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diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM b/buch/papers/multiplikation/code/MM Binary files differdeleted file mode 100755 index d52dda4..0000000 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM +++ /dev/null diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c index a897d4f..2588262 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c @@ -28,11 +28,12 @@ int main() { // omp_set_num_threads(4);
// run_algo(openMP_MM, "openMP_MM",0);
run_algo(MM_dc, "MM_dc",0);
+
run_algo(strassen, "strassen",0);
run_algo(MM, "MM", 0);
- run_algo(winograd, "winograd", 0);
- run_algo_cblas(0);
+ run_algo(winograd, "winograd", 0);
+ run_algo_cblas(0);
return 0;
}
@@ -414,12 +415,12 @@ void run_algo(void (*algo)(), char alog_name[], int print) for(int i=0; i<n_arrays; ++i)
{
- for(int j = 0; j<1; ++j)
+ for(int j = 0; j<10; ++j)
{
- int *C = (int*) malloc(n[i] * n[i] * sizeof(int));
- double dtime = omp_get_wtime();
- algo(Ap[i], Bp[i], (int*) C, n[i]);
- dtime = omp_get_wtime() - dtime;
+ int *C = (int*) malloc(n[i] * n[i] * sizeof(int));
+ double dtime = omp_get_wtime();
+ algo(Ap[i], Bp[i], (int*) C, n[i]);
+ dtime = omp_get_wtime() - dtime;
// printf("The %s program took %f seconds to execute \n", alog_name, dtime);
fprintf(fptr, "%f,%d\n", dtime, n[i]);
@@ -428,7 +429,7 @@ void run_algo(void (*algo)(), char alog_name[], int print) printMatrix((int*)C, n[i]);
}
free(C);
- }
+ }
}
fclose(fptr);
@@ -442,7 +443,7 @@ void run_algo_cblas(int print) fptr = fopen("meas/blas.txt", "w");
for(int i=0; i<n_arrays; ++i)
{
- for(int j = 0; j<1; ++j)
+ for(int j = 0; j<10; ++j)
{
double *dC = (double*) malloc(n[i] * n[i] * sizeof(double));
double dtime = omp_get_wtime();
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py index 7220ae1..8057850 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py @@ -5,6 +5,7 @@ Created on Fri Mar 19 07:31:29 2021 @author: nunigan """ +import scipy.stats import numpy as np import time import matplotlib.pyplot as plt @@ -133,9 +134,6 @@ def winograd2(A, B): def test_perfomance(n): - import mkl - mkl.set_num_threads(1) - t_mm = [] t_mm_dc = [] t_mm_strassen = [] @@ -148,21 +146,21 @@ def test_perfomance(n): # A = np.random.randint(-100, 100,(i, i)) # B = np.random.randint(-100, 100,(i, i)) - # start = time.time() - # C3 = strassen(A, B) - # t_mm_strassen.append(time.time() - start) + start = time.time() + C3 = strassen(A, B) + t_mm_strassen.append(time.time() - start) - # start = time.time() - # C1 = MM(A, B) - # t_mm.append(time.time() - start) + start = time.time() + C1 = MM(A, B) + t_mm.append(time.time() - start) - # start = time.time() - # C2 = MM_dc(A, B) - # t_mm_dc.append(time.time() - start) + start = time.time() + C2 = MM_dc(A, B) + t_mm_dc.append(time.time() - start) - # start = time.time() - # C4 = winograd2(A, B) - # t_wino.append(time.time() - start) + start = time.time() + C4 = winograd2(A, B) + t_wino.append(time.time() - start) start = time.time() C = A@B @@ -173,10 +171,10 @@ def test_perfomance(n): plt.rc('axes', labelsize=23) plt.rc('xtick', labelsize=23) plt.rc('ytick', labelsize=23) - # plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5) - # plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5) - # plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) - # plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) + plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5) + plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5) + plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) + plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) # plt.xscale('log', base=2) plt.legend() @@ -186,9 +184,9 @@ def test_perfomance(n): plt.tight_layout() # plt.yscale('log') plt.legend(fontsize=19) - # plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf') - # arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np]) - # np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr) + plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf') + arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np]) + np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr) return t_np @@ -249,6 +247,8 @@ def plot_c_res(ave, num): # blas_t = np.mean(blas_t.reshape(-1,ave),axis=1) # blas_n = np.mean(blas_n.reshape(-1,ave),axis=1) + + def func(x, a,b): return b*x**a @@ -261,11 +261,11 @@ def plot_c_res(ave, num): plt.rc('axes', labelsize=23) plt.rc('xtick', labelsize=23) plt.rc('ytick', labelsize=23) - plt.loglog(MM_n, MM_t, label='3 For Loops', lw=5) - plt.loglog(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5) - plt.loglog(blas_n, blas_t, label='Blas', lw=5) - plt.loglog(strassen_n, strassen_t, label='Strassen', lw=5) - plt.loglog(MM_dc_n, MM_dc_t, label='Divide and Conquer', lw=5) + plt.loglog(MM_n, MM_t, '.', label='3 For Loops', lw=5) + plt.loglog(winograd_n, winograd_t, '.', label='Winograd MM', lw=5) + plt.loglog(blas_n, blas_t, '.', label='Blas', lw=5) + plt.loglog(strassen_n, strassen_t, '.', label='Strassen', lw=5) + plt.loglog(MM_dc_n, MM_dc_t, '.', label='Divide and Conquer', lw=5) plt.xlabel("n") # plt.yscale('log', base=10) # plt.xscale('log', base=2) @@ -281,16 +281,33 @@ def plot_c_res(ave, num): plt.legend() # return [MM_n,winograd_n,blas_n,strassen_n,MM_dc_n] + + return [MM_t,winograd_t,blas_t,strassen_t,MM_dc_t] +def mean_confidence_interval(data, confidence=0.95): + a = 1.0 * np.array(data) + n = len(a) + m, se = np.mean(a), scipy.stats.sem(a) + h = se * scipy.stats.t.ppf((1 + confidence) / 2., n-1) + return m, h + # test%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if __name__ == '__main__': - # A = plot_c_res(1, 4096) - - - arr = plot(1024) + # A = plot_c_res(10, 4096) + # name = ['MM', 'Wino', 'blas', 'strassen', 'dc'] + # for i in range(5): + # ci_inner = [] + # print(name[i]) + # for j in range(11): + # m,h=mean_confidence_interval(A[i][j*10:(j+1)*10]) + # print("({},{})".format(2**(j+1),m)) + # np.savetxt('meas/ci/' + name[i]+'.txt',ci_inner) + + arr = plot(4096) # n = np.logspace(1,12,12,base=2,dtype=(np.int)) + # n=[2048,4096] # n = np.arange(1,50,2) # A = np.random.randint(-10, 6, (5,3)) # B = np.random.randint(-10, 6, (3,5)) diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h index 14389fc..63d5390 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h +++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h @@ -1,101 +1,177 @@ -/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 02/08/2021, 22:48:43 */ +/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 10/08/2021, 05:46:32 */ #include <stdint.h> const int A0[][2] = { - {75,47}, - {-41,-24} + {60,-84}, + {-66,-1} }; const int B0[][2] = { - {-53,-95}, - {-93,30} + {-45,87}, + {-38,-73} }; const double dB0[][2] = { - {-53,-95}, - {-93,30} + {-45,87}, + {-38,-73} }; const double dA0[][2] = { - {75,47}, - {-41,-24} + {60,-84}, + {-66,-1} }; const int A1[][4] = { - {47,11,-66,8}, - {36,98,39,82}, - {-32,12,40,-79}, - {61,-20,-85,-98} + {-72,-19,-91,62}, + {-36,-74,-44,-47}, + {-39,-31,50,-93}, + {-81,2,-17,-86} }; const int B1[][4] = { - {37,75,-53,9}, - {37,-33,-67,38}, - {70,39,-93,43}, - {43,41,23,-4} + {-66,39,-23,52}, + {-88,-13,13,-13}, + {-45,-70,28,-20}, + {96,5,88,96} }; const double dB1[][4] = { - {37,75,-53,9}, - {37,-33,-67,38}, - {70,39,-93,43}, - {43,41,23,-4} + {-66,39,-23,52}, + {-88,-13,13,-13}, + {-45,-70,28,-20}, + {96,5,88,96} }; const double dA1[][4] = { - {47,11,-66,8}, - {36,98,39,82}, - {-32,12,40,-79}, - {61,-20,-85,-98} + {-72,-19,-91,62}, + {-36,-74,-44,-47}, + {-39,-31,50,-93}, + {-81,2,-17,-86} }; const int A2[][8] = { - {-54,-87,87,69,52,-21,-86,55}, - {19,-75,-61,-50,-55,-23,66,-92}, - {-73,-67,-36,19,84,-11,24,46}, - {-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51}, - {62,46,1,-64,42,-9,85,-12}, - {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74}, - {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96}, - {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13} + {-36,-2,-58,-32,34,-89,49,-55}, + {-68,-73,52,-3,-51,-37,-31,70}, + {73,-90,-21,-79,-15,96,-99,12}, + {68,-25,38,-73,-60,35,-99,72}, + {-43,-87,48,-84,-100,37,80,53}, + {-27,88,-5,-82,-57,-27,20,10}, + {-91,-47,54,-90,-99,-76,50,-18}, + {69,-36,76,5,-67,-38,-95,91} }; const int B2[][8] = { - {-71,-82,-80,-78,83,-97,48,-24}, - {15,75,15,-60,-63,-53,1,-50}, - {-84,63,67,-2,78,93,-13,95}, - {61,-26,-88,56,56,27,26,1}, - {2,54,21,36,9,-41,53,53}, - {85,-11,42,-51,-6,3,27,97}, - {10,-2,90,-76,-75,0,8,-37}, - {10,-64,47,-69,66,-50,89,-66} + {-84,22,-13,-66,-42,51,66,0}, + {37,-65,66,-85,-10,-23,77,5}, + {1,41,-79,0,63,-37,-10,29}, + {72,66,-99,92,-28,65,25,-40}, + {69,-49,65,-18,64,-97,-47,30}, + {36,86,66,-12,-17,89,1,-37}, + {-100,11,27,23,-75,-23,96,-9}, + {68,90,-87,-99,-70,-28,98,-76} }; const double dB2[][8] = { - {-71,-82,-80,-78,83,-97,48,-24}, - {15,75,15,-60,-63,-53,1,-50}, - {-84,63,67,-2,78,93,-13,95}, - {61,-26,-88,56,56,27,26,1}, - {2,54,21,36,9,-41,53,53}, - {85,-11,42,-51,-6,3,27,97}, - {10,-2,90,-76,-75,0,8,-37}, - {10,-64,47,-69,66,-50,89,-66} + {-84,22,-13,-66,-42,51,66,0}, + {37,-65,66,-85,-10,-23,77,5}, + {1,41,-79,0,63,-37,-10,29}, + {72,66,-99,92,-28,65,25,-40}, + {69,-49,65,-18,64,-97,-47,30}, + {36,86,66,-12,-17,89,1,-37}, + {-100,11,27,23,-75,-23,96,-9}, + {68,90,-87,-99,-70,-28,98,-76} }; const double dA2[][8] = { - {-54,-87,87,69,52,-21,-86,55}, - {19,-75,-61,-50,-55,-23,66,-92}, - {-73,-67,-36,19,84,-11,24,46}, - {-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51}, - {62,46,1,-64,42,-9,85,-12}, - {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74}, - {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96}, - {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13} - }; -const int *Ap[3] = {(int*) A0,(int*) A1,(int*) A2}; -const int *Bp[3] = {(int*) B0,(int*) B1,(int*) B2}; -const double *dAp[3] = {(double*) dA0,(double*) dA1,(double*) dA2}; -const double *dBp[3] = {(double*) dB0,(double*) dB1,(double*) dB2}; -int n[3] = {2,4,8}; -int n_arrays = 3; + {-36,-2,-58,-32,34,-89,49,-55}, + {-68,-73,52,-3,-51,-37,-31,70}, + {73,-90,-21,-79,-15,96,-99,12}, + {68,-25,38,-73,-60,35,-99,72}, + {-43,-87,48,-84,-100,37,80,53}, + {-27,88,-5,-82,-57,-27,20,10}, + {-91,-47,54,-90,-99,-76,50,-18}, + {69,-36,76,5,-67,-38,-95,91} + }; +const int A3[][16] = + { + {-24,65,21,19,94,70,-90,-81,53,-41,-23,-1,58,-80,-54,59}, + {-42,76,-19,98,29,-56,92,14,45,11,82,83,48,-13,81,66}, + {43,-57,-67,95,5,72,11,0,-47,55,-24,36,84,54,-31,-54}, + {-39,-40,19,97,-82,-56,27,95,81,-21,-50,-74,-35,-87,-28,-26}, + {-74,-98,79,92,-24,-48,99,94,55,-83,70,98,-24,18,-67,14}, + {20,76,11,-23,-56,21,0,42,64,86,-74,44,93,-76,-30,97}, + {13,20,-73,-11,-30,80,53,-8,60,21,17,-42,82,-72,-6,-80}, + {36,-93,-64,-21,20,-85,15,24,99,81,-52,64,71,-56,52,63}, + {32,9,-2,-85,17,62,-98,-35,75,-58,-44,-20,-47,89,-95,52}, + {93,-43,86,68,-6,-25,90,57,60,-10,65,-97,43,46,-60,-41}, + {43,-33,0,50,-100,26,-60,95,39,-70,-61,-81,9,-23,-99,-4}, + {20,61,15,43,-96,93,-55,38,-29,-1,-10,26,-87,18,64,6}, + {-98,-84,51,16,-14,86,52,59,44,-39,-2,10,82,-66,54,19}, + {89,-49,-37,-6,-53,40,-11,46,-51,-56,86,34,11,13,-20,-49}, + {-90,14,28,-45,-25,-56,-51,-61,28,-8,51,91,95,-10,-85,58}, + {8,-44,88,-71,-27,11,89,37,86,-78,-44,-56,-87,0,-42,-61} + }; +const int B3[][16] = + { + {62,-30,62,92,29,-93,-95,44,-33,-88,-29,9,-88,-42,-90,-70}, + {60,37,-44,-93,-87,6,-53,2,-29,53,-49,59,6,83,-15,50}, + {-19,85,-49,-14,84,-4,12,88,-83,-81,-24,-16,-12,-42,-63,-71}, + {-42,-78,-58,-61,-29,67,-28,-46,64,7,6,-13,88,-42,95,-24}, + {-90,-56,8,-30,-89,70,37,-29,24,-8,-10,-2,-25,-63,-95,-91}, + {10,-81,42,-28,-13,-68,-72,-20,-22,5,-79,-50,-88,62,57,69}, + {-67,24,-71,-43,11,48,33,-93,-82,-65,-4,5,-15,25,-54,-45}, + {-49,19,-29,90,-97,-87,78,-39,-75,-85,-79,-35,54,3,-73,7}, + {-7,39,70,-42,32,-100,56,4,-24,-57,38,-49,-50,-44,79,-42}, + {37,-65,-55,22,-97,-42,-76,95,97,-27,38,11,0,-81,-23,35}, + {26,-70,10,-29,47,-70,-52,29,-13,-18,5,34,18,32,87,91}, + {-84,41,-19,96,-51,-19,81,75,81,92,2,-40,-42,-69,-10,-61}, + {-30,98,71,-51,91,-59,58,86,86,-22,-84,7,66,-55,-52,23}, + {-71,-44,-9,90,26,18,26,-10,-85,64,-47,3,72,81,74,-8}, + {52,-59,-91,22,8,-63,84,9,-11,-54,-78,-71,-98,42,96,57}, + {18,-39,34,-50,-62,-96,-2,-78,52,94,-33,2,-19,-9,-86,-75} + }; +const double dB3[][16] = + { + {62,-30,62,92,29,-93,-95,44,-33,-88,-29,9,-88,-42,-90,-70}, + {60,37,-44,-93,-87,6,-53,2,-29,53,-49,59,6,83,-15,50}, + {-19,85,-49,-14,84,-4,12,88,-83,-81,-24,-16,-12,-42,-63,-71}, + {-42,-78,-58,-61,-29,67,-28,-46,64,7,6,-13,88,-42,95,-24}, + {-90,-56,8,-30,-89,70,37,-29,24,-8,-10,-2,-25,-63,-95,-91}, + {10,-81,42,-28,-13,-68,-72,-20,-22,5,-79,-50,-88,62,57,69}, + {-67,24,-71,-43,11,48,33,-93,-82,-65,-4,5,-15,25,-54,-45}, + {-49,19,-29,90,-97,-87,78,-39,-75,-85,-79,-35,54,3,-73,7}, + {-7,39,70,-42,32,-100,56,4,-24,-57,38,-49,-50,-44,79,-42}, + {37,-65,-55,22,-97,-42,-76,95,97,-27,38,11,0,-81,-23,35}, + {26,-70,10,-29,47,-70,-52,29,-13,-18,5,34,18,32,87,91}, + {-84,41,-19,96,-51,-19,81,75,81,92,2,-40,-42,-69,-10,-61}, + {-30,98,71,-51,91,-59,58,86,86,-22,-84,7,66,-55,-52,23}, + {-71,-44,-9,90,26,18,26,-10,-85,64,-47,3,72,81,74,-8}, + {52,-59,-91,22,8,-63,84,9,-11,-54,-78,-71,-98,42,96,57}, + {18,-39,34,-50,-62,-96,-2,-78,52,94,-33,2,-19,-9,-86,-75} + }; +const double dA3[][16] = + { + {-24,65,21,19,94,70,-90,-81,53,-41,-23,-1,58,-80,-54,59}, + {-42,76,-19,98,29,-56,92,14,45,11,82,83,48,-13,81,66}, + {43,-57,-67,95,5,72,11,0,-47,55,-24,36,84,54,-31,-54}, + {-39,-40,19,97,-82,-56,27,95,81,-21,-50,-74,-35,-87,-28,-26}, + {-74,-98,79,92,-24,-48,99,94,55,-83,70,98,-24,18,-67,14}, + {20,76,11,-23,-56,21,0,42,64,86,-74,44,93,-76,-30,97}, + {13,20,-73,-11,-30,80,53,-8,60,21,17,-42,82,-72,-6,-80}, + {36,-93,-64,-21,20,-85,15,24,99,81,-52,64,71,-56,52,63}, + {32,9,-2,-85,17,62,-98,-35,75,-58,-44,-20,-47,89,-95,52}, + {93,-43,86,68,-6,-25,90,57,60,-10,65,-97,43,46,-60,-41}, + {43,-33,0,50,-100,26,-60,95,39,-70,-61,-81,9,-23,-99,-4}, + {20,61,15,43,-96,93,-55,38,-29,-1,-10,26,-87,18,64,6}, + {-98,-84,51,16,-14,86,52,59,44,-39,-2,10,82,-66,54,19}, + {89,-49,-37,-6,-53,40,-11,46,-51,-56,86,34,11,13,-20,-49}, + {-90,14,28,-45,-25,-56,-51,-61,28,-8,51,91,95,-10,-85,58}, + {8,-44,88,-71,-27,11,89,37,86,-78,-44,-56,-87,0,-42,-61} + }; +const int *Ap[4] = {(int*) A0,(int*) A1,(int*) A2,(int*) A3}; +const int *Bp[4] = {(int*) B0,(int*) B1,(int*) B2,(int*) B3}; +const double *dAp[4] = {(double*) dA0,(double*) dA1,(double*) dA2,(double*) dA3}; +const double *dBp[4] = {(double*) dB0,(double*) dB1,(double*) dB2,(double*) dB3}; +int n[4] = {2,4,8,16}; +int n_arrays = 4; diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf Binary files differindex 5236afb..f637ae4 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/ci.txt b/buch/papers/multiplikation/code/ci.txt new file mode 100644 index 0000000..e69de29 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/code/ci.txt diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/helper_class.py b/buch/papers/multiplikation/code/helper_class.py index 485fa76..3b74f67 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/code/helper_class.py +++ b/buch/papers/multiplikation/code/helper_class.py @@ -101,5 +101,6 @@ if __name__ == '__main__': helper = Helper() # n = np.arange(2,10) - n = np.logspace(1,3,3,base=2,dtype=(np.int)) - C = helper.write_c_matrix(n) + n = np.logspace(1,11,11,base=2,dtype=(np.int)) + # n=[8192] + # C = helper.write_c_matrix(n) diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt index e296dd7..7bffb6e 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt @@ -1,12 +1,110 @@ -0.000001,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 0.000001,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000001,4 +0.000001,4 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000001,8 0.000001,8 -0.000010,16 -0.000081,32 -0.000654,64 -0.005556,128 -0.054253,256 -0.487317,512 -4.162845,1024 -125.909034,2048 -1111.312696,4096 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000021,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000090,32 +0.000093,32 +0.000083,32 +0.000082,32 +0.000090,32 +0.000080,32 +0.000080,32 +0.000080,32 +0.000089,32 +0.000126,32 +0.000771,64 +0.000651,64 +0.000651,64 +0.000651,64 +0.000731,64 +0.000673,64 +0.000745,64 +0.000672,64 +0.000671,64 +0.000707,64 +0.005642,128 +0.005579,128 +0.005768,128 +0.005745,128 +0.005518,128 +0.005877,128 +0.005513,128 +0.005850,128 +0.005769,128 +0.005581,128 +0.052188,256 +0.051988,256 +0.051888,256 +0.051518,256 +0.051709,256 +0.051543,256 +0.051707,256 +0.051845,256 +0.051495,256 +0.051834,256 +0.507020,512 +0.504111,512 +0.502049,512 +0.529743,512 +0.501028,512 +0.502097,512 +0.503490,512 +0.502079,512 +0.506688,512 +0.504163,512 +4.538722,1024 +4.291473,1024 +4.516302,1024 +4.374630,1024 +4.719557,1024 +4.438999,1024 +4.641680,1024 +4.407959,1024 +4.441451,1024 +4.677313,1024 +129.433279,2048 +129.277802,2048 +129.284817,2048 +129.086884,2048 +129.197444,2048 +129.350999,2048 +129.264250,2048 +129.295723,2048 +129.402601,2048 +129.300820,2048 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt index f6be928..b78b925 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt @@ -1,12 +1,110 @@ 0.000003,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 0.000002,4 -0.000010,8 -0.000068,16 -0.000594,32 -0.004264,64 -0.036289,128 -0.324645,256 -2.612010,512 -19.928951,1024 -159.333884,2048 -1147.106865,4096 +0.000001,4 +0.000001,4 +0.000001,4 +0.000001,4 +0.000001,4 +0.000001,4 +0.000001,4 +0.000001,4 +0.000001,4 +0.000008,8 +0.000008,8 +0.000008,8 +0.000008,8 +0.000007,8 +0.000007,8 +0.000007,8 +0.000007,8 +0.000018,8 +0.000008,8 +0.000075,16 +0.000063,16 +0.000088,16 +0.000062,16 +0.000086,16 +0.000092,16 +0.000081,16 +0.000080,16 +0.000070,16 +0.000085,16 +0.000581,32 +0.000659,32 +0.000584,32 +0.000714,32 +0.000666,32 +0.000574,32 +0.000616,32 +0.000534,32 +0.000506,32 +0.000506,32 +0.004567,64 +0.004502,64 +0.004332,64 +0.004578,64 +0.004543,64 +0.004426,64 +0.004497,64 +0.004329,64 +0.004288,64 +0.004277,64 +0.036456,128 +0.034901,128 +0.034545,128 +0.034283,128 +0.035150,128 +0.034663,128 +0.034901,128 +0.034022,128 +0.034368,128 +0.035154,128 +0.296292,256 +0.297592,256 +0.302464,256 +0.299557,256 +0.299367,256 +0.306394,256 +0.287616,256 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+62.045588,2048 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt index d185906..970a3f4 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt @@ -1,12 +1,110 @@ 0.000001,2 -0.000001,4 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,2 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 +0.000000,4 0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000002,8 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000011,16 +0.000021,16 +0.000011,16 0.000011,16 -0.000100,32 -0.000654,64 -0.005229,128 -0.057440,256 -0.517850,512 -4.539413,1024 -130.627663,2048 -1179.261048,4096 +0.000092,32 +0.000092,32 +0.000081,32 +0.000081,32 +0.000081,32 +0.000081,32 +0.000088,32 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b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf Binary files differindex e889d17..ecf2cff 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt index e69de29..cae1bc6 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt @@ -0,0 +1,6 @@ +2.048000000000000000e+03 4.096000000000000000e+03 +6.154183513402938843e+03 4.681333474493026733e+04 +7.375929301261901855e+03 5.846600176072120667e+04 +3.860573610544204712e+03 2.290433094644546509e+04 +4.884613198995590210e+03 4.359707747149467468e+04 +2.157390117645263672e-01 1.491588830947875977e+00 diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex index 9f1cb04..9b03a4e 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex @@ -3,18 +3,17 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Einleitung \label{multiplikation:section:einleitung}} -\rhead{Einleitung} +\section{Matrizenmultiplikation \label{multiplikation:section:einleitung}} +\rhead{Matrizenmultiplikation} -Die Multiplikation zweier Matrizen ist eine wichtige Operation die in verschiedensten Teilen der Mathematik Anwendung findet. +Die Multiplikation zweier Matrizen ist eine wichtige Operation, die in verschiedensten Teilen der Mathematik Anwendung findet. Die Beschreibung der Multiplikation aus der Definition 2.10: - Eine $m\times n$-Matrix $\mathbf{A}\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine -$n\times p$-Matrix $\mathbf{B}\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt -eine $n\times l$-Matrix $\mathbf{C}=\mathbf{AB}\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ mit den +$n\times p$-Matrix $\mathbf{B}\in M_{n\times p}(\Bbbk)$ haben als Produkt +eine $m\times p$-Matrix $\mathbf{C}=\mathbf{AB}\in M_{m\times p}(\Bbbk)$ mit den Koeffizienten \begin{equation} -c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. +C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}. \label{multiplikation:eq:MM} \end{equation} Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in Abbildung \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. @@ -34,7 +33,7 @@ C_{11} & C_{12}\\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} \end{equation} -explizt als Gleichung +explizt als Gleichungen \begin{equation} \label{multiplikation:eq:MM_exp} \begin{split} C_{11} &= A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\ @@ -47,6 +46,6 @@ der einzelnen Terme geschrieben werden. \begin{figure} \center \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation} - \caption{Matrizen Multiplikation} + \caption{Grafische Illustration der Matrizenmultiplikation} \label{multiplikation:fig:mm_viz} \end{figure} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..7f2bb4f --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.tex b/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.tex new file mode 100644 index 0000000..50ce392 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/images/algo_tab.tex @@ -0,0 +1,122 @@ +\documentclass{article} +\usepackage[left=25mm,right=25mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{times} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{algorithm} +\usepackage{algpseudocode} +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{lipsum} +\usepackage{amscd} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{fancyhdr} +\usepackage{textcomp} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[all]{xy} +\usepackage{paralist} +\usepackage[colorlinks=true]{hyperref} +\usepackage{array} +\usepackage{tikz} +\usepackage{slashed} +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{multicol} +\usepackage{cite} +\usepackage{url} +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{arrows,matrix,positioning} +\usetikzlibrary{overlay-beamer-styles} +\usetikzlibrary{matrix.skeleton} +\usetikzlibrary{automata,positioning} +\usetikzlibrary{decorations.text} +\usepackage{listings} +\usepackage{multirow} +\usepackage{color} + +\begin{document} + + + +\begin{table}[t] + \begin{tabular}{ll} + \begin{minipage}{0.4\textwidth} + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \label{multiplikation:alg:b1} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{B1}{$a, b$} + \State \textbf{return} $a+b$ + \EndFunction + \State + \State + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + \end{minipage} + & + \begin{minipage}{0.4\textwidth} + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \label{multiplikation:alg:b2} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{B2}{$a, b$} + \State $ x \gets a+b $ + \State $ y \gets a \cdot b $ + \State \textbf{return} $x+y$ + \EndFunction + \end{algorithmic} +\end{algorithm} + + \end{minipage} + \end{tabular} +\end{table} + +\begin{table} + \begin{tabular}[t]{ll} + \begin{minipage}{0.4\textwidth} + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \label{multiplikation:alg:linear} + \Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n} + \State $ sum \gets 0$ + \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} + \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $ + \EndFor + + \State \textbf{return} $sum$ + + \EndFunction + \State + \State + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + \end{minipage} + & + \begin{minipage}{0.4\textwidth} + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \label{multiplikation:alg:q1} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{Q}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n} + \State $ sum \gets 0$ + \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} + \For{$j = 0,1,2 \dots,n$} + \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[j] $ + \EndFor + \EndFor + \State \textbf{return} $sum$ + \EndFunction + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + \end{minipage} + \end{tabular} +\end{table} + +dhdfh +\end{document} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf Binary files differindex 8a53398..2519553 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex index 9ee3a68..63fd0fd 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex @@ -54,6 +54,7 @@ xticklabels=\empty, scale only axis=true, width=12cm, height=8cm, + legend cell align={left} ] \addplot [ domain= 1:5000, diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf Binary files differindex 3a4cfd8..521151e 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex index 818a7e6..12d3527 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex @@ -43,99 +43,106 @@ \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ xmode=log, ymode=log, -xmin=60, xmax=5000, -ymin=1e-4, ymax=2e3, +xmin=30, xmax=10000, +ymin=1e-5, ymax=2e4, grid=both, major grid style={black!50}, -xlabel = data Input ($n$), +xlabel = data input ($n$), ylabel = {time ($s$)}, legend pos=north west, very thick, scale only axis=true, width=12cm, height=8cm, - log basis x={10} + log basis x={10}, + legend cell align={left} ] \addlegendentry{Winograd} -\addplot[ color=purple, +\addplot[ color=blue, + error bars/.cd, y dir=both, y explicit, ] coordinates { -% (2, 0.000001) -% (4, 0.000001) -% (8, 0.000002) -% (16, 0.000011) -% (32, 0.000100) -(64, 0.000654) -(128, 0.005229) -(256, 0.057440) -(512, 0.517850) -(1024,4.539413) -(2048,130.627663) +%(2,1e-07) +%(4,5e-07) +%(8,2.0000000000000003e-06) +%(16,1.1999999999999999e-05) +(32,8.329999999999999e-05) +(64,0.0006479) +(128,0.0052873) +(256,0.052674599999999995) +(512,0.5249752000000001) +(1024,4.671161) +(2048,136.6769777) (4096,1179.261048) +(8192,10071.512655) }; \addlegendentry{Strassen} \addplot [ color=black, ]coordinates { - % (2,0.000001 ) - % (4,0.000003 ) - % (8,0.000010 ) - % (16,0.000066 ) - % (32,0.000470 ) - (64,0.003368 ) - (128,0.024232 ) - (256,0.172000 ) - (512,1.209262 ) -(1024,8.457472 ) -(2048,59.267256) +%(2,1e-07) +%(4,2.1e-06) +%(8,1.13e-05) +%(16,7.07e-05) +(32,0.0005041) +(64,0.003596) +(128,0.0254481) +(256,0.1781817) +(512,1.2555) +(1024,8.8302371) +(2048,61.9018691) (4096,414.648901) +(8192,3014.235467) }; \addlegendentry{MM div and conq} \addplot[ color=green, ] coordinates { - % (2,0.000003 ) - % (4,0.000002 ) - % (8,0.000010 ) - % (16,0.000068 ) - % (32,0.000594 ) - (64,0.004264 ) - (128,0.036289 ) - (256,0.324645 ) - (512,2.612010 ) -(1024,19.928951 ) -(2048,159.333884 ) +%(2,3e-07) +%(4,1.1e-06) +%(8,8.6e-06) +%(16,7.819999999999999e-05) +(32,0.0005940000000000001) +(64,0.0044339) +(128,0.0348443) +(256,0.29484730000000003) +(512,2.2228507) +(1024,17.659234500000004) +(2048,141.6103936) (4096,1147.106865) +(8192,9606.402522) }; \addlegendentry{MM} \addplot [ color=red, ]coordinates { - % (2,0.000001 ) - % (4,0.000001 ) - % (8,0.000001 ) - % (16,0.000010 ) - % (32,0.000081 ) - (64,0.000654 ) - (128,0.005556 ) - (256,0.054253 ) - (512,0.487317 ) -(1024,4.162845 ) -(2048,125.909034 ) +%(2,0.0) +%(4,3e-07) +%(8,1.8000000000000001e-06) +%(16,1.1999999999999999e-05) +(32,8.93e-05) +(64,0.0006923) +(128,0.0056842) +(256,0.051771500000000005) +(512,0.5062468000000001) +(1024,4.5048086) +(2048,129.2894619) (4096,1111.312696) +(8192,9376.173434) }; \addlegendentry{BLAS} -\addplot[ color=blue, +\addplot[ color=purple, ] coordinates { - % (2,0.000001 ) - % (4,0.000001 ) - % (8,0.000001 ) - % (16,0.000003 ) - % (32,0.000022 ) - (64,0.000179 ) - (128,0.001278 ) - (256,0.010165 ) - (512,0.074739 ) -(1024,0.704748 ) -(2048,6.845095 ) +%(2,1e-07) +%(4,0.0) +%(8,1e-07) +%(16,3.9e-06) +(32,2.1000000000000002e-05) +(64,0.00018580000000000002) +(128,0.0012649) +(256,0.0096489) +(512,0.0773765) +(1024,0.7643868) +(2048,7.6320993999999995) (4096,55.845038) +(8192,478.429957) }; \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf Binary files differindex cea2232..fe89773 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex index ee4db43..ad43cf6 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex @@ -43,8 +43,8 @@ \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ xmode=log, ymode=log, -xmin=30, xmax=1050, -ymin=0.01, ymax=900, +xmin=30, xmax=4200, +ymin=0.01, ymax=70000, grid=both, major grid style={black!50}, xlabel = data input ($n$), @@ -53,10 +53,11 @@ legend pos=north west, very thick, scale only axis=true, width=12cm, height=8cm, - log basis x={10} + log basis x={10}, + legend cell align={left} ] \addlegendentry{Winograd} -\addplot[ color=purple, +\addplot[ color=blue, ] coordinates { % (2, 2.7895e-05 ) % (4, 0.000104904) @@ -68,7 +69,8 @@ width=12cm, height=8cm, (256, 8.29899 ) (512, 68.3699 ) (1024,537.374 ) - +(2046,4884.61) +(4096,43597.1) }; \addlegendentry{Strassen} \addplot [ color=black, @@ -79,10 +81,12 @@ width=12cm, height=8cm, % (16,0.00475407 ) (32,0.0485256 ) (64,0.220414 ) - (128,1.44718 2 ) - (256,9.93866 0 ) - (512,63.961 2 ) -(1024,461.494 2 ) + (128,1.44718 ) + (256,9.93866 ) + (512,63.961 ) +(1024,461.494 ) +(2046,3860.57) +(4096,22904.3) }; \addlegendentry{MM div and conq} @@ -98,6 +102,8 @@ width=12cm, height=8cm, (256,13.27 ) (512,105.397 ) (1024,847.321 ) +(2046,7375.93) +(4096,58466) }; \addlegendentry{MM} @@ -113,25 +119,27 @@ width=12cm, height=8cm, (256, 11.0062 ) (512, 85.4768) (1024,750.757 ) +(2046,6154.18) +(4096,46813.3) }; -% \addlegendentry{NumPy} -% \addplot[ color=blue, -% ] coordinates { -% (2,1.83582e-05 ) -% (4,7.86781e-06) -% (8,1.00136e-05) -% (16,5.4121e-05 ) -% (32,4.26769e-05) -% (64,0.000118494) -% (128,0.000244141 ) -% (256,0.000695705 ) -% (512,0.00221705 ) -% (1024,0.0188088 ) -% }; +% \addlegendentry{NumPy} +% \addplot[ color=blue, +% ] coordinates { +% % (2,1.83582e-05 ) +% % (4,7.86781e-06) +% % (8,1.00136e-05) +% % (16,5.4121e-05 ) +% (32,4.26769e-05) +% (64,0.000118494) +% (128,0.000244141 ) +% (256,0.000695705 ) +% (512,0.00221705 ) +% (1024,0.0188088 ) +% (2046,0.215739) +% (4096,1.49159) +% }; + \end{axis} \end{tikzpicture} \end{document} - - - diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf Binary files differindex a30fdaa..d150125 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex index 5cf39b4..b51a9d5 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex @@ -56,7 +56,7 @@ A_{11}B_{11} \& A_{12}B_{12} \& A_{21}B_{12} \& A_{22}B_{12} \\ A_{11}B_{22} \& A_{12}B_{22} \& A_{21}B_{22} \& A_{22}B_{22} \\ };} - + \foreach \j in {1,...,7} { \matrix(M\i\j)[matrix of math nodes,nodes in empty cells, @@ -76,18 +76,18 @@ } \huge{ - \node at (-3,-20) {$C_{22}=$}; - \node at (-3,-15) {$C_{21}=$} ; - \node at (-3,-10) {$C_{12}=$} ; - \node at (-3,-5) {$C_{11}=$} ; - - \node at (5,-2) {P}; - \node at (10,-2) {Q}; - \node at (15,-2) {R}; - \node at (20,-2) {S}; - \node at (25,-2) {T}; - \node at (30,-2) {U}; - \node at (35,-2) {V}; + \node at (-3,-20) {$\mathbf{C}_{22}=$}; + \node at (-3,-15) {$\mathbf{C}_{21}=$} ; + \node at (-3,-10) {$\mathbf{C}_{12}=$} ; + \node at (-3,-5) {$\mathbf{C}_{11}=$} ; + + \node at (5,-2) {$\mathbf{P}$}; + \node at (10,-2) {$\mathbf{Q}$}; + \node at (15,-2) {$\mathbf{R}$}; + \node at (20,-2) {$\mathbf{S}$}; + \node at (25,-2) {$\mathbf{T}$}; + \node at (30,-2) {$\mathbf{U}$}; + \node at (35,-2) {$\mathbf{V}$}; } @@ -100,41 +100,132 @@ \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(X4-3-3)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(X4-4-4)] {}; +% P \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M11-4-1)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M11-1-4)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M11-4-4)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M11-1-1)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M14-1-4)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M14-2-4)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M15-4-1)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M15-4-2)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M17-2-4)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M17-4-4)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M17-2-2)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M17-4-2)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M23-3-1)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M23-4-1)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M25-4-1)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M25-4-2)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M21-4-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M21-1-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M21-4-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M21-1-1)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M32-1-4)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M32-1-3)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M34-1-4)] {}; -\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M34-2-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M31-4-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M31-1-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M31-4-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M31-1-1)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M41-4-1)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M41-1-4)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M41-4-4)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M41-1-1)] {}; + +% Q +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M12-1-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M12-1-3)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M22-1-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M22-1-3)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M32-1-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M32-1-3)] {}; + \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M42-1-4)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M42-1-3)] {}; + +% R + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M13-3-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M13-4-1)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M23-3-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M23-4-1)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M33-3-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M33-4-1)] {}; + \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M43-3-1)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M43-4-1)] {}; + +% S + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M14-1-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M14-2-4)] {}; + + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M24-1-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M24-2-4)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M34-1-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M34-2-4)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M44-1-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M44-2-4)] {}; + +%T + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M15-4-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M15-4-2)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M25-4-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M25-4-2)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M35-4-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M35-4-2)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M45-4-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M45-4-2)] {}; + +% U + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M16-1-3)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M16-1-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M16-3-3)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M16-3-1)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M26-1-3)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M26-1-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M26-3-3)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M26-3-1)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M36-1-3)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M36-1-1)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M36-3-3)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M36-3-1)] {}; + \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M46-1-3)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M46-1-1)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M46-3-3)] {}; \node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M46-3-1)] {}; + +%V + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M17-2-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=red, fit=(M17-4-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M17-2-2)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=green, fit=(M17-4-2)] {}; + + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M27-2-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M27-4-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M27-2-2)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M27-4-2)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M37-2-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M37-4-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M37-2-2)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M37-4-2)] {}; + +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M47-2-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M47-4-4)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M47-2-2)] {}; +\node[opacity=0.5, rounded corners=0pt, inner sep=-1pt, fill=gray, fit=(M47-4-2)] {}; + + + + + \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index a7612e1..8d0c0a8 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -7,14 +7,13 @@ \section{Algorithmen} \rhead{Algorithmen} -In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. +In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur unkomplizierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. -\subsection{Standard Algorithmus} +\subsection{Standardalgorithmus} -Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden. -Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert. +Die Standardmethode ist im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} implementiert. +Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt umgesetzt. Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. - \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation} \label{multiplikation:alg:smm} \setlength{\lineskip}{7pt} @@ -38,19 +37,18 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, \EndFunction \end{algorithmic} \end{algorithm} - -Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ +Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{for} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$. \subsubsection{Divide and Conquer Methode} F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten. Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird. -Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. +Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O} (n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden. Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt. -Das Matrizen Produkt +Das Matrizenprodukt \begin{equation} \mathbf{A}\mathbf{B}= \begin{bmatrix} @@ -65,16 +63,16 @@ Das Matrizen Produkt \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\ \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} -\end{bmatrix}, +\end{bmatrix} \end{equation} -\begin{equation} -\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}2n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj} +mit \begin{equation} +\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}, \label{multiplikation:eq:MM_block} \end{equation} -ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet. +ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet. Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz, -Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. +Die Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt. \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrizenmultiplikation} \setlength{\lineskip}{7pt} @@ -107,11 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algorithmen. Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit. -In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt +In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt zu \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac} - \mathcal{T}(n) = 8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right ) + \mathcal{T}(n) = 8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O} (n^{3} ), \end{equation} -zu einer kubischen Laufzeit. +also einer kubischen Laufzeit. Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden. In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt. @@ -131,7 +129,7 @@ Die sieben grundlegenden Terme \text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right ) \end{split} \end{equation} -aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke +aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2} \begin{split} \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\ @@ -189,12 +187,13 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. Strassens Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. -Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$. +Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \ldots, V}$. Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. +Graue Felder bedeuten, dass die dazugehörige Spalte nicht für die Berechnung benötigt wird. \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf} - \caption{Strassens Algorithmus} + \caption{Der Algorithmus von Strassen verwendet Multiplikationen zur Berechnung der sieben Blockmatrizen $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, aus denen sich die Blöcke es Produktes $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ ausschliesslich durch Addition und Subtraktion bilden lassen. Die einzelnen Felder in den Quadraten stellen alle möglichen Produkte von Matrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{jl}$ dar. In den grossen Quadraten am linken Rand sind diejenigen Produkte grün markiert, welche zusammen die entsprechenden Blöcke $\mathbf{C}_{il}$ von $\mathbf{C}$ ergeben. In den Spalten $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ sind die Produkte farblich hervorgehoben, die in der Definition der entsprechenden Matrix vorkommen. Grün und rot symbolisieren die Vorzeichen, mit denen die Produkte kombiniert werden müssen. Graue Felder werden für die Berechnung von $\mathbf{C}_{il}$ nicht benötigt.} \label{multiplikation:fig:strassen} \end{figure} @@ -202,7 +201,7 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen. Dies f\"uhrt nach dem \textit{Master Theorem} zu einer Laufzeit von \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen} \mathcal{T}(n) = -7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right ) +7 \cdot \mathcal{T}\left(\frac{n}{2}\right) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 7} ) = \mathcal{O}(n^{2.8074} ) \end{equation} und ist somit schneller als die Standardmethode. Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde. @@ -233,41 +232,38 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit \end{cases} \end{equation} Das Skalarprodukt kann also mit $ \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ weiteren Multiplikationen berechnet werden. -Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte. +Angenommen man hat $N$ Vektoren, mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte. Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt. Die Summen f\"ur $\xi$ und $\eta$ m\"ussen nur einmal berechnet werden. -Für die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} benötigt man $Tn$ Multiplikationen. -Im Vergleich mit der neuen Methode -\begin{equation} - \begin{split}\label{multiplikation:eq:eff} - N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor \leq Tn \\ - \approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} \leq Tn \\ - \frac{Nn}{2} \leq \frac{Tn}{2} \\ - N \leq T -\end{split} +Für die ursprüngliche Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} für das Skalarprodukt benötigt man $Tn$ Multiplikationen. +Damit können wir die Laufzeit der Methode von Winograd mit der Laufzeit der Standardmethode vergleichen. Sie ist kleiner als die Laufzeit für die Standardmethode, wenn gilt +\begin{equation}\label{multiplikation:eq:eff} +\begin{array}{crcl} + & N\lfloor n/2\rfloor + T\lfloor(n+1)/2\rfloor \approx Nn/2 + Tn/2 & \le & Tn \\ +\Leftrightarrow & Nn/2 & \le & Tn/2 \\ +\Leftrightarrow & N & \le & T. +\end{array} \end{equation} -spart man etwas, falls $N\leq T$. Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet. Dies f\"uhrt zu \begin{equation} (m+p) \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + mp \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor = \frac{mn}{2} + \frac{pn}{2} + \frac{mpn}{2} + \frac{mp}{2} \end{equation} Multiplikationen. -Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt. -Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist. -Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \ref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss -\begin{equation} +Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt, was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist. +Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss +\begin{align} \begin{split} -N=2n, \quad T = n^2 \\ - 2n \leq n^2 \\ - 2 \leq n +N=2n, &\quad T = n^2 \\ + 2n &\leq n^2 \\ + 2 &\leq n \end{split} -\end{equation} +\end{align} sein, damit man etwas einspart. Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. -Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt. +Falls $m=n=p$, werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt. Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und - somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^3 \right)$. + somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$. \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation} \setlength{\lineskip}{7pt} \label{multiplikation:alg:winograd} @@ -323,7 +319,7 @@ Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \ri \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} Die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} \cite{multiplikation:BLAS}. -Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. +Die meisten numerischen Bibliotheken von high-level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt. @@ -336,33 +332,33 @@ Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{M \item Level 2 \begin{itemize} \item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta \mathbf{y}$ - \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ Charakteristik + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^2)$ Charakteristik \end{itemize} \item Level 3 \begin{itemize} \item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$ - \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ Charakteristik + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^3)$ Charakteristik \end{itemize} \end{itemize} -Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren. +Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computerprozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren. -\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)} - -Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als: - -\textit{DGEMM performs one of the matrix-matrix operations} -$$ - C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C, - $$ - \textit{where op( X ) is one of} -$$ -op( X ) = X \quad \text{ or } \quad op( X ) = X^T, -$$ - \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A ) - an m by k matrix, op( B ) a k by n matrix and C an m by n matrix. - } +%\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)} +% +%Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als: +% +%\textit{DGEMM performs one of the matrix-matrix operations} +%$$ +% C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C, +% $$ +% \textit{where op( X ) is one of} +%$$ +%op( X ) = X \quad \text{ or } \quad op( X ) = X^T, +%$$ +% \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A ) +% an m by k matrix, op( B ) a k by n matrix and C an m by n matrix. +% } %Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als %\begin{lstlisting}[style=multiplikationC] @@ -379,7 +375,7 @@ $$ Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert. \begin{itemize} \item Standard Matrizenmultiplikation - \item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation + \item \textit{Divide and Conquer} Matrizenmultiplikation \item Strassens Matrizenmultiplikation \item Winograds Matrizenmultiplikation \item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C} @@ -389,31 +385,45 @@ Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://github.com/AndreasFMueller/SeminarMatrizen.git}} Repository gefunden werden. Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten. In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich. + +Die gezeigten Algorithmen haben alle eine Laufzeit der Form $\mathcal{O}(n^k) $. +Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung unterscheiden sich diese in Geraden mit unterschiedlichen Steigungen. +Bei den grafisch gezeigten Messresultate, können diese Steigungen gut erkannt werden, wobei die tiefere Laufzeit des Strassen Algorithmus eindrücklich zu sehen ist. +Der benötigte Overhead der Algorithmen zeigt sich in unterschiedlichen $y$-Achsenschnittpunkte. + +In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C} kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer- +den. +Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrix nicht an einer Cache Speicherstelle Platz. +Diese beiden Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden. +Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen. +Bei den anderen Algorithmen ist dies nicht der Fall. + Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet. \begin{table} \begin{center} - \begin{tabular}{l l l l l l} + \begin{tabular}{r l l l l l} \hline \hline \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} & \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})} & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\ \hline \multicolumn{6}{c}{} \\ - \textbf{32} & 0.000081 &0.000594 & 0.00047& 0.00010 & 0.000022 \\ - \textbf{64} & 0.00065 & 0.0042& 0.0033& 0.00065& 0.00017 \\ - \textbf{128} & 0.0055 & 0.036& 0.024& 0.0052 & 0.0012 \\ - \textbf{256} & 0.054 & 0.32 & 0.17 & 0.057& 0.010 \\ - \textbf{512} & 0.48 & 2.61 & 1.20 & 0.51 & 0.074\\ - \textbf{1024} & 4.16 & 19.92& 8.45 & 4.53 & 0.704 \\ - \textbf{2048} & 125.90 & 159.33& 59.26 & 130.62 & 6.84 \\ - \textbf{4096} & 1111.31 & 1147.10& 414.64 & 1179.26 & 55.84\\ + \textbf{32} & \phantom{000}0.000089 & \phantom{000}0.000594 & \phantom{000}0.0005 & \phantom{0000}0.00008 & \phantom{00}0.000021 \\ + \textbf{64} & \phantom{000}0.00069 & \phantom{000}0.0044 & \phantom{000}0.0036 & \phantom{0000}0.00064 & \phantom{00}0.00018 \\ + \textbf{128} & \phantom{000}0.0057 & \phantom{000}0.035 & \phantom{000}0.025 & \phantom{0000}0.0052 & \phantom{00}0.0012 \\ + \textbf{256} & \phantom{000}0.052 & \phantom{000}0.29 & \phantom{000}0.178 & \phantom{0000}0.053 & \phantom{00}0.0096 \\ + \textbf{512} & \phantom{000}0.51 & \phantom{000}2.22 & \phantom{000}1.25 & \phantom{0000}0.55 & \phantom{00}0.077 \\ + \textbf{1024} & \phantom{000}4.50 & \phantom{00}17.65 & \phantom{000}8.83 & \phantom{0000}4.67 & \phantom{00}0.764 \\ + \textbf{2048} & \phantom{0}129.28 & \phantom{0}141.61 & \phantom{00}61.901 & \phantom{00}136.67 & \phantom{00}7.63 \\ + \textbf{4096} & 1111.31 & 1147.10 & \phantom{0}414.64 & \phantom{0}1179.26 & \phantom{0}55.84 \\ + \textbf{8192} & 9376.17 & 9606.40 & 3014.23 & 10071.51 & 478.42 \\ \multicolumn{6}{c}{} \\ \hline \hline \end{tabular} \end{center} - \caption{Messresultate \texttt{C}} + \caption{Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Programmiersprache \texttt{C}} \label{multiplikation:tab:messung_C} \end{table} @@ -421,25 +431,26 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \begin{table} \begin{center} - \begin{tabular}{l l l l l l} + \begin{tabular}{r l l l l l} \hline \hline - \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} & \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})} & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\ + \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} & \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})} & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{NumPy(\textit{s})} \\ \hline \multicolumn{6}{c}{} \\ - \textbf{32} & 0.0240 &0.0271 & 0.04852& 0.01871 & 4.26e-05 \\ - \textbf{64} & 0.186 & 0.265& 0.2204& 0.1530& 0.000118 \\ - \textbf{128} & 1.563 & 1.777& 1.447& 1.1947 & 0.000244 \\ - \textbf{256} & 11.006 & 13.27 & 9.938 & 8.298& 0.000695 \\ - \textbf{512} & 85.476 & 105.397 & 63.961 & 68.36 & 0.00221\\ - \textbf{1024} & 750.757 & 847.321& 461.494 & 537.374 & 0.0188 \\ - \textbf{4096} & - & - & - & - & 1.633 \\ + \textbf{32} &\phantom{0000}0.0240 & \phantom{0000}0.0271& \phantom{0000}0.04852 & \phantom{0000}0.01871 & 0.0000426 \\ + \textbf{64} &\phantom{0000}0.186 & \phantom{0000}0.265 & \phantom{0000}0.2204 & \phantom{0000}0.1530& 0.000118 \\ + \textbf{128} &\phantom{0000}1.563 & \phantom{0000}1.777 & \phantom{0000}1.447 & \phantom{0000}1.1947 & 0.000244 \\ + \textbf{256} &\phantom{000}11.006 & \phantom{000}13.27 & \phantom{0000}9.938 & \phantom{0000}8.298& 0.000695 \\ + \textbf{512} &\phantom{000}85.476 & \phantom{00}105.397 & \phantom{000}63.961 & \phantom{000}68.360 & 0.00221\\ + \textbf{1024} &\phantom{00}750.757 & \phantom{00}847.321 & \phantom{00}461.494 & \phantom{00}537.374 & 0.0188 \\ + \textbf{2048} &\phantom{0}6154.18 & \phantom{0}7375.93 & \phantom{0}3860.57 & \phantom{0}4884.61 & 0.215 \\ + \textbf{4096} & 46813.30 & 58466.00 & 22904.30 & 43597.10 & 1.49 \\ \multicolumn{6}{c}{} \\ \hline \hline \end{tabular} \end{center} - \caption{Messresultate \texttt{Python}} + \caption{Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Skriptsprache \texttt{Python}} \label{multiplikation:tab:messung_Python} \end{table} @@ -465,7 +476,9 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c} - \caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}} + \caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Programmiersprache \texttt{C}. + Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen. + Die Messung von Winograd ist beinahe gleich wie die Messung mit der Standardmethode, deshalb ist sie nicht gut sichtbar.} \label{multiplikation:fig:c_meas_4096} \end{figure} @@ -473,17 +486,21 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python} - \caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}} + \caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Skriptsprache \texttt{Python}. + Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen. +} \label{multiplikation:fig:python} \end{figure} \section{Fazit} \rhead{Fazit} -Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. +Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz der theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus. Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung. Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden. Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}. -Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein. +Der Overhead der gezeigten Algorithmen ist in allen Fällen grösser als bei der Standardmethode (z.B. sieben rekursive Aufrufe gegenüber drei \texttt{for}-Schleifen). +Um diesem entgegenzuwirken muss der Laufzeitunterschied zwischen Addition und Multiplikation gross genug sein. +Wenn dies gegeben ist und dazu noch grosse Matritzen multipliziert werden, kann die Verwendung der Algorithmen von Strassen oder Winograd zu einer Senkung der Laufzeit führen. diff --git a/buch/papers/multiplikation/main.tex b/buch/papers/multiplikation/main.tex index fb1908e..4a23109 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/main.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/main.tex @@ -26,8 +26,8 @@ backgroundcolor=\color{backcolour} } -\chapter{Schnelle Matrizen Multiplikation\label{chapter:multiplikation}} -\lhead{FMM} +\chapter{Schnelle Matrizenmultiplikation\label{chapter:multiplikation}} +\lhead{Schnelle Matrizenmultiplikation} \begin{refsection} \chapterauthor{Michael Schmid} diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex index e53b0de..879b210 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex @@ -3,104 +3,119 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Problemstellung} -\rhead{Problemstellung} -Wegen der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung. +\section{Laufzeiten von Algorithmen} +\rhead{Laufzeiten von Algorithmen} +Wegen der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente Ausführung dieser Operation von grosser Bedeutung. Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. -Gezielt wird auf Algorithmen eingegangen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus l\"osen. +Gezielt wird auf Algorithmen eingegangen, welche das Problem schneller als der Standardalgorithmus l\"osen. -\subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation} \label{muliplikation:sec:bigo} -Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Abhängigkeit zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}. -$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. -% Es gibt eine Konstante $K$ derart, dass $f(x) \le K g(x)$ für $x\to\infty$ -Als Beispiel: benötigt eine Funktion $g$ $\mathcal{O}\left(n^2 \right)$ Multiplikationen, so wächst $f$ mit $\mathcal{O}\left(n+ n^2 \right)$ nicht wesentlich schneller falls $x\to\infty$. -Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet: +Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Relation zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}. +$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$, wenn $x \rightarrow \infty$. +Dies ist gegeben, falls es für $f \in \mathcal{O}(n^k)$ eine Konstante $C$ gibt, mit $f(n) \leq Cn^k$. +% Es gibt eine Konstante $K$ derart, dass $f(x) \le K g(x)$ für $x\to\infty$. +Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgenden Sprechweisen verwendet: \begin{itemize} \item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt \item $f \in \mathcal{O}(n) \rightarrow f$ w\"achst linear - \item $f \in \mathcal{O}\left (n^2 \right ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch + \item $f \in \mathcal{O} (n^2 ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch \item $f \in \mathcal{O}(\log n) \rightarrow f$ w\"achst logarithmisch \item $f \in \mathcal{O}(n \log n) \rightarrow f$ hat super-lineares Wachstum - \item $f \in \mathcal{O}\left (e^n \right ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell + \item $f \in \mathcal{O} (e^n ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell \item usw. \end{itemize} +Konstanten werden nicht beachtet, eine Laufzeit von $4n^2$ führt, für $n \rightarrow \infty$ zu $\mathcal{O}(n^2)$. In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. -Bei einer logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven dargestellt. -Sch\"on zu erkennen ist, dass Logarithmische Kurven beschr\"ankt sind. - - -\subsubsection{Beispiel Algorithmen} - -Es folgen einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen. - -\begin{minipage}{0.4\textwidth} - \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} - \label{multiplikation:alg:b1} - \setlength{\lineskip}{7pt} - \begin{algorithmic} - \Function{B1}{$a, b$} - \State \textbf{return} $a+b$ - \EndFunction - \end{algorithmic} - \end{algorithm} - - \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} - \setlength{\lineskip}{7pt} - \begin{algorithmic} - \label{multiplikation:alg:linear} - \Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n} - \State $ sum \gets 0$ - \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} - \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $ - \EndFor - - \State \textbf{return} $sum$ - - \EndFunction - \end{algorithmic} - \end{algorithm} -\end{minipage} -\hspace{2cm} -\begin{minipage}{0.4\textwidth} - - \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} - \label{multiplikation:alg:b2} - \setlength{\lineskip}{7pt} - \begin{algorithmic} - \Function{B2}{$a, b$} - \State $ x \gets a+b $ - \State $ y \gets a \cdot b $ - \State \textbf{return} $x+y$ - \EndFunction - \end{algorithmic} - \end{algorithm} - - - \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} - \label{multiplikation:alg:q1} - \setlength{\lineskip}{7pt} - \begin{algorithmic} - \Function{Q}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n} - \State $ sum \gets 0$ - \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} - \For{$j = 0,1,2 \dots,n$} - \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[j] $ - \EndFor - \EndFor - \State \textbf{return} $sum$ - \EndFunction - \end{algorithmic} - \end{algorithm} - -\end{minipage} +Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven abgebildet. + + + +\subsubsection{Beispielalgorithmen} + +Es folgen einige Beispiele von Algorithmen, welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen. + + +\begin{table}[t] + \begin{tabular}{ll} + \begin{minipage}{0.48\textwidth} + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \label{multiplikation:alg:b1} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{B1}{$a, b$} + \State \textbf{return} $a+b$ + \EndFunction + \State + \State + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + \end{minipage} + & + \begin{minipage}{0.48\textwidth} + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \label{multiplikation:alg:b2} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{B2}{$a, b$} + \State $ x \gets a+b $ + \State $ y \gets a \cdot b $ + \State \textbf{return} $x+y$ + \EndFunction + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + \end{minipage} \\ + \begin{minipage}{0.48\textwidth} + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \label{multiplikation:alg:linear} + \Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n} + \State $ sum \gets 0$ + \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} + \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $ + \EndFor + + \State \textbf{return} $sum$ + + \EndFunction + \State + \State + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + \end{minipage} + & + \begin{minipage}{0.48\textwidth} + \begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} + \label{multiplikation:alg:q1} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{Q}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n} + \State $ sum \gets 0$ + \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} + \For{$j = 0,1,2 \dots,n$} + \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[j] $ + \EndFor + \EndFor + \State \textbf{return} $sum$ + \EndFunction + \end{algorithmic} + \end{algorithm} + \end{minipage} + \end{tabular} +\end{table} + +%\begin{table} +% \begin{tabular}[t]{ll} + +% \end{tabular} +%\end{table} \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} +Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} ist ein Beispiel mit beschränkter Laufzeit $\mathcal{O}(1)$ +Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen Einfluss auf die Laufzeit. -Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen Einfluss auf die Laufzeit. - -Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. +Wie erwähnt werden Konstanten nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. \paragraph{Linearer Algorithmus} @@ -111,12 +126,12 @@ Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\math \paragraph{Quadratischer Algorithmus} Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. -Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. +Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O} (n^2 )$. \begin{figure} \center \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/bigo} - \caption{Verschiedene Laufzeiten} + \caption{Laufzeiten von verschiedensten Zeitkomplexitäten. Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven dargestellt.} \label{multiplikation:fig:bigo} \end{figure} |