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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index 1f9db81..b4e0982 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -183,6 +183,127 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist. Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$. +\subsubsection{Homomorphismen} +Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus, +dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren. +Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung, +das neutrale Element und die Inverse respektiert werden müssen. + +\begin{definition} +Ein Abbildung $\varphi\colon G\to H$ zwischen Gruppen heisst ein +{\em Homomorphismus}, wenn +$\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$ für alle $g_1,g_2\in G$ gilt. +\index{Homomorphismus}% +\end{definition} + +Der Begriff des Kerns einer linearen Abbildung lässt sich ebenfalls auf +die Gruppensituation erweitern. +Auch hier ist der Kern der Teil der Gruppe, er unter dem +Homomorphismus ``unsichtbar'' wird. + +\begin{definition} +Ist $\varphi\colon G\to H$ ein Homomorphisus, dann ist +\[ +\ker\varphi += +\{g\in G\;|\; \varphi(g)=e\} +\] +eine Untergruppe. +\index{Kern}% +\end{definition} + +\subsubsection{Normalteiler} +Der Kern eines Homomorphismus ist nicht nur eine Untergruppe, er erfüllt +noch eine zusätzliche Bedingung. +Für jedes $g\in G$ und $h\in\ker\varphi$ gilt +\[ +\varphi(ghg^{-1}) += +\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g^{-1}) += +\varphi(g)\varphi(g^{-1}) += +\varphi(gg^{-1}) += +\varphi(e) += +e +\qquad\Rightarrow\qquad +ghg^{-1}\in\ker\varphi. +\] +Der Kern wird also von der Abbildung $h\mapsto ghg^{-1}$, +der {\em Konjugation} in sich abgebildet. + +\begin{definition} +Eine Untergruppe $H \subset G$ heisst ein {\em Normalteiler}, +geschrieben $H \triangleleft G$ +wenn $gHg^{-1}\subset H$ für jedes $g\in G$. +\index{Normalteiler} +\end{definition} + +Die Konjugation selbst ist ebenfalls keine Unbekannte, sie ist uns +bei der Basistransformationsformel schon begegnet. +Die Tatsache, dass $\ker\varphi$ unter Konjugation erhalten bleibt, +kann man also interpretieren als eine Eigenschaft, die unter +Basistransformation erhalten bleibt. + +\subsubsection{Faktorgruppen} +Ein Unterraum $U\subset V$ eines Vektorraumes gibt Anlass zum +Quotientenraum, der dadurch entsteht, dass man die Vektoren in $U$ +zu $0$ kollabieren lässt. +Eine ähnliche Konstruktion könnte man für eine Untergruppe $H \subset G$ +versuchen. +Man bildet also wieder die Mengen von Gruppenelementen, die sich um +ein Elemente in $H$ unterscheiden. +Man kann diese Mengen in der Form $gH$ mit $g\in G$ schreiben. + +Man möchte jetzt aber auch die Verknüpfung für solche Mengen +definieren, natürlich so, dass $g_1H\cdot g_2H = (g_1g_2)H$ ist. +Da die Verknüpfung nicht abelsch sein muss, entsteht hier +ein Problem. +Für $g_1=e$ folgt, dass $Hg_2H=g_2H$ sein muss. +Das geht nur, wenn $Hg_2=g_2H$ oder $g_2Hg_2^{-1}=H$ ist, wenn +also $H$ ein Normalteiler ist. + +\begin{definition} +Für eine Gruppe $G$ mit Normalteiler $H\triangleleft G$ ist die +Menge +\[ +G/H = \{ gH \;|\; g\in G\} +\] +eine Gruppe mit der Verknüpfung $g_1H\cdot g_2H=(g_1g_2)H$. +$G/H$ heisst {\em Faktorgruppe} oder {\em Quotientengruppe}. +\index{Faktorgruppe}% +\index{Quotientengruppe}% +\end{definition} + +Für abelsche Gruppen ist die Normalteilerbedingung keine zusätzliche +Einschränkung, jeder Untergruppe ist auch ein Normalteiler. + +\begin{beispiel} +Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ bilden eine abelsche Gruppe und +die Menge der Vielfachen von $n$ +$n\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$ ist eine Untergruppe. +Da $\mathbb{Z}$ abelsch ist, ist $n\mathbb{Z}$ ein Normalteiler +und die Faktorgruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist wohldefiniert. +Nur die Elemente +\[ +0+n\mathbb{Z}, +1+n\mathbb{Z}, +2+n\mathbb{Z}, +\dots +(n-1)+n\mathbb{Z} +\] +sind in der Faktorgruppe verschieden. +Die Gruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ besteht also aus den Resten +bei Teilung durch $n$. +Diese Gruppe wird in Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} +genauer untersucht. +\end{beispiel} + +Das Beispiel suggeriert, dass man sich die Elemente von $G/H$ +als Reste vorstellen kann. + diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..779d571 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile @@ -0,0 +1,12 @@ +# +# Makefile -- build images +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: ideale.pdf gausszahlen.pdf + +ideale.pdf: ideale.tex + pdflatex ideale.tex + +gausszahlen.pdf: gausszahlen.tex + pdflatex gausszahlen.tex diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..b717fa6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.tex new file mode 100644 index 0000000..6786f05 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% gausszahlen.tex -- Ganze Gausssche Zahlen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usepackage{color} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8] +\draw[->] (-8.5,0) -- (8.5,0) coordinate[label={$\Re z$}]; +\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.5) coordinate[label={right:$\Im z$}]; +\foreach \x in {-8,...,8}{ + \foreach \y in {-4,...,4}{ + \fill (\x,\y) circle[radius=0.05]; + } +} + + +\coordinate (O) at (0,0); +\coordinate (A) at (2,2); +\coordinate (B) at (-3,1); +\coordinate (C) at (-8,-4); +\coordinate (D) at (-1,3); +\draw[line width=0.5pt] (A)--(D)--(B); +\draw[->,color=red] (O) -- (A); +\draw[->,color=red] (O) -- (B); +\draw[->,color=blue] (O) -- (C); +\draw[->,color=darkgreen] (O) -- (D); +\fill[color=red] (A) circle[radius=0.08]; +\fill[color=red] (B) circle[radius=0.08]; +\fill[color=blue] (C) circle[radius=0.08]; +\fill[color=darkgreen] (D) circle[radius=0.08]; +\fill[color=black] (O) circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at (A) [above right] {$z$}; +\node[color=red] at (B) [above left] {$w$}; +\node[color=darkgreen] at (D) [above] {$z+w$}; +\node[color=blue] at (C) [below right] {$z\cdot w$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.pdf b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..439afcc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.pdf diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.tex new file mode 100644 index 0000000..9793c8e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% ideale.tex -- Ideale in den ganzen Gaussschen Zahlen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.35] +\begin{scope}[xshift=-9.5cm] +\begin{scope} +\clip (-8.3,-8.3) rectangle (8.3,8.3); + \foreach \x in {-8,...,8}{ + \foreach \y in {-8,...,8}{ + \fill (\x,\y) circle[radius=0.08]; + } + } + \foreach \x in {-8,...,8}{ + \foreach \y in {-8,...,8}{ + \fill[color=blue] + ({\x-2*\y},{2*\x+\y}) circle[radius=0.12]; + } + } + \foreach \x in {-8,...,8}{ + \draw[color=blue,line width=0.5pt] + ({\x-2*(-8)},{2*\x+(-8)}) + -- + ({\x-2*8},{2*\x+8}); + } + \foreach \y in {-8,...,8}{ + \draw[color=blue,line width=0.5pt] + ({(-8)-2*\y},{2*(-8)+\y}) + -- + ({8-2*\y},{2*8+\y}); + } +\end{scope} + \draw[->] (-8.3,0) -- (9.1,0) coordinate[label={$\Re z$}]; + \draw[->] (0,-8.3) -- (0,8.9) coordinate[label={right:$\Im z$}]; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=9.5cm] +\begin{scope} +\clip (-8.3,-8.3) rectangle (8.3,8.3); + \foreach \x in {-8,...,8}{ + \foreach \y in {-8,...,8}{ + \fill[color=red] ({\x-\y},{\x+\y}) circle[radius=0.12]; + } + } + \foreach \x in {-8,...,8}{ + \foreach \y in {-8,...,8}{ + \fill (\x,\y) circle[radius=0.08]; + } + } + \foreach \x in {-8,...,8}{ + \draw[color=red,line width=0.5pt] + ({\x+8},{\x-8}) -- ({\x-8},{\x+8}); + \draw[color=red,line width=0.5pt] + ({-8-\x},{-8+\x}) -- ({8-\x},{8+\x}); + } +\end{scope} + \draw[->] (-8.3,0) -- (9.1,0) coordinate[label={$\Re z$}]; + \draw[->] (0,-8.3) -- (0,8.9) coordinate[label={right:$\Im z$}]; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 23d16a8..cc1c5b9 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -867,3 +867,5 @@ Das Bild der Matrix $A$ ist der Unterraum \] von $\Bbbk^m$, aufgespannt von den Spaltenvektoren $a_i$ von $A$. +\subsubsection{Quotient} +TODO diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex index e53bde5..0a8ab1e 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex @@ -6,3 +6,393 @@ \subsection{Ringe und Moduln \label{buch:grundlagen:subsection:ringe}} \rhead{Ringe} +Die ganzen Zahlen haben ausser der Addition mit neutralem Element $0$ +auch noch eine Multiplikation mit dem neutralen Element $1$. +Die Multiplikation ist aber nicht immer invertierbar und zwar +nicht nur für $0$. +Eine ähnliche Situation haben wir bei $M_n(\Bbbk)$ angetroffen. +$M_n(\Bbbk)$ ist eine zunächst eine Gruppe bezüglich der Addition, +hat aber auch noch eine Multiplikation, die nicht immer umkehrbar ist. +Diese Art von Struktur nennt man einen Ring. + +\subsubsection{Definition eines Rings} + +\begin{definition} +\index{Ring}% +Eine Menge $R$ mit einer additiven Operation $+$ mit neutralem Element +$0$ und einer multiplikativ geschriebenen Operation $\cdot$ heisst ein +{\em Ring}, wenn folgendes gilt. +\begin{enumerate} +\item +$R$ ist eine Gruppe bezüglich der Addition. +\item +$R\setminus\{0\}$ ist eine Halbgruppe. +\item +Es gelten die {\em Distributivgesetze} +\[ +a(b+c)=ab+ac +\qquad\text{und}\qquad +(a+b)c=ac+bc +\] +für beliebige Elemente $a,b,c\in R$. +\index{Distributivgesetz}% +\end{enumerate} +\end{definition} + +Die Distributivgesetze stellen sicher, dass man in $R$ beliebig +ausmultiplizieren kann. +Man kann also so rechnen kann, wie man sich das gewohnt ist. +Es stellt auch sicher, dass die Multiplikation mit $0$ immer $0$ +ergibt, denn es ist +\[ +r0 = r(a-a) = ra-ra=0. +\] + +Man beachte, dass weder verlangt wurde, dass die Multiplikation +ein neutrales Element hat oder kommutativ ist. +Der Ring $\mathbb{Z}$ erfüllt beide Bedingungen. +Die Beispiele weiter unten werden zeigen, dass es auch Ringe gibt, +in denen die Multiplikation nicht kommutativ ist, die Multiplikation +kein neutrales Element hat oder beides. + +\begin{definition} +\index{Ring mit Eins}% +Ein Ring $R$ heisst ein Ring mit Eins, wenn die Multiplikation ein +neutrales Element hat. +\end{definition} + +\begin{definition} +\index{Ring!kommutativ}% +\index{kommutativer Ring}% +Ein Ring $R$ heisst kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ +ist. +\end{definition} + +\subsubsection{Beispiele von Ringen} + +\begin{beispiel} +Alle Zahlenkörper aus Kapitel~\ref{buch:chapter:zahlen} sind kommutative +Ringe mit Eins. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die Menge $c(\mathbb{Z})$ der Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit +Folgengliedern in $\mathbb{Z}$ wird eine Ring, wenn man die Addition +und Multiplikation elementweise definiert, also +\begin{align*} +&\text{Addition:} +& +a+b&\text{\;ist die Folge mit Folgengliedern}& +(a+b)_n &= a_nb_n \quad\text{für alle $n\in\mathbb{N}$} +\\ +&\text{Multiplikation:} +& +a\cdot b&\text{\;ist die Folge mit Folgengliedern}& +(a\cdot b)_n &= a_nb_n \quad\text{für alle $n\in\mathbb{N}$} +\end{align*} +für $a,b\in c(\mathbb{Z})$. +Die Algebra ist kommutativ und hat die konstante Folge +$u_n = 1\;\forall n$ als Eins. + +Wir betrachten jetzt ein Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$ +bestehend aus den Folgen, die nur für endlich viele Folgenglieder von +$0$ verschieden sind. +Für eine Folge $a\in c_0(\mathbb{Z})$ gibt es eine Zahl $N$ derart, dass +$a_n=0$ für $n\ge N$. +Die konstante Folge $u_n=1$, die in $c(\mathbb{Z})$ erfüllt diese +Bedingung nicht, die Eins des Ringes $c(\mathbb{Z})$ ist also nicht in +$c_0(\mathbb{Z})$. +$c_0(\mathbb{Z})$ ist immer noch ein Ring, aber er hat kein Eins. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf} +%\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8] +%\draw[->] (-8.5,0) -- (8.5,0) coordinate[label={$\Re z$}]; +%\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.5) coordinate[label={right:$\Im z$}]; +%\foreach \x in {-8,...,8}{ +% \foreach \y in {-4,...,4}{ +% \fill (\x,\y) circle[radius=0.05]; +% } +%} +% +% +%\coordinate (O) at (0,0); +%\coordinate (A) at (2,2); +%\coordinate (B) at (-3,1); +%\coordinate (C) at (-8,-4); +%\coordinate (D) at (-1,3); +%\draw[line width=0.5pt] (A)--(D)--(B); +%\draw[->,color=red] (O) -- (A); +%\draw[->,color=red] (O) -- (B); +%\draw[->,color=blue] (O) -- (C); +%\draw[->,color=darkgreen] (O) -- (D); +%\fill[color=red] (A) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (B) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=blue] (C) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=darkgreen] (D) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=black] (O) circle[radius=0.08]; +%\node[color=red] at (A) [above right] {$z$}; +%\node[color=red] at (B) [above left] {$w$}; +%\node[color=darkgreen] at (D) [above] {$z+w$}; +%\node[color=blue] at (C) [below right] {$z\cdot w$}; +% +%\end{tikzpicture} +\caption{Der Ring der ganzen Gausschen Zahlen besteht aus den ganzahligen +Gitterpunkten in der Gausschen Zahlenebene +\label{buch:vektorenmatrizen:fig:ganzgauss}} +\end{figure} +Die Menge +\[ +\mathbb{Z} + i\mathbb{Z} += +\{a+bi\;|\; a,b\in\mathbb{Z}\} += +\mathbb{Z}[i] +\subset +\mathbb{C} +\] +ist eine Teilmenge von $\mathbb{C}$ und erbt natürlich die +arithmetischen Operationen. +Die Summe zweier solcher Zahlen $a+bi\in\mathbb{Z}[i]$ und +$c+di\in\mathbb{Z}[i]$ ist +$(a+bi)+(c+di)=(a+c) + (b+d)i\in \mathbb{Z}[i]$, weil $a+c\in\mathbb{Z}$ +und $b+d\in\mathbb{Z}$ ganze Zahlen sind. +Ebenso ist das Produkt dieser Zahlen +\( +(a+bi)(c+di) += +(ac-bd) + (ad+bc)i +\in \mathbb{Z}[i] +\) +weil Realteil $ac-bd\in\mathbb{Z}$ und der Imaginärteil $ad+bc\in\mathbb{Z}$ +ganze Zahlen sind. +Die Menge $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein kommutative Ring mit Eins, er +heisst der Ring der ganzen {\em Gaussschen Zahlen}. +\index{Gausssche Zahlen}% +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die Menge der Matrizen $M_n(\mathbb{Z})$ ist ein Ring mit Eins. +Für $n>1$ ist er nicht kommutativ. +Der Ring $M_2(\mathbb{Z})$ enthält den Teilring +\[ +G += +\biggl\{ +\begin{pmatrix} +a&-b\\b&a +\end{pmatrix} +\;\bigg|\; +a,b\in\mathbb{Z} +\biggr\} += +\mathbb{Z}+ \mathbb{Z}J +\subset +M_2(\mathbb{Z}). +\] +Da die Matrix $J$ die Relation $J^2=-E$ erfüllt, ist der Ring $G$ +nichts anderes als der Ring der ganzen Gaussschen Zahlen. +Der Ring $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein Unterring des Matrizenrings +$M_2(\mathbb{Z})$. +\end{beispiel} + +\subsubsection{Einheiten} +In einem Ring mit Eins sind normalerweise nicht alle von $0$ verschiedenen +Elemente intertierbar. +Die Menge der von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ wir mit $R^*$ +bezeichnet. +\index{$R^*$}% +Die Menge der invertierbaren Elemente verdient einen besonderen Namen. + +\begin{definition} +Ist $R$ ein Ring mit Eins, dann heissen die Elemente von +\[ +U(R) = \{ r\in R \;|\; \text{$r$ in $R$ invertierbar}\}. +\] +die {\em Einheiten} von $R$. +\index{Einheit}% +\end{definition} + +\begin{satz} +$U(R)$ ist eine Gruppe, die sogenannte {\em Einheitengruppe}. +\index{Einheitengruppe}% +\end{satz} + +\begin{beispiel} +Die Menge $M_2(\mathbb{Z})$ ist ein Ring mit Eins, die Einheitengruppe +besteht aus den invertierbaren $2\times 2$-Matrizen. +Aus der Formel für +\[ +\begin{pmatrix} +a&b\\ +c&d +\end{pmatrix}^{-1} += +\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} +d&-b\\ +-c&a +\end{pmatrix} +\] +zeigt, dass $U(M_2(\mathbb{Z})) = \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die Einheitengruppe von $M_n(\Bbbk)$ ist die allgemeine lineare Gruppe +$U(M_n(\Bbbk))=\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$. +\end{beispiel} + +\subsubsection{Nullteiler} +Ein möglicher Grund, warum ein Element $r\in R$ nicht invertierbar +ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ gibt mit $rs=0$. +Wäre nämlich $t$ ein inverses Element, dann wäre $0=t0 = t(rs) = (tr)s=s$. + +\begin{definition} +Ein Element $r\in R^*$ heisst ein {\em Nullteiler} in $R$, +wenn es ein $s\in R^*$ gibt mit $rs=0$ +Ein Ring ohne Nullteiler heisst {\em nullteilerfrei}. +\end{definition} + +In $\mathbb{R}$ ist man sich gewohnt zu argumentieren, dass wenn ein +Produkt $ab=0$ ist, dann muss einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ sein. +Dieses Argument funktioniert nur, weil $\mathbb{R}$ ein nullteilerfreier +Ring ist. +In $M_2(\mathbb{R})$ ist dies nicht mehr möglich. +Die beiden Matrizen +\[ +A=\begin{pmatrix} +1&0\\0&0 +\end{pmatrix} +,\qquad +B=\begin{pmatrix} +0&0\\0&1 +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +AB=0 +\] +sind Nullteiler in $M_2(\mathbb{Z})$. + +\subsubsection{Homomorphismus} +Eine Abbildung zwischen Ringen muss die algebraische Struktur respektieren, +wenn sich damit Eigenschaften vom einen Ring auf den anderen transportieren +lassen sollen. + +\begin{definition} +Eine Abbildung $\varphi:R \to S$ zwischen Ringen heisst ein +{\em Homomorphismus} +\index{Homomorphismus}% +oder {\em Ringhomomorphismus}, +\index{Ringhomomorphismus}% +wenn $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppen der Ringe +ist und ausserdem gilt +\[ +\varphi(r_1r_2) = \varphi(r_1)\varphi(r_2). +\] +Der Kern ist die Menge +\[ +\ker\varphi = \{ r\in R\;|\; \varphi(r)=0\} +\] +\index{Kern}% +\end{definition} + +Wieder hat der Kern zusätzliche Eigenschaften. +Er ist natürlich bezüglich der additiven Struktur des Ringes ein +Normalteiler, aber weil die additive Gruppe ja abelsch ist, ist das +keine wirkliche Einschränkung. +Für ein beliebiges Element $r\in R$ und $k\in \ker\varphi$ gilt +\begin{align*} +\varphi(kr) &= \varphi(k)\varphi(r) = 0\cdot\varphi(r) = 0 +\\ +\varphi(rk) &= \varphi(r)\varphi(k) = \varphi(r)\cdot 0 = 0. +\end{align*} +Für den Kern gilt also, dass $\ker\varphi\cdot R\subset \ker\varphi$ +und $R\cdot\ker\varphi\subset\ker\varphi$. + +\subsubsection{Ideale} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.pdf} +\caption{Ideale im Ring der ganzen Gaussschen Zahlen $\mathbb{Z}[i]$. +Für jedes Element $r\in \mathbb{Z}[i]$ ist die Menge $r\mathbb{Z}[i]$ +ein ein Ideal in $\mathbb{Z}[i]$. +Links das Ideal $(1+2i)\mathbb{Z}[i]$ (blau), rechts das Ideal +$(1+i)\mathbb{Z}[i]$ (rot). +\label{buch:vektorenmatrizen:fig:ideale}} +\end{figure} +Bei der Betrachtung der additiven Gruppe des Ringes $\mathbb{Z}$ der +ganzen Zahlen wurde bereits die Untergruppe $n\mathbb{Z}$ diskutiert +und die Faktorgruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ der Reste konstruiert. +Reste können aber auch multipliziert werden, es muss also auch möglich +sein, der Faktorgruppe eine multiplikative Struktur zu verpassen. + +Sei jetzt also $I\subset R$ ein Unterring. +Die Faktorgruppe $R/I$ hat bereits die additive Struktur, es muss +aber auch die Multiplikation definiert werden. +Die Elemente $r_1+I$ und $r_2+I$ der Faktorgruppe $R/I$ haben das +Produkt +\[ +(r_1+I)(r_2+I) += +r_1r_2 + r_1I + Ir_2 + II. +\] +Dies stimmt nur dann mit $r_1r_2+I$ überein, wenn $r_1I\subset I$ und +$r_2I\subset I$ ist. + +\begin{definition} +Ein Unterring $I\subset R$ heisst ein {\em Ideal}, wenn für jedes $r\in R$ gilt +$rI\subset I$ und $Ir\subset I$ gilt. +\index{Ideal}% +Die Faktorgruppe $R/I$ erhält eine natürliche Ringstruktur, $R/I$ +heisst der {\em Quotientenring}. +\index{Quotientenring}% +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Die Menge $n\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$ besteht aus den durch $n$ teilbaren +Zahlen. +Multipliziert man durch $n$ teilbare Zahlen mit einer ganzen Zahl, +bleiben sie durch $n$ teilbar, $n\mathbb{Z}$ ist also ein Ideal in +$\mathbb{Z}$. +Der Quotientenring ist der Ring der Reste bei Teilung durch $n$, +er wird in +Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} +im Detail untersucht. +\end{beispiel} + +Ein Ideal $I\subset R$ drückt als die Idee ``gemeinsamer Faktoren'' +auf algebraische Weise aus und der Quotientenring $R/I$ beschreibt +das, was übrig bleibt, wenn man diese Faktoren ignoriert. + +\begin{beispiel} +In Abbildung~\ref{buch:vektorenmatrizen:fig:ideale} sind zwei +Ideale im Ring der ganzen Gaussschen Zahlen dargestellt. +Die blauen Punkte sind $I_1=(1+2i)\mathbb{Z}$ und die roten Punkte sind +$I_2=(1+i)\mathbb{Z}$. +Die Faktorgruppen $R/I_1$ und $R/I_2$ fassen jeweils Punkte, die sich +um ein Element von $I_1$ bzw.~$I_2$ unterscheiden, zusammen. + +Im Falle von $I_2$ gibt es nur zwei Arten von Punkten, nämlich +die roten und die schwarzen, der Quotientenring hat +daher nur zwei Elemente, $R/I_2 = \{0+I_2,1+I_2\}$. +Wegen $1+1=0$ in diesem Quotientenring, ist $R/I_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. + +Im Falle von $I_1$ gibt es fünf verschiedene Punkte, als Menge ist +\[ +R/I_1 += +\{ +0+I_1, +1+I_1, +2+I_1, +3+I_1, +4+I_1 +\}. +\] +Die Rechenregeln sind also dieselben wie im Ring $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. +In gewisser Weise verhält sich die Zahl $1+2i$ in den ganzen +Gaussschen Zahlen bezüglich Teilbarkeit ähnlich wie die Zahl $5$ in den +ganzen Zahlen. +\end{beispiel} + |