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path: root/vorlesungen/slides/6/darstellungen
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-04-22 19:25:36 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-04-22 19:25:36 +0200
commit00871e6e102c6d77f9299cef29736ca422802089 (patch)
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endliche gruppen Präsentation
Diffstat (limited to 'vorlesungen/slides/6/darstellungen')
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex12
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex10
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex7
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex39
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex25
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diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
index 6a6991e..bfbd4a5 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
@@ -17,26 +17,30 @@ irreduzibel, wenn es keine Zerlegung von $\varrho$ in zwei
Darstellungen $\varrho_i\colon G\to\operatorname{GL}(U_i)$ ($i=1,2$)
gibt derart, dass $\varrho = \varrho_1\oplus\varrho_2$
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Isomorphe Darstellungen}
$\varrho_i$ sind {\em isomorphe} Darstellungen in $V_i$ wenn es
$f\colon V_1\overset{\cong}{\to} V_2$ gibt mit
\begin{align*}
f \circ \varrho_i(g)\circ f^{-1} &= \varrho_2(g)
\\
+\uncover<3->{%
f \circ \varrho_i(g)\phantom{\mathstrut\circ f^{-1}}&= \varrho_2(g)\circ f
+}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Lemma von Schur}
$\varrho_i$ zwei irreduzible Darstellungen und $f$ so, dass
$f\circ \varrho_1(g)=\varrho_2(g)\circ f$ für alle $g$.
Dann gilt
\begin{enumerate}
-\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$
-\item $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$
+\item<5-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$
+\item<6-> $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$
\end{enumerate}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
index 69ce9ee..9f1db9e 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
@@ -17,19 +17,21 @@ $h\colon V_1\to V_2$
h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ f \circ \varrho_1(g)
\]
\begin{enumerate}
-\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$
-\item $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$
+\item<2-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$
+\item<3-> $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$
\end{enumerate}
\end{block}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Matrixelemente für $\varrho_i$ nicht isomorph}
$\varrho_i$ nicht isomorph, dann ist
\[
\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl}\varrho_2(g)_{uv}=0
\]
für alle $k,l,u,v$
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Matrixelemente $V_1=V_2$, $\varrho_i$ iso}
F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt
\[
@@ -38,7 +40,7 @@ F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt
\frac1n
\]
und $=0$ sonst
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
index 653bdce..46cc8e9 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
@@ -21,18 +21,21 @@ $\varphi$, $\psi$ komplexe Funktionen auf $G$:
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Satz}
\begin{enumerate}
\item
$\chi$ der Charakter einer irrediziblen Darstellung
$\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi\rangle=1$.
-\item
+\item<3->
$\chi$ und $\chi'$ Charaktere nichtisomorpher Darstellungen
$\Rightarrow$
$\langle \chi,\chi'\rangle=0$
\end{enumerate}
+\uncover<4->{%
D.~h.~Charaktere irreduzibler Darstellungen sind orthonormiert
-\end{block}
+}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
index 9152e1f..3087b4a 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
@@ -20,39 +20,45 @@ Gegeben zwei Darstellungen
\end{align*}
\end{block}
\vspace{-12pt}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Direkte Summe der Darstellungen}
-\vspace{-12pt}
+%\vspace{-12pt}
\begin{align*}
\varrho_1\oplus\varrho_2
&\colon
-G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} = \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}
-=:
-\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}
+G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2}
+\only<3>{
+= \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}}
+\uncover<4->{=:
+\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}}
+\hspace*{5cm}
\\
&\colon g\mapsto (\varrho_1(g),\varrho_2(g))
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-12pt}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Charakter}
-\vspace{-12pt}
+%\vspace{-12pt}
\begin{align*}
\chi_{\varrho_1\oplus\varrho_2}(g)
&=
\operatorname{Spur}(\varrho_1\oplus\varrho_2)(g)
\\
-&=
+&\uncover<6->{=
\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}
+
-\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}
+\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}}
\\
-&=
+&\uncover<7->{=
\chi_{\varrho_1}(g)
+
-\chi_{\varrho_2}(g)
+\chi_{\varrho_2}(g)}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
\begin{block}{Tensorprodukt}
$n_1\times n_2$-dimensionale
Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix
@@ -67,15 +73,16 @@ Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix
&\varrho_1(g)_{n_1n_1} \varrho_2(g)
\end{pmatrix}
\]
-Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke
-\end{block}
+\uncover<9->{Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
\begin{block}{Darstellungsring}
Die Menge der Darstellungen $R(G)$ einer Gruppe hat
einer Ringstruktur mit $\oplus$ und $\otimes$
\\
-$\Rightarrow$
-Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden
-\end{block}
+\uncover<11->{$\Rightarrow$
+Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
index 6e36d1d..312d0e8 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
@@ -16,15 +16,17 @@
C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
\)
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Darstellungen von $C_n$}
Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$,
\[
\varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-10pt}
+\uncover<3->{
\begin{block}{Charaktere}
-\vspace{-10pt}
+%\vspace{-10pt}
\[
\chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
\]
@@ -38,13 +40,15 @@ haben Skalarprodukte
\end{cases}
\]
Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Orthonormalbasis}
Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-4pt}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Analyse einer Darstellung}
$\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung,
$\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen:
@@ -53,24 +57,27 @@ c_k
&=
\langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n}
\\
+\uncover<7->{
\chi(l)
&=
\sum_{k} c_k \chi_k
=
\sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n}
+}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-13pt}
+\uncover<8->{%
\begin{block}{Fourier-Theorie}
\vspace{-3pt}
\begin{center}
\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
-C_n&Diskrete Fourier-Theorie\\
-U(1)&Fourier-Reihen\\
-\mathbb{R}&Fourier-Integral
+\uncover<9->{C_n&Diskrete Fourier-Theorie}\\
+\uncover<10->{U(1)&Fourier-Reihen}\\
+\uncover<11->{\mathbb{R}&Fourier-Integral}
\end{tabular}
\end{center}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}