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diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc index c857fec..b2af216 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc @@ -17,5 +17,10 @@ chapter2 = \ ../slides/2/frobeniusanwendung.tex \ ../slides/2/quotient.tex \ ../slides/2/quotientv.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/definition.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/basis.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/plancherel.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/l2.tex \ ../slides/2/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex index 49e656a..2fe48c1 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex @@ -15,3 +15,8 @@ \folie{2/frobeniusanwendung.tex} \folie{2/quotient.tex} \folie{2/quotientv.tex} +\folie{2/hilbertraum/definition.tex} +\folie{2/hilbertraum/l2beispiel.tex} +\folie{2/hilbertraum/basis.tex} +\folie{2/hilbertraum/plancherel.tex} +\folie{2/hilbertraum/l2.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex new file mode 100644 index 0000000..46c2320 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +% +% basis.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hilbert-Basis} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Eine Menge $\mathcal{B}=\{b_k|k>0\}$ ist eine Hilbertbasis, wenn +\begin{itemize} +\item $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ +\item Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist +dicht: +Jeder Vektor von $H$ kann beliebig genau durch Linearkombinationen von $b_k$ +approximiert werden. +\end{itemize} +Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel} +\end{block} +\begin{block}{Endlichdimensional} +Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab. +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Konstruktion} +Iterativ: $\mathcal{B}_0=\emptyset$ +\begin{enumerate} +\item $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$ +\item Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor +\begin{align*} +x\in V_k^{\perp} +&= +\{ +x\in H\;|\; x\perp V_k +\} +\\ +&= +\{x\in H\;|\; +x\perp y\;\forall y\in V_k +\} +\end{align*} +\item $b_{k+1} = x/\|x\|$ +\[ +\mathcal{B}_{k+1} = \mathcal{B}_k\cup \{b_{k+1}\} +\] +\end{enumerate} +Wenn $H$ separabel ist, dann ist +\[ +\mathcal{B} = \bigcup_{k} \mathcal{B}_k +\] +eine Hilbertbasis für $H$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex new file mode 100644 index 0000000..ed0ab13 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% definition.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hilbertraum --- Definition} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{$\mathbb{C}$-Hilbertraum $H$} +\begin{enumerate} +\item $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein +\item Sesquilineares Skalarprodukt +\[ +\langle \cdot,\cdot\rangle +\colon H \to \mathbb{C}: (x,y) \mapsto \langle x,y\rangle +\] +Dazugehörige Norm: +\[ +\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle} +\] +\item Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert +\end{enumerate} +Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum} +\end{block} +\begin{block}{$\mathbb{R}$-Hilbertraum} +Vollständiger $\mathbb{R}$-Vektorraum mit bilinearem Skalarprodukt +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vollständigkeit} +\begin{itemize} +\item $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge: +Für alle $\varepsilon>0$ gibt es $N>0$ derart, dass +\[ +\| x_n-x_m\| < \varepsilon\quad\forall n,m>N +\] +\item Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle +$\varepsilon >0$ ein $N>0$ gibt derart, dass +\[ +\|x_n-x\|<\varepsilon\quad\forall n>N +\] +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} +\[ +|\langle x,y\rangle| +\le \|x\| \cdot \|y\| +\] +Gleichheit für linear abhängige $x$ und $y$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex new file mode 100644 index 0000000..2991aca --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +% +% l2.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{$L^2$-Hilbertraum} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item +Vektorraum: Funktionen +\[ +f\colon [a,b] \to \mathbb{C} +\] +\item +Sesquilineares Skalarprodukt +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,dx +\] +\item +Norm: +\[ +\|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx +\] +\item Vollständigkeit? +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vollständigkeit} +\begin{itemize} +\item +Funktioniert nicht für Riemann-Integral +\item +Erweiterung des Integrals auf das sogenannte Lebesgue-Integral (nach +Henri Lebesgue) +\item +Abzählbare Mengen spielen keine Rolle $\rightarrow$ Nullmengen +\item +Funktionen $\rightarrow$ Klassen von Funktionen, die sich auf einer Nullmenge +unterscheiden +\item +Konvergenz-Satz von Lebesgue $\rightarrow$ es funktioniert +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..29a1822 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +% +% l2beispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beispiel: $l^2$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item Folgen von komplexen Zahlen +\[ +l^2 += +\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\} +\] +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex new file mode 100644 index 0000000..3caa54d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +% +% plancherel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Plancherel-Gleichung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Hilbertraum mit Hilbert-Basis} +$H$ Hilbertraum mit Hilbert-Basis +$\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$ +\end{block} +\begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten} +\begin{align*} +a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe} +\begin{align*} +\tilde{x} +&= +\sum_k a_k b_k += +\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$} +\begin{align*} +\langle b_l,\tilde{x}\rangle +&= +\biggl\langle +b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k +\biggr\rangle += +\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle += +\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl} += +\langle b_l,x\rangle += +\hat{x}_l +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Plancherel-Gleichung} +\begin{align*} +\|\tilde{x}\|^2 +&= +\langle \tilde{x},\tilde{x}\rangle += +\biggl\langle +\sum_k \hat{x}_kb_k, +\sum_l \hat{x}_lb_l +\biggr\rangle +\\ +&= +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle += +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl} +\\ +\|\tilde{x}\|^2 +&= +\sum_k |\hat{x}_k|^2 +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup |