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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex index ae91489..6991457 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex @@ -174,7 +174,7 @@ v_n v_1&\dots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&v_n -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] Das Produkt von Diagonalmatrizen ist besonders einfach. Für zwei Vektoren $a,b\in\Bbbk^n$ @@ -212,9 +212,9 @@ Wir machen aus einer Matrix erst einen Vektor, den wir dann mit dem Operator $\operatorname{diag}$ in eine Diagonalmatrix umwandeln: \[ \begin{pmatrix} -a_{11}&\dots&a_{1n}\\ +a_{11}&\dots &a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{m1}&\dots +a_{m1}&\dots &a_{mn} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex index b4e7b26..b58c0dd 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex @@ -177,7 +177,7 @@ dann gilt \deg(p+q) &\le \max(\deg p, \deg q) \label{buch:eqn:polynome:gradprodukt} \\ -\deg(\lambda p) &\le \deg p +\deg(\lambda p) &\le \deg p. \label{buch:eqn:polynome:gradskalar} \end{align} \end{lemma} @@ -225,7 +225,7 @@ Dann gilt \deg(p+q) &\le \max(\deg p, \deg q) \label{buch:eqn:polynome:gradproduktexakt} \\ -\deg(\lambda p) &= \deg p +\deg(\lambda p) &= \deg p. \label{buch:eqn:polynome:gradskalarexakt} \end{align} \end{lemma} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex index 0617fe5..649fcd7 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex @@ -696,7 +696,7 @@ Eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ gilt. \item Hermitesche und Antihermitesche Matrizen sind normal, denn solche \index{hermitesch}% -\index{anithermitesch}% +\index{antihermitesch}% Matrizen erfüllen $A^*=\pm A$ und damit \( AA^* = \pm A^2 = A^*A. diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index b84b244..e19f76f 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -535,7 +535,7 @@ Matrizen. \index{u(n)@$\operatorname{u}(n)$}% Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen -Matrizen wieder anithermitesch ist: +Matrizen wieder antihermitesch ist: \index{antihermitesch}% \begin{align*} [A,B]^* diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index 76fa0ee..c67a304 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -412,7 +412,7 @@ I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\frac{A^5t^5}5!+\dots I+\frac{1}{\omega}A\omega t-I\frac{\omega^2t^2}{2!} -\frac1{\omega}A\frac{\omega^3t^3}{3!} +\frac{\omega^4t^4}{4!} -+\frac{1}{\omega}\frac{\omega^5t^5}5!+\dots ++\frac{1}{\omega}\frac{\omega^5t^5}{5!}+\dots \\ &= I\cos\omega t + \frac1{\omega}A\sin\omega t = diff --git a/buch/common/farbseiten.sh b/buch/common/farbseiten.sh index b80c198..e289cb2 100644 --- a/buch/common/farbseiten.sh +++ b/buch/common/farbseiten.sh @@ -29,6 +29,7 @@ END { 30 31 32 +37 39 51 57 @@ -36,6 +37,7 @@ END { 66 # Kapitel 3 # Kapitel 4 +82 90 94 95 @@ -49,18 +51,22 @@ END { 147 148 149 +153 # Kapitel 6 162 # Kapitel 7 174 177 178 -186 -188 +179 +187 189 -194 +190 +195 # Kapitel 8 +206 212 +214 216 220 222 @@ -69,98 +75,98 @@ END { 237 238 241 -245 246 247 248 249 +250 # Kapitel 10 -262 -263 264 265 266 -268 -270 -276 -277 +267 +269 +272 +278 279 +281 # Kapitel 11 -286 -290 -294 -295 -296 +289 +293 297 +298 299 +300 +302 303 -304 +307 +308 # Kapitel 12 -317 -318 -319 -# Kapitel 13 +321 322 -324 +323 +# Kapitel 13 +326 328 332 -333 -# Kapitel 14 336 -338 -339 -341 +337 +# Kapitel 14 +340 +342 343 -344 -# Kapitel 15 +345 +347 348 -349 -350 -351 +# Kapitel 15 352 -361 -362 -363 +353 +354 +355 +356 +360 365 366 367 +369 +370 +371 # Kapitel 16 -377 -378 -379 381 +382 383 +385 # Kapitel 17 -390 -# Kapitel 18 394 -395 +# Kapitel 18 398 -401 -404 -410 -412 -413 +399 +402 +405 +408 414 -415 -# Kapitel 19 +416 +417 418 419 -420 -421 +# Kapitel 19 422 -428 -# Kapitel 20 +423 +424 +425 +426 432 -434 -440 -441 -442 +# Kapitel 20 +436 +438 444 -# Kapitel 21 +445 +446 448 -449 -450 +# Kapitel 21 452 453 +454 +456 +457 EOF diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex index 20220cb..30a229f 100644 --- a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex +++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex @@ -110,15 +110,39 @@ Durch die geometrische Algebra sieht man nun, wieso es wichtig ist, bei Quaterni \begin{beispiel} Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um $90^\circ$ um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach $90^\circ$ um die $\mathbf{e}_2$-Achse. Dafür nehmen wir zuerst die Einheitsquaternion - \begin{align*} - \mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23})\\ - \mathbf{q}_{23}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23}) - \end{align*} - welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um $90^\circ$ dreht und danach die Einheitsquaternion - \begin{align*} - \mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\\ - \mathbf{q}_{31}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31}), - \end{align*} + \[ + \begin{aligned} + \mathbf{q}_{23} + &= + \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} + & + &= + \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23}) + \\ + \mathbf{q}_{23}^{-1} + & + & + &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23}) + \end{aligned} + \] +welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um $90^\circ$ dreht und danach die Einheitsquaternion + \[ + \begin{aligned} + \mathbf{q}_{31} + &= + \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) + = + e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} + & + &= + \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31}) + \\ + \mathbf{q}_{31}^{-1} + & + & + &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31}), + \end{aligned} + \] welche um die $\mathbf{e}_{3}$-$\mathbf{e}_{1}$-Ebene um $90^\circ$ dreht. Um die vollständige Drehung zu beschreiben, können die Einheitsquaternionen multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss. Somit ist |