]
\end{fleqn}
\item Was bedeutet $\exp(At)$?
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\egroup
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