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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-06-03 18:51:36 +0200 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-06-03 18:51:36 +0200 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex index ed0ab13..d101637 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex @@ -13,8 +13,8 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{$\mathbb{C}$-Hilbertraum $H$} \begin{enumerate} -\item $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein -\item Sesquilineares Skalarprodukt +\item<2-> $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein +\item<3-> Sesquilineares Skalarprodukt \[ \langle \cdot,\cdot\rangle \colon H \to \mathbb{C}: (x,y) \mapsto \langle x,y\rangle @@ -23,36 +23,40 @@ Dazugehörige Norm: \[ \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle} \] -\item Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert +\item<4-> Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert \end{enumerate} -Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum} +\uncover<5->{% +Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum}} \end{block} +\uncover<6->{% \begin{block}{$\mathbb{R}$-Hilbertraum} Vollständiger $\mathbb{R}$-Vektorraum mit bilinearem Skalarprodukt -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<7->{% \begin{block}{Vollständigkeit} \begin{itemize} -\item $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge: +\item<8-> $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge: Für alle $\varepsilon>0$ gibt es $N>0$ derart, dass \[ \| x_n-x_m\| < \varepsilon\quad\forall n,m>N \] -\item Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle +\item<9-> Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle $\varepsilon >0$ ein $N>0$ gibt derart, dass \[ \|x_n-x\|<\varepsilon\quad\forall n>N \] \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{block}{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} \[ |\langle x,y\rangle| \le \|x\| \cdot \|y\| \] Gleichheit für linear abhängige $x$ und $y$ -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} |