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diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex index 20220cb..30a229f 100644 --- a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex +++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex @@ -110,15 +110,39 @@ Durch die geometrische Algebra sieht man nun, wieso es wichtig ist, bei Quaterni \begin{beispiel} Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um $90^\circ$ um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach $90^\circ$ um die $\mathbf{e}_2$-Achse. Dafür nehmen wir zuerst die Einheitsquaternion - \begin{align*} - \mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23})\\ - \mathbf{q}_{23}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23}) - \end{align*} - welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um $90^\circ$ dreht und danach die Einheitsquaternion - \begin{align*} - \mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\\ - \mathbf{q}_{31}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31}), - \end{align*} + \[ + \begin{aligned} + \mathbf{q}_{23} + &= + \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} + & + &= + \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23}) + \\ + \mathbf{q}_{23}^{-1} + & + & + &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23}) + \end{aligned} + \] +welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um $90^\circ$ dreht und danach die Einheitsquaternion + \[ + \begin{aligned} + \mathbf{q}_{31} + &= + \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) + = + e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} + & + &= + \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31}) + \\ + \mathbf{q}_{31}^{-1} + & + & + &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31}), + \end{aligned} + \] welche um die $\mathbf{e}_{3}$-$\mathbf{e}_{1}$-Ebene um $90^\circ$ dreht. Um die vollständige Drehung zu beschreiben, können die Einheitsquaternionen multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss. Somit ist |