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index 0000000..46c2320
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex
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+% basis.tex -- slide template
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+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Hilbert-Basis}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+Eine Menge $\mathcal{B}=\{b_k|k>0\}$ ist eine Hilbertbasis, wenn
+\begin{itemize}
+\item $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$
+\item Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist
+dicht:
+Jeder Vektor von $H$ kann beliebig genau durch Linearkombinationen von $b_k$
+approximiert werden.
+\end{itemize}
+Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel}
+\end{block}
+\begin{block}{Endlichdimensional}
+Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab.
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Konstruktion}
+Iterativ: $\mathcal{B}_0=\emptyset$
+\begin{enumerate}
+\item $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$
+\item Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor
+\begin{align*}
+x\in V_k^{\perp}
+&=
+\{
+x\in H\;|\; x\perp V_k
+\}
+\\
+&=
+\{x\in H\;|\;
+x\perp y\;\forall y\in V_k
+\}
+\end{align*}
+\item $b_{k+1} = x/\|x\|$
+\[
+\mathcal{B}_{k+1} = \mathcal{B}_k\cup \{b_{k+1}\}
+\]
+\end{enumerate}
+Wenn $H$ separabel ist, dann ist
+\[
+\mathcal{B} = \bigcup_{k} \mathcal{B}_k
+\]
+eine Hilbertbasis für $H$
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup